2018青浦高三二模数学(2021年整理)

2018青浦高三二模数学(word版可编辑修改)
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上海市青浦区2018届高三二模数学试卷
2018。

04
一. 填空题（本大题共12题，1—6每题4分,7-12每题5分，共54分） 1. 不等式|3|2x -<的解集为
2. 若复数z 满足2315z i -=+(i 是虚数单位)，则z =
3。

若1sin 3
α=，则cos()2
π
α-=
4. 已知两个不同向量(1,)OA m =,(1,2)OB m =-，若OA AB ⊥,则实数m = 5。

在等比数列{}n a 中,公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S =
6。

若x 、y 满足21020x x y x y ≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
,则2z x y =-的最小值为
7. 如图所示，一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个圆柱的体积为
8。

6
2
1(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 9. 高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78
、34、
5
12
,这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这 位考生至少得2个A +的概率是
10。

已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是 11.
已知曲线:C y =:2l y =，若对于点(0,)A m ，存在C 上的点P 和l 上的点Q ，使得0AP AQ +=，则m 取值范围是
12. 已知22sin 1
cos 1
a a M a a θθ-+=-+（,a θ∈R ，0a ≠)，则M 的取值范围是
二。

选择题（本大题共4题,每题5分,共20分)
13。

设α、β是两个不同的平面,b 是直线且b
β，则“b α⊥”是“αβ⊥”的（ )
A 。

充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件
D 。

既不充分又不必要条件
14. 若已知极限sin lim
0n n n →∞=，则3sin lim
sin 2n n n
n n
→∞--的值为( ） A 。

3-
B. 3
2
- C. 1-
D. 12
-
15。

已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当
12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有
1212
()()
0f x f x x x ->-,给出以下三个命题：
① 直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴; ② 函数()f x 在区间[9,6]--上为增函数； ③ 函数()f x 在区间[9,9]-上有五个零点； 问：以上命题中正确的个数是( ）
A 。

0个
B 。

1个
C 。

2个
D 。

3个
16. 如图所示，将一圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形,去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，设正八角星的中心为O ，并且1OA e =，
2OB e =，若将点O 到正八角星16个顶点的向量都写成12e e λμ+，,λμ∈R 的形式，则λμ+的取
值范围为（ ）
A. [22,2]- B 。

[22,12]-+ C. [12,12]--+ D 。

[12,2]--
三。

解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17。

如图，在正四棱锥P ABCD -中，22PA AB ==,E 、F 分别为PB 、PD 的中点。

（1）求正四棱锥P ABCD -的全面积；
（2）若平面AEF 与棱PC 交于点M ，求平面AEMF 与平面ABCD 所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）.
18. 已知向量(cos ,1)2x m =-,2(3sin ,cos )22
x x n =，设函数()1f x m n =⋅+.
（1）若[0,]2x π
∈，11()10
f x =，求x 的值;
（2)在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c 且满足2cos 2b A c ≤,求()f B 的取值范围.
19. 已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的一个顶点坐标为(2,0)A ，且长轴长是短轴长
的两倍.
（1）求椭圆C 的方程；
(2）过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G 、H ，G 关于x 轴的对称点为G '，求证：直线G H '恒过定点(4,0).
20。

设函数2()|5|f x ax x
=-+（a ∈R ）。

（1）求函数的零点；
(2)当3a =时，求证：()f x 在区间(,1)-∞-上单调递减；
（3）若对任意的正实数a ,总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围。

21. 给定数列{}n a ,若数列{}n a 中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1)已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，试判断{}n a 是否为封闭数列，并说明理由; (2)已知数列{}n a 满足212n n n a a a +++=且212a a -=，设n S 是该数列{}n a 的前n 项和， 试问:是否存在这样的“封闭数列” {}n a ,使得对任意*n N ∈都有0n S ≠，且
12111111818
n S S S <++⋅⋅⋅+<，若存在，求数列{}n a 的首项1a 的所有取值，若不存在，说明 理由；
（3）证明：等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数1m ≥-,使1a md =.
参考答案
一。

填空题
1．{}15x x <<或(1,5)； 2．52i 2
-；
3．1
3
；
4．1；
5．33； 6．12
-；
7．π4
；
8．30；
9.
151
192; 10. 5m ≥-； 11．1
[,1]2
-；
M ≤≤
.
二。

