年高二物理竞赛自由电子的输运问题课件
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§1、自由电子的输运问题
一、Boltzmann方程 平衡时，电子的分布遵从Fermi －Dirac统计，
f =f(E) ，E = E(k)。
有外场 （如电场、磁场或温度梯度场）时，电子 的能量E = E(r, k, t) ，分布函数： f(r, k, t) 。
f(r, k, t)的物理意义：在t时刻，电子位置处在r－r+dr体 积元内，状态处在k－k+dk范围内的电子数为
碰撞项
v r f k&
ba
c
k f b a —— Boltzmann方程
二、弛豫时间近似
ba
—— 弛豫时间近似
f0 ：平衡Fermi －Dirac分布函数，t(k)：弛豫时间
在t= 0时撤去外场 t = 0时, f =f0+Df(t=0)， 弛豫时间近似的假设认为，碰撞促使分布函数偏 离平衡分布的部分以指数的形式消失。
t
漂移项
f
r& r f k& k
d
2. 碰撞项
单位体积中，状态处在k－k+dk中的电子数
3
dn
fk dk
单位时间内，在单位体积中由于碰撞离开k态的电子数
在单位体积中由于碰撞k－k+dk中电子数的增加率：
d 3k b a
d 3k
c
c
a k f k 1 f k k, k
b kf k 1 f k k,k
f
f f0
t
t
弛豫时间t基本上是系统恢复平衡所用的时间。 Boltzmann方程可简化为
v rf
kf
通常采用逐步逼近法求解Boltzmann方程
v rf
kf
-
¯
f0
f1
-
¯
f1
f2
-
¯
××× ×××
-
¯
fn
fn+1
三、电导和热导
只考虑各向同性的金属（多晶或立方系单晶）
电 场：
e ei
温度梯度场： T i
电流密度：
j
vx fd3k
热流密度： jq
vx E EF fd
3k Boltzmann方程 v r f
kf
1. 求分布函数f
rf
T
kf
kE
dk dt
e h
e
hv
k E k hv
v T e ve
用fo代左边的f ：
f
f0
EE
T
T
vx
e vxe
f f0
vxt k ee
T
2. 求电导s
j
vx fd3k
v碰撞变化：电子碰撞而引起分布函数的变化， 是建立或恢复平衡的因素。
分布函数的变化率：
df f
f
f
dt
td
tc
t
漂移项 碰撞项 瞬变项
稳定时： 0
0及
0
d
c
1. 漂移项
t r&, k& t t r, k r r, k k
lim
d
t0
f r r, k k, t t f r, k, t t
litm0
dN 2f r,k,t
3
dk
d 3r dxdydz
d 3k dkxdkydkz
vx exp
dvx
exp
不同的金属有不同的功函数，由于热膨胀，W是温 度的函数。
几种金属功函数的平均值（eV） Li Na K Mg Al Cu Ag Au Pt 2.48 2.28 2.22 3.67 4.20 4.45 4.46 4.89 5.36
接触பைடு நூலகம்势
W1
(EF)1
W
(EF)2 2
金属1
金属2
eV12
W1
W2
EF
金属1
金属2
金属1：带正电，V1 > 0 ，电子的静电势能－eV1 < 0 金属2：带负电，V2 < 0 ，电子的静电势能－eV2 > 0
接触电势差: V12 V1 V2
W2 W1
稳定时，分布函数的时间变化率来自两方面：
v 漂移变化：电子在外场作用下的漂移运动， 引起分布函数的变化， 是破坏平衡的因素。
v2 t
x
k
ee
T
4p
k2dk
k2 h
2m E h
dk 2m E dE
v2
v2
E
x
2
tk
l
E
v2t k 4pk2 dk
El
x
dE
一、Boltzmann方程 平衡时，电子的分布遵从Fermi －Dirac统计，
f =f(E) ，E = E(k)。
有外场 （如电场、磁场或温度梯度场）时，电子 的能量E = E(r, k, t) ，分布函数： f(r, k, t) 。
f(r, k, t)的物理意义：在t时刻，电子位置处在r－r+dr体 积元内，状态处在k－k+dk范围内的电子数为
碰撞项
v r f k&
ba
c
k f b a —— Boltzmann方程
二、弛豫时间近似
ba
—— 弛豫时间近似
f0 ：平衡Fermi －Dirac分布函数，t(k)：弛豫时间
在t= 0时撤去外场 t = 0时, f =f0+Df(t=0)， 弛豫时间近似的假设认为，碰撞促使分布函数偏 离平衡分布的部分以指数的形式消失。
t
漂移项
f
r& r f k& k
d
2. 碰撞项
单位体积中，状态处在k－k+dk中的电子数
3
dn
fk dk
单位时间内，在单位体积中由于碰撞离开k态的电子数
在单位体积中由于碰撞k－k+dk中电子数的增加率：
d 3k b a
d 3k
c
c
a k f k 1 f k k, k
b kf k 1 f k k,k
f
f f0
t
t
弛豫时间t基本上是系统恢复平衡所用的时间。 Boltzmann方程可简化为
v rf
kf
通常采用逐步逼近法求解Boltzmann方程
v rf
kf
-
¯
f0
f1
-
¯
f1
f2
-
¯
××× ×××
-
¯
fn
fn+1
三、电导和热导
只考虑各向同性的金属（多晶或立方系单晶）
电 场：
e ei
温度梯度场： T i
电流密度：
j
vx fd3k
热流密度： jq
vx E EF fd
3k Boltzmann方程 v r f
kf
1. 求分布函数f
rf
T
kf
kE
dk dt
e h
e
hv
k E k hv
v T e ve
用fo代左边的f ：
f
f0
EE
T
T
vx
e vxe
f f0
vxt k ee
T
2. 求电导s
j
vx fd3k
v碰撞变化：电子碰撞而引起分布函数的变化， 是建立或恢复平衡的因素。
分布函数的变化率：
df f
f
f
dt
td
tc
t
漂移项 碰撞项 瞬变项
稳定时： 0
0及
0
d
c
1. 漂移项
t r&, k& t t r, k r r, k k
lim
d
t0
f r r, k k, t t f r, k, t t
litm0
dN 2f r,k,t
3
dk
d 3r dxdydz
d 3k dkxdkydkz
vx exp
dvx
exp
不同的金属有不同的功函数，由于热膨胀，W是温 度的函数。
几种金属功函数的平均值（eV） Li Na K Mg Al Cu Ag Au Pt 2.48 2.28 2.22 3.67 4.20 4.45 4.46 4.89 5.36
接触பைடு நூலகம்势
W1
(EF)1
W
(EF)2 2
金属1
金属2
eV12
W1
W2
EF
金属1
金属2
金属1：带正电，V1 > 0 ，电子的静电势能－eV1 < 0 金属2：带负电，V2 < 0 ，电子的静电势能－eV2 > 0
接触电势差: V12 V1 V2
W2 W1
稳定时，分布函数的时间变化率来自两方面：
v 漂移变化：电子在外场作用下的漂移运动， 引起分布函数的变化， 是破坏平衡的因素。
v2 t
x
k
ee
T
4p
k2dk
k2 h
2m E h
dk 2m E dE
v2
v2
E
x
2
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v2t k 4pk2 dk
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x
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