2019-2020学年宜宾市新高考高一数学下学期期末学业水平测试试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中, 1
6,7,cos 5
AC BC A ===
,O 是ABC ∆的内心,若OP xOA yOB =+,其中01,12x y ≤≤≤≤,动点P 的轨迹所覆盖的面积为( )
A ．
10
63
B ．
563
C ．
103
D ．
203
2．若函数()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-有零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．9[2,]4
B ．[2,2]-
C ．[2,2]-
D ．9[2,]4
-
3．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A ．三棱锥
B ．三棱柱
C ．四棱锥
D ．四棱柱
4．把函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4
π
个单位，则所得图形对应的函数解析式为（ ） A ．cos 24x y π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
B ．cos 24y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭ C ．cos 28x y π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ D ．cos 22y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
5．已知数列前项和为
，且满足
，（为非零常数），则下列结论中: ①数列
必为等比数列；②
时，
；③
；④存在，对任意的正
整数，都有
正确的个数有（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落
在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（ ） A ．
125
B ．
85
C ．
35
D ．
25
7．以点()1,1和()2,2-为直径两端点的圆的方程是（ ）
A ．22
315222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ B ．22
315224x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
C ．()()2
2
5
322
x y +++=
D ．()()2
2
3225x y +++=
8．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ） A ．1433
AD AB AC =-+ B ．14
33
AD AB AC =
- C ．41
33
AD AB AC =
+ D ．41
33
AD AB AC =
- 9．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若389a a =，则31310log log a a +=（ ） A ．1 B ．4 C ．2
D ．3log 5
10．若a b > , 则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b >
B ．ac bc >
C ．a c b c ->-
D ．22ac bc >
11．若函数()f x x m mx =--（0m >）有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,1
B ．31,2⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()1,2
D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
12．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，46S =，则6S =（） A ．14
B ．18
C ．36
D ．60
二、填空题：本题共4小题 13．已知角α终边经过点(1,3)，则
sin cos sin 2cos αα
αα
+=-__________.
14．已知向量()1,2a =-，(),1b m =.若向量a b +与a 垂直，则m =________.
15．已知正数a 、b 满足226a b +=，则__________． 16．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为__________ . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在国内汽车市场中，国产SUV 出现了持续不退的销售热潮，2018年国产SUV 销量排行榜完整版已经出炉，某品牌车型以惊人的销量成绩击退了所有虎视眈眈的对手，再次霸气登顶，下面是该品牌国产SUV 分别在2017年与2018年7～11月份的销售量对比表
2017年（单位：万辆） 2.8 3.9 3.5 4.4 5.4 2018年（单位：万辆）
3.8
3.9
4.5
4.9
5.4
（Ⅰ）若从7月至11月中任选两个月份，求至少有一个月份这两年该国产品牌SUV 销量相同的概率． （Ⅱ）分别求这两年7月至11月的销售数据的平均数，并直接判断哪年的销售量比较稳定． 18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，3
B π
=
，13b =，3c =，D 为BC 的中点.
（1）求AD 的长； （2）求sin ADB ∠的值.
19．（6分）在ABC ∆中，131
cos ,sin sin 24
B A
C =-
=
，求角A 的值。

20．（6分）已知函数2
()(2cos )cos(2)f x a x x θ=++为奇函数，且()04
f π
=，其中a R ∈，(0,)θπ∈.
（1）求a ，θ的值. （2）若2()4
5
f α
=-
，(,)2π
απ∈，求sin()3πα+的值.