选择题
13. A ； 14。

D ； 15．B ; 16. C 。

三. 解答题
17．（本题满分14分，第1小题满分6分,第2解:(1）因为正四棱锥P ABCD -，取AB 中点G
PA AB ==PG ∴=,
21
=482
S S S +=+⨯⨯=+侧全底（2）连接AC ，连接BD ,记AC BD O =，因为OA ，OB ,OP 两两互相垂直，如图建立空间直
角坐标系O xyz -．因为PB AB ==,所以Rt Rt POB AOB ≅△△．
所以2OA OP ==．
所以(2,0,0)A ,(0,2,0)B ，(2,0,0)C -，(0,2,0)D -，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -． 所以(2,1,1)AE =-,(2,1,1)AF =--．
设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z =,所以0,0,
n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩即20,
20.
x y z x y z -++=⎧⎨
--+=⎩
所以0y =．令1x =，2z =，所以(1,0,2)n =． 因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =
设m 与n 的夹角为ϕ，cos 51m n m n
ϕ⋅=
=
=-⨯⋅arccos 5ϕ⇒=
所以平面AEM F 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是arccos
5
．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
解:（1
）21cos ()cos cos 1122222
x x x x
f x x +=-+=
-+
111sin cos sin()22262
x x x π=-+=-+ ∵113() sin(); [0,]10652f x x x ππ
=∴-=∈又
∴33arcsin arcsin 6565
x x ππ-=⇒=+
(2）由A C A B a c A b sin 3sin 2
cos sin 232cos 2-≤-≤得
2sin cos
2sin()B A A B A ⇒≤+-
2sin cos 2[sin cos cos sin )
B A A B
A B A ⇒≤+
2sin cos cos (0,]6
A B A B B π
⇒≥⇒≥
⇒∈ ∴111
sin()(,0],()sin()()(0,]62622
B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
解：（1）因为椭圆22
22C 1(0)x y a b a b
+=>>：的一个顶点坐标为(2,0)A ，即2a =
又长轴长是短轴长的两倍,即241a b b =⇒=，所以椭圆方程2
214
x y +=；
（2）解一：设直线GH 的方程为(1)y k x =- ,点1122,,x y x y G （）,H() 则11,x y '-G (） 联立方程组2222
2
2
(1)(14)844044
y k x y k x k x k x y =-⎧+-+-=⎨+=⎩消去可得 由韦达定理可得22121222
844,,1414k k x x x x k k
-+==++ 直线211121(),y y y y x x x x ++=--，
G H ： 21121221112121
4()
4(4)=y y y x x y y y x y y x x x x x +--++==-+
---当时，
222212122121
844
[528][5()28]1414=k k k k x x x x k k x x x x -⨯-⨯-+--++=--
222221
4088
[8]1414==0k k k k k x x ---++-
所以直线则H 'G 过定点（4，0)
20。

（本题满分16分）共3小题，第(1）小题4分，第(2）小题6分，第（3)小题6分. 解：(1）① 当0a =时,函数的零点为25
x =-；
② 当2508
a a ≥-≠且
时，函数的零点是52x a =
③ 当25
8
a <-时，函数无零点;
（2）当3a =时，2
()3+5f x x x =-，令2()3+5g x x x
=-
任取12,(,1)x x ∈-∞-,且12x x <， 则()21
1212121212()232
2()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=
-+--+= ⎪⎝⎭
因为12x x <,12,(,1)x x ∈-∞-,所以210x x ->，121x x >，从而
()
211212
()230x x x x x x -+>
即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减
当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22
()3+5=3+5()f x x x g x x x
∴=
--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；
(3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，
当()0,x ∈+∞
时，255,022()+525,ax x x a
f x ax x ax x x
⎧+-+<<⎪⎪=-=⎨⎪-+-≥⎪⎩
即()f x
在区间50,
2a ⎛
⎫
+
⎪ ⎪⎝
⎭
上单调递减，
在区间⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上单调递增; 所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--， 又由于0a >，{}8
max 7,623
a a --≥,所以83m ≤．
21.(本题满分18分）共3小题,第（1）小题4分，第（2）小题6分,第（3）小题8分. 解：（1）{}n a 不是封闭数列．
因为取1,2n n ==，则123912a a +=+=,233123<<即123,m a a m +≠∈*N 从而{}12n a a a +∉，所以
{}n a 不是封闭数列；
（2）因为122++=+n n n a a a ，所以{}n a 是等差数列，又212=-a a ，所以()121-+=n a a n ， 若{}n a 是“封闭数列",所以对任意,s t ∈*N ,必存在p ∈*N ,使得
()()()111212121a s a t a p +-++-=+-，即()121a p s t =--+，故1a 是偶数,又对任意n ∈*N 都有
0≠n S ，且
12
111
111818n S S S <+++
<，所以11111818S <<,故118
811
a <<，故1a 可取的值为2,4,6 经检验得：41=a 或61=a ；
（3）证明:（必要性)任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠，若存在k a ,使s t k a a a +=,则 1112(2)(1)(1)a s t d a k d a k s t d ++-=+-⇒=--+，故存在1m k s t =--+∈Z ，使1a md =
下面证明1m ≥-
①当0d =时，显然成立
②当0d ≠时,若1m <-时则取2p m =-≥，对不同的两项1,p a a ，存在q a ，使1p q a a a +=,即2(1)(1)0md m d md q d qd +--=+-⇒=,这与0,0q d >≠矛盾,故存在整数1m ≥-，使1a md =
(充分性)若存在整数1m ≥-，使1a md =，则任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠,于是111+(1)(1)(1)(1)s t a a a s d a t d a s d md t d =+-++-=+-++-11(2)s m t a s m t d a ++-=+++-=,由于
3,1s t m +≥≥-，1s t m ∴++-为正整数,即{}1s m t n a a ++-∈证毕．。