2018一轮北师大版理数学教案：重点强化课4 直线与圆

重点强化课(四) 直线与圆
[复习导读] 1.本部分的主要内容是直线方程和两条直线的位置关系、圆的方程、直线与圆的位置关系.2.高考对本部分的考查主要涉及直线的倾斜角与斜率的关系、两直线的位置关系的判断；距离公式的应用、圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系，常与向量、椭圆、双曲线、抛物线的几何性质相结合考查.3.另外，应认真体会数形结合思想的应用，充分利用直线、圆的几何性质简化运算．
重点1 直线方程与两直线的位置关系
(1)(2017·江西南昌模拟)直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点
( )
A ．(1，－3)
B ．(4,3)
C ．(3,1)
D ．(2,3)
(2)(2017·济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
【导学号：57962389】
A ．－53或－35
B ．－32或－23
C ．－54或－45
D ．－43或－34
(1)C (2)D [(1)2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，
由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，解得⎩⎨⎧
x ＝3，y ＝1，
则直线过定点(3,1)． (2)由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．
设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.
由反射光线与圆相切，则有d ＝
|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1， 解得k ＝－43或k ＝－34.]
[规律方法] 1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点
坐标．
2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．
[对点训练1] (2017·福建龙岩二模)已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －
1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为( )
A ．7
B ．9
C ．11
D ．16
B [直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，
∴2n ＝m (n －1)，
∴m ＋2n ＝mn ，
又m >0，n >0，得2m ＋1n ＝1.
∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭
⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2m n ≥5＋22n m ·2m n ＝9. 当且仅当2n m ＝2m n 时取等号．
∴2m ＋n 的最小值为9.]
重点2 圆的方程
(1)若圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，过点C (－a ，a )的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为( )
A ．y 2－4x ＋4y ＋8＝0
B ．y 2＋2x －2y ＋2＝0
C ．y 2＋4x －4y ＋8＝0
D ．y 2－2x －y －1＝0 (2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )
A ．2 6
B ．8
C ．4 6
D ．10
(1)C (2)C [(1)由圆x 2＋y 2－ax ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1关于直线y ＝x －1对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y ＝x －1上，故可得a ＝2，即点C (－2,2)．
∴过点C (－2,2)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝x 2，整理得y 2＋4x －4y ＋8＝0.
(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
则⎩⎨⎧ D ＋3E ＋F ＋10＝0，
4D ＋2E ＋F ＋20＝0，
D －7
E ＋
F ＋50＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.
∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0.
令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，
∴M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，∴|MN |＝4 6.]
[规律方法] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
[对点训练2] (2017·河北唐山二模)直线l ：x 4＋y 3＝1与x 轴、y 轴分别相交
于点A ，B ，O 为坐标原点，则△OAB 内切圆的方程为__________．
(x －1)2＋(y －1)2＝1 [由题意，设△OAB 的内切圆的圆心为M (m ，m )，则半径为|m |.
直线l 的方程x 4＋y 3＝1可化为3x ＋4y －12＝0， 由题意可得|3m ＋4m －12|32＋42
＝m ，解得m ＝1或m ＝6(不符合题意，舍去)． ∴△OAB 内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.]
重点3 直线与圆的综合问题
☞角度1 圆的切线
如图1，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半
轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.
(1)圆C 的标准方程为________________；
(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为__________．
图1
(1)(x －1)2＋(y －2)2＝2 (2)－2－1 [(1)由题意知点C 的坐标为(1，2)，圆的半径r ＝ 2.
所以圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.
(2)在(x －1)2＋(y －2)2＝2中，
令x ＝0，解得y ＝2±1，故B (0，2＋1)．
直线BC 的斜率为2＋1－20－1
＝－1， 故切线的斜率为1，切线方程为y ＝x ＋2＋1.
令y ＝0，解得x ＝－2－1， 故所求截距为－2－1.]
☞角度2 直线与圆相交的弦长问题
(文)(2017·郑州质检)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴
相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为__________．
3 [由题意知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1n ，圆的半径为2，且l 与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所在直线的距离为 3.
∴1m 2＋n
2＝3⇒m 2＋n 2＝13， S △AOB ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12mn ≥1m 2＋n 2
＝3，即三角形面积的最小值为3.]
(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12
交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.
4 [由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，由圆x 2＋y 2＝12
知半径r ＝23，又|AB |＝23，所以圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1
. 由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭
⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.
画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则
∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝
23×23
＝4.] ☞角度3 直线、圆与相关知识的交汇
(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －
2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)若OM →·ON →
＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.
[解] (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.
2分 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2
<1， 解得4－73<k <4＋73.
所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫4－73，4＋73. 5分 (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，
整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.
所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2
. 8分 OM →·ON →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1
＝4k (1＋k )1＋k 2
＋8. 由题设可得4k (1
＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2. 12分[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．
2．(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
(3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，
及半弦长l
2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．。