两角和与差的正弦、余弦函数PPT精品课件

=2sin（x+ 2）-2sin（x+ 2）
=0.
3
3
本节课主要学习了：
1. sin sin cos cos sin ; sin sin cos cos sin ; cos cos cos sin sin ; cos cos cos sin sin .
1.cos50°cos20°+sin50°sin20°的值为( C )
A. 1
B. 1
C. 3
D. 3
2
3
2
3
解析：cos50°cos20°+sin50°sin20°
=cos(50°-20°)=cos30°= ． 3
2
2.(2014·成都高一检测)若 sinα＋β＝12，
sin(α－β)＝13，则ttaann
例4 不查表，计算sin75 ，sin15 的值.
解 sin 75 sin45 30
sin 45 cos 30 cos 45 sin 30
2 3 21 6 2.
2 2 22
4
sin15 sin45 30
sin 45 cos 30 cos45 sin 30
2 3 21 6 2.
3 5
5 13
4 5
12 13
63 . 65
技巧方法：
1.求α，β的正弦值、余弦值,注 意α，β的取值范围.
2.代入公式.
例3 证明 ⑴cos（ ）=sinα（α为任意角）.
2
⑵sin（
2
）=cosα( 为任意角).
证明 ⑴ cos（ ）=cos cosα＋sin sinα，
a b x1x2 y1y2.
4.写出五组诱导公式
sin2k sin
cos2k co s
sin( ) sin cos( ) cos
sin( ) sin cos( ) cos
sin( ) sin cos( ) cos
sin(2 ) sin cos(2 ) cos
a sin x b cos x a 2 b2 cos x .
读书好似爬山，爬得越高，望得越远；读书 好似耕耘，汗水流得越多，收获越丰满.
——臧克家
这首交响曲反映了哪一个重大的社 会题材？
这首交响曲以法 国大革命为题材， 表现出贝多芬对法 国资产阶级革命的 敬仰和对共和革命 英雄的崇拜感情。
向量b OP2 （cos ,sin ),
因为a b a b cos( )
y
P1(cos,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1, 0)
x
a b coscos sinsin 所以 cos( - ) coscos sinsin
我们称上式为两角差的余弦公式，记作 C
思 考 ： 公 式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 是 否对任意角α,β都成立？ 提示：当0≤α-β≤π时，公式显然成立； 当α-β不在［0,π］内时，利用诱导公式，存在θ∈ ［0,2π］，使α-β=θ+2kπ,k∈Z，若θ∈［0,π］， cosθ=cos(α-β) ； 若 θ∈(π ， 2π ］ ， 2π-θ∈ ［0,π)，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)，故上述公 式对任意角α,β都成立.
(1) 3 sin 1 cos .
2
2
解: 原式
cos
6
sin
α
sin
6
cos
α
sin
α
6
.
(2)sin cos .
解: 原式=
2
2 sin α 2
2 2
cos
α
2
sin
α
4
.
【提升总结】灵活应用公式求三角函数值的三个注 意点 (1)公式应用时要注意区分已知与未知的差别，利用 角的分解与组合建立它们之间的联系. (2)求三角函数值时要注意利用平方关系，并注意角 的取值范围. (3)注意题目中的隐含条件，如解决三角形问题时， 要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.
在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度
为半径作单位圆，又以原点为顶点，x轴非负半轴
为始边分别作角α，β且α>β，我们首先研究α，
β均为锐角的情况
y
P1(cos,sin )
O
P2(cos ,sin )
P0 (1, 0)
x
由图可知：单位圆上P1，P2两点，
P1OP2 ,
设向量a OP1 （cos ,sin ),
2
2
2
因为 cos = 0，sin =1，
2
2
所以
cos（
2
）
=sinα.
(2) sin（ ）=cos［
2
2
－（ 2
）］
=cosα，
所以sin（ ）=cosα.
2
用类似的证法，可得：
⑶cos （2 ）=－sinα
⑷sin （ ） = cosα
2
⑸
cos
（ 3
2
）=－sinα
? 因为cos 45 = 2 ，cos30 = 3
2
2
所以cos 45 cos30 = 2 3 = 2 3 0
22
2
而cos15 0
所以cos(45˚ -30˚)≠cos45˚ -cos30˚. 所以 cos（α+β）=cosα+cosβ不总是成立.
思考3:究竟cos15˚=? 思考4:cos(45˚-30˚)能否用45˚和30˚的角的三角函数 值来表示?
3
3
3
解：
原式=sin（x+ ）+2sin（x ）- 3 co［s （ +x）］
3
3
3
=sin（x+ ）+2sin（x ）+ 3 co（s +x）
3
3
3
=2[ 1 sin（x+ ） 3 co（s +x）]+2sin（x ）
2
32 3
3
=2sin（x+ 2）-2sin[ （x+ 2）]
3
3
§2 两角和与差的三角函数 2.1 两角差的余弦函数
2.2 两角和与差的正弦、余弦函数
1.平面向量的数量积
a b a b cos.
2.若 e1，e2 是单位向量,则 e1 e2 e1 e2 cos cos.
3.平面向量的数量积的坐标运算
a (x1, y1),b (x2, y2),
⑹sin （
3 2
）=－cosα
⑺cos（32 ）=sinα
⑻sin （
3 2
）
=－cosα
小结： ，3 角的三角函数值等于α 的异
2
2
名函数前加上把 α 看作锐角时原函数值的符号.