21．（6分）某班在一次个人投篮比赛中，记录了在规定时间内投进n 个球的人数分布情况： 进球数n （个）
1 2 3 4 5 投进n 个球的人数（人）
1 2
7
2
其中3n =和4n =对应的数据不小心丢失了，已知进球3个或3个以上，人均投进4个球；进球5个或5个以下，人均投进2.5个球．
（1）投进3个球和4个球的分别有多少人？
（2）从进球数为3，4，5的所有人中任取2人，求这2人进球数之和为8的概率．
22．（8分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(3cos )()cos a B C c b A -=-． （1）求A ； （2）若3b =
D 在BC 边上，2CD =，3
ADC π
∠=
，求ABC △的面积．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】
画出图形，由已知条件便知P 点在以BD ， BP 为邻边的平行四边形内，从而所求面积为2 倍的△AOB 的面积，从而需求S △AOB ：由余弦定理可以求出AB 的长为5，根据O 为△ABC 的内心，从而O 到△ABC 三边的距离相等，从而5
567
AOB
ABC
S
S
=
⋅++，由面积公式可以求
出△ABC 的面积，从而求出△AOB 的面积，这样2S △AOB 便是所求的面积． 【详解】
如图，根据题意知，P 点在以BP ，BD 为邻边的平行四边形内部， ∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △AOB ； 在△ABC 中，cos 1
5
BAC ∠=
，AC=6，BC=7； ∴由余弦定理得，213649
526
AB AB +-=⋅；
解得：AB=5，或AB=13
5
-
（舍去）； 又O 为△ABC 的内心； 所以内切圆半径r=2ABC
S a b c
∆++,
所以1
r 2
AOB s AB ∆=⋅⋅ ∴5
567
AOB
ABC
S
S
=
⋅++=
51251561182625sin BAC ⋅⋅⋅⋅∠=⋅-
=56
； ∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为106
． 故答案为：A ．
【点睛】
本题主要考查考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，余弦定理，以及三角形内心的定义，
三角形的面积公式．意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是找到P 点所覆盖的区域. 2．D 【解析】 【分析】
令()0f x =，得sin cos 2sin cos 1a x x x x =+-+，再令sin cos t x x ⎡=+∈⎣，得出
22sin cos 1x x t =-，并构造函数()2
2g t t t =-++，将问题转化为直线y a =与函数
()
y g t =在区间⎡⎣有交点，利用数形结合思想可得出实数a 的取值范围．
【详解】
令()0f x =，得sin cos 2sin cos 1a x x x x =+-+，
()
2
sin cos 12sin cos x x x x +=+，令sin cos 4t x x x π⎛
⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝
⎭， 则22sin cos 1x x t =-，所以，(
)
2
2
sin cos 2sin cos 1112x x x x t t t t +-+=--+=-++，
构造函数()2
2g t t t =-++，其中t ≤≤()2
1924
g t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，
()
max 19
24
g t g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，()(min g t g ==
所以，当9
4
a ≤≤
时，直线y a =与函数()y g t =在区间⎡⎣有交点，
因此，实数a 的取值范围是94⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
，故选D ．
【点睛】
本题考查函数的零点问题，在求解含参函数零点的问题时，若函数中只含有单一参数，可以采用参变量分离法转化为参数直线与定函数图象的交点个数问题，难点在于利用换元法将函数解析式化简，考查数形结合思想，属于中等题． 3．B 【解析】
试题分析：由三视图中的正视图可知，由一个面为直角三角形，左视图和俯视图可知其它的面为长方形．综合可判断为三棱柱． 考点：由三视图还原几何体. 4．D 【解析】
【分析】
函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），x 的系数变为原来的2倍，即为2，然后根据平移求出函数的解析式． 【详解】
函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变）， 得到cos 2y x =，
把图象向左平移
4
π
个单位， 得到cos[2()]cos(2)42y x x π
π
=+=+
故选：D ． 【点睛】
本题考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换．准确理解变换规则是关键，属于中档题． 5．C 【解析】 【分析】
由数列的递推式和等比数列的定义可得数列
为首项为，公比为的等比数列，结合等比数列的通项
公式和求和公式，即可判断． 【详解】
，可得
，即，
时，，，
相减可得
，即有数列
为首项为，公比为的等比数列，故①正确；
由①可得时，，故②错误；
，
，则，即③正确；
由①可得，等价为，
可得，故④正确．
故选：． 【点睛】
本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 6．B 【解析】 【分析】
依题意得，豆子落在阴影区域内的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，即可求出结果. 【详解】
设阴影区域的面积为S ，由题意可得8022200S =⨯，则85
S =. 故选：B. 【点睛】
本题考查随机模拟实验，根据几何概型的意义进行模拟实验计算阴影部分面积，关键在于掌握几何概型的计算公式. 7．A 【解析】 【分析】
可根据已知点直接求圆心和半径. 【详解】
点()1,1和()2,2-的中点是圆心，
∴圆心坐标是()121231,,2222+-⎛⎫+⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭ ，
点()1,1和()2,2-间的距离是直径，
()()
22
2121210r ∴=
-++=，即10
2
r =
， ∴圆的方程是2
2
315222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 故选A. 【点睛】
