第八章chapter8

（8－15）
或矢量形式：
DV F p Dt
（8－16）

V 当流体静止不动时， 0 ，则运动方程简化 为： p Fx 0 x p （8－17） F y 0 y p Fz 0 z
第二节 蠕动流动

蠕动流动：雷诺数很低的流动。
（8－10）
上式也称为广义牛顿摩擦定律
三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）

将式（8－10）代入式（8－9）可得：
Dv x p 2 v x 2 v x 2 v x 1 v x v y v z Fx 2 2 2 Dt x x y z 3 x x y z 2 v y 2 v y 2 v y 1 v x v y v z Dv y p F y 2 2 2 x y z 3 y x y z （ 8－11） Dt y 2 2 2 v y v z Dv z p v z v z v z 1 v x Fz 2 2 2 Dt z x y z 3 z x y z

Dv y Dt
Dv z Dt
并考虑到拉普拉斯算子：
2 2 2 2 2 2 2 x y z
不可压缩粘性流体的运动方程还可写为：
Dv x p Fx 2 v x Dt x Dv y p F y 2 v y Dt y Dv z p 2 Fz v z Dt z

而切应力的最大值，发生在C（ ＝90°）为： （8－24） 等于A、B点处的压强与无穷远处的压强之差。
c 3V / 2r0
二、绕球的蠕动流动

球面上的压强和剪切应力也可根据速度分布公式算出，为：
vr 3 V ( prr ) r r0 p 2 p p cos r 2 r0 （8-25） v 1 vr v0 v 3 V ( r ) r r0 ( ) sin r r r r 2 r0
图8－7 绕平板的边界层示意图
我们可以用图8－7所示的绕平板的流动情况说明边层 层的概念。

设平板固定不动，来流的速度为 V，方向与板面方向一致。 当流体流过平板时，根据固壁无滑移条件，板面上流体质点 的速度为零，在与板面垂直的方向上存在很大的速度梯度， 因此存在很大的摩擦应力，它将阻滞邻近的流体质点的运动。 在边界层区域以外，速度基本均匀，保持和来流速度基本相 同的大小和方向。绕流边界层在平板的前缘开始形成，随着 流动向下游发展，受摩擦应力的影响，越来越多的流体质点 受到阻滞，边界层的厚度也随之增加。在平板的前部边界层 呈层流状态，随着流程的增加，边界层的厚度也在增加，层 流变为不稳定状态，流体的质点运动变得不规则，最终发展 为紊流，这一变化发生在一段很短的长度范围，称之为转区， 转类区的开始点称为转类点。转类区下游边界层内的流动为 紊流状态。如图所示，由于紊流边界层内的流体质点更容易 和外部主流区的流动进行动量交换，因此紊流区域边界层厚 度的增加比层流增加的更快。在转涙区和紊流区的壁面附近， 由于流体的质点的随机脉动受到平板壁面的限制，因此在靠 近壁面的更薄的区域内，流动仍保持为层流状态，称为层流 底层和粘性底层。
首先将介绍粘性流体的运动微分方程， 然后将给出边界层的概念及其控制方 程，最后针对绕流流动现象的一些具 体问题进行了讨论。
第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程
以流体微元为分析对象，流体的运动方程可写为 如下的矢量形式： DV F P (8-1) Dt
这里 ：
DV V V V Dt t
(8-2)
是流体微团的加速度，微分符号：

D V Vi Dt t t xi
(8-3)
称为物质导数或随体导数，它表示流体微团的某性质 时间的变化率。
一、微元体的受力分析和运动微分方程的推导
如图8－3所示，控制体的各边长分别 为dx,dy,dz，微元体的体积为： dV dxdydz（ 8－4） 作用在微元体上的质量力为 ，其可用 三个分量 表示为： Fb Fb Fbx i Fby j Fbz k （8－5） 图8－3 流体微元六面体 这里： Fb Fdxdydz （8－6） 如果的三个分量是 Fx , Fy , Fz ，则：
对上述两式积分，可分别得到作用在球面上的压力和切应力 的合力。将这两个合力在流动方向的分量相加，可得到流体 作用在圆球上的阻力为： FD 6 r0V 3 dV （8-26） 这就是圆球的斯托克斯阻力公式。式中d=2 r0为圆球的直径。
第三节 边界层的概念
边界层：物体壁面附近存在大的速度梯度的薄层。
（8－9）
这就是微分形式的运动方程。
二、本构方程