探究点3 两角和与差的正弦函数
如何求sin 的值？
解:sin
cos
2
cos2cos Nhomakorabea2
cos
思考5:如果能,那么一般情况下cos(α-β)能否用角 α,β的三角函数值来表示?请进入本节课的学习！
1.利用向量的数量积发现两角差的余弦公式.（重点） 2.能由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式和两 角和与差的正弦公式.（难点） 3.灵活正反运用两角和与差的正弦、余弦函数. （难点）
探究点1 两角差的余弦函数
=
3 5
，
3
2
，2
，求cos(
3
).
解：
因为
cos
=
35 ，
3
2
，2
,
所以s in
1 cos2
1
3 5
2
4 5.
所以co s( ) cos cos sin sin
3
3
3
3 5
1 2
4 5
3 2
34 3. 10
5.化简： sin(x ) 2sin(x ) 3 cos( 2 x).
• 此曲完成于1804年春，本欲献给法国第一位执政者拿破仑， 但当得知拿破仑将即位皇帝时，贝多芬立刻将总谱写有题词 的封面撕下，并愤怒地高喊："这是一个独裁者!"后来出版时 他将标题改为"为纪念一位伟大的英雄而作"。这部作品于 1805年在维也纳初演一举成功，从此贝多芬蜚声于欧洲乐坛。
2
，
，得
cos α 1 sin2 α 3 ; 5
又由cos
5 ，
13
，3
2
，得
sin 1 cos2 12 .
13
所以cosα cosα cos sin α sin
3 5
5 13
4 5
12 13
33 . 65
cosα + cosα cos sin α sin
探究点2 两角和的余弦函数
我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数，
利用诱导公式试求cos(α+β)？
cos( ) cos( ( ))
cos cos( ) sin sin( ) cos cos sin sin 结论：两角和与差的余弦公式C
cos( ) cos cos sin sin
2
2
2(cos π sin x sin π cos x)
3
3
2sin(x π ). 3
故当x π 2kπ π (k Z)时，也即是
3
2
x 2kπ π (k Z)时，sin(x π )取最大值1，
6
3
函数f x 2.周期T 2π 2π 2π.
max
ω1
【变式练习】
把下列各式化为一个角的三角函数形式
贝 多 芬
你知道托尔斯泰哪些 文学代表作？
它们在俄国历史上起 过什么作用？
托尔斯泰晚年为什么 选择“平民化”的道
“我要扼住命运的咽喉，它决不能使我 完全屈服”
——贝多芬
1.当时贝多芬遇到了怎样的厄 运？
2.他是怎样“扼住命运的咽 喉”？
《吃土豆的人》
哪一首乐曲标志着贝多芬在艺术 上和思想上的成熟？
cos
a2 b2 sin b a2 b2
a2 b2 sin x cos cos x sin a2 b2 sin x
例5 求f x sin x 3 cos x 的最大值和周期.
解 f x sin x 3 cos x
2(1 sin x 3 cos x)
2.两角差的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin , 简记：S .
【提升总结】公式 S，的S结 构特征 (1) S ,的S结 构特征：左边是两角和、差的正弦，右 边是前一角的正弦与后一角余弦的积与前一角的余弦 与后一角正弦的积的和、差. (2)公式中的角α,β是任意的角.
2 2 22
4
化aa 2sinbx2 sbincxocsoxs 为一co个s x角si的n 三 角函数形式
aa 2s inbx2
sbincox scoxs
a 2cosb2x sin aa2
b2
sin
sin x
x
c
o
sb
cos x sin
cos x
a2 b2
a2 b2
令
aa 2 b 2 sin x cos cos x s
规律小结：函数名不变， 符号看象限
如何求cos（–375˚）的值？ 解：cos(–375˚)=cos375˚=cos(360˚+15˚)=cos15˚ 思考1:15˚能否写成两个特殊角的和或差的形式?
15˚=45˚-30˚ 思考2: cos15˚=cos(45˚-30˚)=cos45˚-cos30˚成立吗
α β的值为(
A
)
1
A.5
B.-1
C.6
D.6
1
3.cos255°cos195°-sin75°sin195°=___2___. 解析：cos255°cos195°-sin75°sin195°
=cos75°cos15°+sin75°sin15° =cos(75°-15°) = .1
2
4.已知cos
注：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）. 2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在 前正弦在后.
公式应用
C± = C C
±
公式形式
为ccss
S S
例1 不查表，求cos75°，cos15°的值 .
解 cos75°= cos（45°+30°） = cos45°cos30°-sin45°sin30°
2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简
三角函数式和证明三角恒等式.应用公式时要灵
活使用，并要注意公式的逆向使用.
3.在用已知角来求未知角这类题型时，应注意两点： （1）凑角，即尽可能用已知角表示未知角. （2）角的范围，它决定符号取正、负的问题.
4.化 aa 2sinb 2xsinbx ccooss x co为s x一sin个 角 的三角函数形式
sin
2
sin
sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
用 代
sin[ ( )] sin cos( ) cos sin( )
sin( ) sin cos cos sin
两角和与差的正弦公式
1.两角和的正弦公式
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ, 简记：S .
2 3 21 2 2 22
6 2. 4
cos15°=cos（45°-30°） = cos45°cos30°+ sin45°sin30°
2 3 21 2 2 22
6 2. 4
例2 已知sin
4 5
,
2
,
,
cos
5 13
,
,
3
2
,求
cos
, cos
的值.
解
由sin
4，α 5