本题考查了圆的标准方程的求法，属于基础题型. 8．A 【解析】 【详解】 ∵3BC CD =
∴AC −AB =3(AD −AC )； ∴AD =43AC −1
3
AB . 故选A. 9．C 【解析】
试题分析：由题意得，根据等比数列的性质可知381109a a a a ==，又因为
31310log log a a +=110933log log 2a a ==，故选C ．
考点：等比数列的性质． 10．C 【解析】 【分析】
根据不等式性质，结合特殊值即可比较大小. 【详解】
对于A ，当1,2a b ==-，满足a b >，但不满足22a b >，所以A 错误； 对于B ，当,0a b c >≤时，不满足ac bc >，所以B 错误；
对于C ，由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式符号不变”，所以由a b >可得
a c
b
c ->-，因而C 正确；
对于D ，当,0a b c >=时，不满足22ac bc >，所以D 错误. 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】
本题考查了不等式大小比较，不等式性质及特殊值的简单应用，属于基础题. 11．A 【解析】 【分析】
函数()f x x m mx =--（0m >）有两个不同的零点等价于函数()f x 在()[),,,m m -∞+∞均有一个解，
再解不等式即可. 【详解】
解：因为()(1),(1),m x m x m
f x x m mx m x m x m --≥⎧=--=⎨-++<⎩
，
由函数()f x x m mx =--（0m >）有两个不同的零点， 则函数()f x 在()[),,,m m -∞+∞均有一个解，
则011
m m
m m m
m m ⎧
⎪>⎪⎪≥⎨
-⎪⎪<⎪+⎩，解得：01m <<， 故选：A. 【点睛】
本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题. 12．A 【解析】 【分析】
由已知结合等比数列的求和公式可求，1
1a q
-，q 2，然后整体代入到求和公式即可求． 【详解】
∵等比数列{a n }中，S 2＝2，S 4＝6， ∴q≠1，
则()(
)
214
1121161a q q a q
q
⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪
-⎩，
联立可得，
1
1a q
=--2，q 2＝2， S 6()
61
11a q q
=
⨯-=--2×（1﹣23）＝1． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了等比数列的求和公式的简单应用，考查了整体代入的运算技巧，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题 13．4 【解析】 【分析】
根据任意角的三角函数的定义，结合同角三角函数的基本关系求解即可． 【详解】
因为角α终边经过点(1,3)，所以3tan 31
α，因此
sin cos tan 1
4sin 2cos tan 2
αααααα++==--.
故答案为：4 【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题． 14．7 【解析】 【分析】
由a b +与a 垂直，则数量积为0，求出对应的坐标，计算即可. 【详解】
()1,2a =-，(),1b m =，
()1,3a b m +=-，又a b +与a 垂直，
故()
0a b a +⋅=， 解得()160m --+=， 解得7m =. 故答案为：7. 【点睛】
本题考查通过向量数量积求参数的值. 15．5 【解析】 【分析】
直接利用均值不等式得到答案. 【详解】
2
2
6a b +=，224
52
b a ++≤
=
当b =1,a b ==.
故答案为：5 【点睛】
本题考查了均值不等式，意在考查学生的计算能力. 16．12π 【解析】
正方体体积为8，可知其边长为2，
所以球的表面积为24πR =12π． 故答案为：12π．
点睛：设几何体底面外接圆半径为x ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为,,a b c 则其体对角线长为
长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面
的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,,a b c ，则其外接球半径公式为: 22224R a b c =++.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（Ⅰ）7
10
；（Ⅱ）20174x =，2018 4.5x =，2018年销售量更稳定. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）列举出所有可能的情况，在其中找到至少一个月份两年销量相同的情况，根据古典概型概率公式求
得结果；（Ⅱ）根据平均数和方差的计算公式分别计算出两年销量的平均数与方差；由2220182017s s <可得结
论. 【详解】
（Ⅰ）从7月至11月中任选两个月份，记为(),a b ，所有可能的结果为：
()7,8，()7,9，()7,10，()7,11，()8,9，()8,10，()8,11，()9,10，()9,11，()10,11，共10种情况
记事件A 为“至少有一个月份这两年国产品牌SUV 销量相同”，则有：
()7,8，()7,11，()8,9，()8,10，()8,11，()9,11，()10,11，共7种情况
()710
P A ∴=
，即至少有一个月份这两年国产品牌SUV 销量相同的概率为710
（Ⅱ）2017年销售数据平均数为：2017 2.8 3.9 3.5 4.4 5.4
45x ++++=
=
方差()()()()()22222
2
20171 2.84 3.94 3.54 4.44 5.440.7645s ⎡⎤=
⨯-+-+-+-+-=⎣
⎦
2018年销售数据平均数为：2018 3.8 3.9 4.5 4.9 5.4
4.55
x ++++=
= 方差
()()()()()222222
20181 3.8 4.5 3.9 4.5 4.5 4.5 4.9 4.5 5.4 4.50.364
5s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣
⎦22
20182017s s <
2018∴年的销售量更稳定
【点睛】
本题考查古典概型概率问题的求解、计算数据的平均数、利用方差评估数据的稳定性的问题；处理古典概型问题的关键是通过列举的方式得到所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，从而利用公式求得结果.