本构方程是确立应力和应变率之间关系的方程式。斯托克 斯通过将牛顿内摩擦定律推广到了粘性流体的任意流动中， 建立了牛顿流体的本构方程：
xy
yx
xz zx zy
yz
v y v x x y v z v x x z
作用于微元体个面上的Y、Z轴方向的应力

同理，表面力在y方向的分量为：


y y

zy z

xy x
dxdydz
表面力在z方向的分量为：

z xz yz z x y
dxdydz
作用在微元体上的表面力

如果用 Px , Py和 Pz 表示单位体积的表面力，则：
图 8-6小雷诺数条件下绕圆球的流动图谱
二、绕球的蠕动流动

在圆球的前后两驻点A和B处的压强是压强的最高 点和最低点，分别为：在前驻点A（ ＝180° ） 3 V p A p 2 r0 （8－22） 在后驻点B（ ＝0°）： 3 V
p B p 2 r0
（8－23）

如：热电厂锅炉炉膛气流中绕煤粉颗粒、 油滴等的流动；滑动轴承间隙中的流 动，等等。
一、蠕动流动的微分方程

对于定常流动，忽略惯性力和质量力，在 直角坐标系下，可把纳维尔――斯托克斯 方程（8－14）组简化成 ：
p x p y p z 2vx 2vx 2vx ( 2 ) 2 2 x y z 2 2 2 vy vy vy ( 2 ) （8－18） 2 2 x y z 2 2 2 vz vz vz ( 2 ) 2 2 x y z
F Fx i Fy j Fz k （8－7）
作用在微元体上的表面力
图 8-4 微元体表面应力分析
作用于微元体个面上的x轴方向的应力
把作用于控制体上x方向的力叠加起来，得到作用 在微元体上的表面力在x方向的分量为：
yx x zx dxdydz dydxdz dzdxdy x y z x yx zx dxdydz x y z
一、蠕动流动的微分方程

如果流动是不可压缩流体，则连续性方程 为： v x v y v z （8－19） 0 x y z
2 p 将式（8－18）依次求 x 2
相加，并结合连续性方程，即得： 2 p 2 p 2 p 2 2 2 p 0 (8-20) 2 x y z
上式称纳维－斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流 体运动微分方程的又一种形式。

对于不可压流体，其连续方程为：
v x v y v z 0 x y z

对于不可压缩粘性流体，粘性体膨胀应力为零， 其运动方程为：
2vx 2vx 2vx Dv x p Fx 2 2 x Dt x y z 2 2 v y 2 v y 2 v y p （8－12） F y 2 x y y 2 z 2 2 2 2 vz vz vz p Fz 2 2 2 x z y z
（8－13）

如果质量力只有重力作用，用 g 代表重力加速度， 不可压缩粘性流体的运动方程的矢量形式为：
(8-14) DV 2 g - p v x Dt

对理想流动，认为流体无粘性， 0，这时运动方 程简化为欧拉方程：
Dv x p Fx Dt x Dv y p Fy Dt y Dv z p Fz Dt z
第八章 粘性流体绕物体的流动
授课人 钱 进
实际流动都是有粘流
动，目前对粘性流动
研究方法主要有： 1、基于N-S方程的紊 流模拟 2、流体实验
图 8-1 绕流示例
流动分类
根据工程的实际情况， 流动可分为：内流和 外流。 内流 ：如右上图。
外流： 如右下图。
图 8-2 流动分类示意图
本章的主要内容
本章主要讨论绕流问题，即外流问题。
x p
y
p
z p
v y v z y z v x 2 v 2 3 x v y 2 v 2 3 y v z 2 v 2 3 z
2 r 2r 3 r0 1 r03 v (r , ) V sin (1 3 ) （8－21） 4 r 4r 3 r0V p (r , ) p 2 cos 2 r
二、绕球的蠕动流动
式中 p 为无穷远处来流的压力。 圆球以很小的速度在静止流体中作等速运 动时，在流场中通过x轴的平面上的流谱如图 8－6所示。