18． (1) AD =(2) sin 14
ADB ∠=
【解析】 【分析】
（1）在ABC ABD 、中分别利用余弦定理完成求解；（2）在ADB △中利用正弦定理求解sin ADB ∠的值. 【详解】
解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos b c a c a B =+-⋅， ∴2
1
139232
a a =+-⨯⨯⨯
，解得4a = ∵D 为BC 的中点，∴2BD =． 在ABD ∆中，由余弦定理得
2222cos AD AB BD AB BD ABD =+-⋅⋅∠
1
9423272
=+-⨯⨯⨯
=， ∴AD =
（2）在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AD AB
ABD ADB
=
∠∠，
∴sin sin 14
AB ABD ADB AD ∠∠==
． 【点睛】
本题考查解三角形中的正余弦定理的运用，难度较易.对于给定图形的解三角形问题，一定要注意去结合图形去分析.
19．12
A π
=
或
4
π 【解析】 【分析】
根据cos B 的值可确定23B π=
，进而得到sin sin sin sin 3A C A A π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，利用两角和差公式、二倍角
公式和辅助角公式化简求值可求得sin 26A π⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭，根据26A π+所处范围可求得26A π+的值，进而求得角A . 【详解】
1cos 2B =-且()0,B π∈ 23B π∴= 3
A C
B π
π∴+=-=
sin sin sin sin sin sin cos cos sin 333A C A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫
∴=-=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
2111cos 2sin sin cos sin 2222244A
A A A A A A A ⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
11112cos 2sin 244264A A A π⎛⎫=
+-=+-=
⎪⎝⎭ sin 26A π⎛
⎫∴+= ⎪⎝
⎭0,3A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭ 52,
666A πππ⎛⎫
∴+∈ ⎪⎝⎭
263A ππ∴+=或23π 12
A π
∴=
或
4
π
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换的公式化简求值的问题，涉及到两角和差的正弦公式、二倍角公式和辅助角公式的应用、特殊角三角函数值的求解问题；关键是能够通过三角恒等变换公式，整理化简已知式子，得到与所求角有关的角的三角函数值.
20． (1)1-；（2. 【解析】
试题分析：（1）先根据奇函数性质得y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，解得θ＝
2π
，再根据π04f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
解得a （2）根据条件化简得sinα＝45，根据同角三角函数关系得cosα，最后根据两角和正弦公式求sin π3α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值
试题解析：(1)因为f(x)＝(a ＋2cos 2x)cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)
为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝，所以f(x)＝－sin 2x·
(a ＋2cos 2x)， 由f
＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－ 1.
(2)由(1)得f(x)＝－sin 4x ，因为f ＝－sin α＝－，
即sin α＝，又α∈，从而cos α＝－， 所以sin
＝sin αcos
＋cos αsin
＝×＋
×
＝
.
21．（1）投进3个球和4个球的分别有2人和2人；（2）13
. 【解析】 【分析】
（1）设投进3个球和4个球的分别有x ，y 人，则3410422634 2.512x y x y x y x y ++⎧=⎪++⎪
⎨
++⎪=⎪++⎩
,解方程组即得解.（2）利用古典概型的概率求这2人进球数之和为8的概率． 【详解】
解：（1）设投进3个球和4个球的分别有x ，y 人，则3410422634 2.512x y x y x y x y ++⎧=⎪++⎪
⎨
++⎪=⎪++⎩
解得2
2x y =⎧⎨
=⎩
． 故投进3个球和4个球的分别有2人和2人．
（2）若要使进球数之和为8，则1人投进3球，另1人投进5球或2人都各投进4球． 记投进3球的2人为1A ，2A ；投进4球的2人为1B ，2B ；投进5球的2人为1C ，2C ．
则从这6人中任选2人的所有可能事件为：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()11,A C ，()12,A C ，()21,A B ，()22,A B ，()2
1
,A C ，()2
2
,A C ，()12,B B ，()1
1
,B C ，()1
2
,B C ，()2
1
,B C ，()22,B C ，()12,C C ．共15种．
其中进球数之和为8的是()11,A C ，()12,A C ，()21,A C ，()22,A C ，()12,B B ，有5种． 所以这2人进球数之和为8的概率为51
153
P ==． 【点睛】
本题主要考查平均数的计算和古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.
22．（1）23
A π
=
；
（2）4
ABC S
＝
. 【解析】 【分析】
（1）由正弦定理、三角函数恒等变换化简已知可得：1sin 62
A π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，结合范围()0,A π∈，可得7,666A π
ππ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
，进而可求A 的值． （2）在△ADC 中，由正弦定理可得sin 1CAD ∠=，可得2
CAD ＝
π
∠，利用三角形内角和定理可求
C B ∠∠，，即可求得AB AC ==
【详解】
（1）∵)
()cos cos a
B C c b A -=-，
∴
sin sin cos sin cos sin cos A B A C C A B A --＝，
∴sin sin cos sin cos sin cos A B B A C A A C ++＝，可得：)
sin cos sin B A A B +=
，
∵sin 0B >，
∴
cos 2sin 16A A A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，可得：1sin 62A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
∵()0,A π∈， ∴7,666A π
ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
， ∴56
6
A π
π
+
=
，可得：23A π=．
（2）∵b =
D 在BC 边上，23
CD ADC π
∠＝，＝，
∴在ADC 中，由正弦定理
sin sin AC CD ADC CAD
=∠∠2
sin 2
CAD =
∠，可得：sin 1CAD ＝∠，
∴2
CAD ＝
π
∠，可得：6
C CA
D ADC π
π∠=-∠-∠=
，
∴6
B A
C ＝＝π
π∠-∠-∠，
∴AB AC ==
∴11
sin 2224
ABC
S
AB AC A ⋅⋅==＝． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化能力，属于中档题．
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为
A ．12
B ．
56 C ．76
D ．712
2．已知函数()2
23sin cos 2cos 1f x x x x =-+，且()y f x =的图象向左平移()0m m >个单位后所得
的图象关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．
3
π B ．
6
π C ．
12
π
D ．
512
π 3．如直线1:260l ax y ++=与()()
2
2:110l x a y a +-+-=平行但不重合，则a 的值为（）． A ．1-或2
B ．2
C ．1-
D ．
2
3
4．如右图所示的直观图，其表示的平面图形是 （A ）正三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）直角三角形
5．若0a b >>，下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b <
B ．2a ab <
C ．
11a b
< D ．
1b a
< 6．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，函数()f x 是定义在R 上的单调递增的奇函数，数列{()}
n f a
的前n 项和为n S ，对于命题：
①若数列{}n a 为递增数列，则对一切*n N ∈，0n S > ②若对一切*n N ∈，0n S >，则数列{}n a 为递增数列 ③若存在*m N ∈，使得0m S =，则存在*k N ∈，使得0k a = ④若存在*k N ∈，使得0k a =，则存在*m N ∈，使得0m S = 其中正确命题的个数为（） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
7．若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8．已知a b >，且0ab ≠，则下列不等式正确的是（） A ．22a b >
B ．22a b >
C ．||||a b >
D ．
11a b
< 9．某高中三个年级共有3000名学生，现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三年级的全体学生中抽取一个容量为30的样本进行视力健康检查，若抽到的高一年级学生人数与高二年级学生人数之比为3∶2，抽到高三年级学生10人，则该校高二年级学生人数为（ ） A ．600
B ．800
C ．1000
D ．1200
10．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224
a b c
+-，则C =
A ．
π2
B ．
π3
C ．
π4
D ．
π6
11．若实数x ，y 满足约束条件0
{2020
y x y x y ≥-+≥+-≥，则2z x y =-的取值范围是（ ）
A ．[]
44，
- B ．[]24-，
C ．[)4-+∞，
D ．[
)2，-+∞ 12．已知锐角ΔABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2
()b a a c =+，则2sin sin()
A
B A -的取值范围
是（ ） A
．（ B
．1
2（ C
．12（ D
．（ 二、填空题：本题共4小题
13．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值是 .
14．已知扇形AOB 的面积为43
π
，圆心角AOB 为120，则该扇形半径为__________． 15．设数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =-，()*
1102
n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为_____．
16．已知角A 满足cos 3cos 2A A π⎛⎫-=
⎪⎝⎭，则tan 4A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭_____
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，12a <，()()612n n n S a a =++. （1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）令1
3
n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <. 18．已知向量()()4,3,1,2a b ==-． (1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；
(2)若向量a b λ-与2a b +垂直，求λ的值．
19．（6分）已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：128a a +=，且125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式．
（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，请求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．
20．（6分）在等差数列{n a }中，1a =3，其前n 项和为n S ，等比数列{n b }的各项均为正数，1b =1，公比为q,且b 2+ S 2=12，2
2
S q b =
． （1）求n a 与n b 的通项公式； （2）设数列{n c }满足1
n n
c S =
，求{n c }的前n 项和n T ． 21．（6分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3
sin 5
B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求π
sin(2)4
A +
的值. 22．（8分）已知圆C ：22
(2)(2)1x y -+-=.
（1）过(3,0)M 的直线l 与圆C ：22
(2)(2)1x y -+-=交于A ，B
两点，若||AB =l 的方
程；
（2）过(3,0)M 的直线l 与圆C ：22
(2)(2)1x y -+-=交于A ，B 两点，直接写出ABC ∆面积取值范围；
（3）已知()
1S ，()
2S ，圆C 上是否存在点P ，使得12120S PS ∠=︒，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】
分析：初始化数值1,1k s ==，执行循环结构，判断条件是否成立， 详解：初始化数值1,1k s ==
循环结果执行如下：
第一次：1
11
1(1),2,2322
s k k =+-⋅
===≥不成立； 第二次：2115(1),3,33236
s k k =+-⋅===≥成立， 循环结束，输出5
6
s =，
故选B.
点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数. 2．C 【解析】 【分析】
由函数图像的平移变换得()y f x =的图象向左平移m 个单位，得到()2sin 226g x x m π⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭
，再结合三角函数的性质运算即可得解. 【详解】
解：()2
cos 2cos 1f x x x x =-+2cos 22sin 26x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
将()y f x =的图象向左平移m 个单位，得到()2sin 226g x x m π⎛⎫
=+-
⎪⎝
⎭
， 因为平移后图象关于()0,0对称，所以sin 206m π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 可得26
m k π
π-
=，k Z ∈，212
k m ππ
=
+，k Z ∈， 因为0m >， 所以m 的最小值为12
π
，
故选C. 【点睛】
本题考查了函数图像的平移变换及三角函数的性质，属基础题. 3．C 【解析】 【分析】
两直线斜率相等，且截距不相等。

【详解】 解析：由题意得，121
a a =-，解得1a =-或2，经检验2a =时两直线重合，故1a =-. 故选C. 【点睛】
本题考查两直线平行，属于基础题. 4．D 【解析】略 5．D 【解析】 【分析】
通过反例、作差法、不等式的性质可依次判断各个选项即可. 【详解】
若2a =，1b =-，则22a b >，A 错误；
()20a ab a a b -=->，则2a ab >，B 错误； 10a >，1
0b
<，则11a b >，C 错误；
b
本题正确选项：D 【点睛】
本题考查不等式的性质，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】
利用函数奇偶性和单调性，通过举例和证明逐项分析. 【详解】
①取5n a n =-，()f x x =，则11()(4)40S f a f ==-=-<，故①错；
②对一切*n N ∈，0n S >，则1()0f a >，又因为()f x 是R 上的单调递增函数，所以10a >，若{}n a 递减，设10,0k k a a +>≤，且
2112121()()...()()...()k k k k S f a f a f a f a f a +++=++++++，
且121221...20k k k a a a a a +++=+==≤，所以121222,,...,k k k k a a a a a a ++≤-≤-≤-，则
121222()(),()(),...,()()k k k k f a f a f a f a f a f a ++≤-≤-≤-，则
2112121()()...()()...()0k k k k S f a f a f a f a f a +++=++++++≤，与题设矛盾，所以{}n a 递增，故②正确；
③取23n a n =- ，则11a =-，21a =，令()f x x =，所以12()()0f a f a +=，但是230n a n =-≠，故③错误；
④因为0k a =，所以121222...20k k k a a a a a --+=+===， 所以12122211,,...,k k k k a a a a a a ---+=-=-=-，
则12122211()(),()(),...,()()k k k k f a f a f a f a f a f a ---+=-=-=-，
则2112121()()...()()...()0k k k k S f a f a f a f a f a -+-=++++++=，则存在*m N ∈，使得0m S =，故④正确. 故选：C. 【点睛】
本题函数性质与数列的综合，难度较难.分析存在性问题时，如果比较难分析，也可以从反面去举例子说明命题不成立，这也是一种常规思路. 7．B 【解析】
正四棱锥P ABCD - ，连接底面对角线AC ，在PAC ∆中，PAC ∠为侧棱与地面所成角，通过边的关系得到答案. 【详解】
正四棱锥P ABCD - ，连接底面对角线AC ，AC =
，易知PAC ∆为等腰直角三角形.
AC 中点为O ，又正四棱锥知：PO ⊥底面ABCD
即PAC ∠ 为所求角为4
π
，答案为B 【点睛】
本题考查了线面夹角的计算，意在考察学生的计算能力和空间想象力. 8．B 【解析】 【分析】
通过反例可排除,,A C D ；根据2x
y =的单调性可知B 正确. 【详解】
当1a =-，2b =-时，22a b <，a b <，则,A C 错误； 当1a =，1b =-时，
11
a b
>，则D 错误； 由2x
y =单调递增可知，当a b >时，22a b >，则B 正确
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查不等关系的判断，解决此类问题常采用排除法，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】
根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则321030k k ++=，继而算出抽到的各年级人数，再根据分层抽样的原理可以推得该校高二年级的人数． 【详解】
根据题意可设抽到高一和高二年级学生人数分别为3k 和2k ，则
321030k k ++=，
即4k =，
所以高一年级和高二年级抽到的人数分别是12人和8人，
本题考查分层抽样的方法，属于容易题．
10．C
【解析】
分析：利用面积公式
1
2
ABC
S absinC
=和余弦定理2222
a b c abcosC
+-=进行计算可得。

详解：由题可知
222
1
24
ABC
a b c
S absinC
+-
==
所以2222absinC
a b c
+-=
由余弦定理2222
a b c abcosC
+-=
所以sinC cosC
=
()
C0,π
∈
C
4
π
∴=
故选C.
点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。

11．D
【解析】
画出
20
20
y
x y
x y
≥
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪+-≥
⎩
表示的可行域，如图所示的开放区域，平移直线2
y x z
=-，由图可知，当直线经过()
0,2时，直线在纵轴上的截距取得最大值，此时2
z x y
=-有最小值2-，无最大值，2
z x y
∴=-的取值范围是[)
2
-+∞
，，故选A.
【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最
利用余弦定理化简2
()b a a c =+后可得2sin a c a B =-，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的
关系式，从而得到2B A =，因此
2sin sin sin()
A
A B A =-，结合A 的范围可得所求的取值范围. 【详解】
22222cos ,2cos ,2sin ,b a c ac B ac c ac B a c a B =+-∴=-∴=-
()()sin sin 2sin cos sin 2sin cos sin A C A B A B A B B A ∴=-=+-=-，
因为ABC ∆为锐角三角形，所以,2A B A B A =-∴=，
0,02,032
2
2
A B A A B A π
π
π
ππ<<
<=<
<--=-<
，
64
A ππ
∴<< ，故
()2sin 1sin (,sin 22A A B A =∈-,选B. 【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式. 二、填空题：本题共4小题
13 【解析】 【分析】 【详解】
()()0a c b c -⋅-=，
20a b a c b c c ∴⋅-⋅-⋅+=，
,a b 是平面内两个相互垂直的单位向量，
∴0a b ⋅=， ∴2()a b c c +⋅=，
2cos (),||a b c a b c c ∴++=，
cos c a b θ∴=+，θ为a b +与c 的夹角，
∴2a b +=，即2cos c θ=，
所以当cos 1θ=时，即a b +与c 共线时，
c
取得最大值为. 14．2 【解析】 【分析】
将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案. 【详解】
圆心角AOB 为12023
π= 扇形AOB 的面积为2241124232233
S r r r πππ
α⇒==⨯=⇒= 故答案为2 【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.
15．2
1,
123,2n n n a n --=⎧=⎨-⨯≥⎩
【解析】 【分析】
已知n S 求n a ，通常分11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解即可。

【详解】
2n ≥时，1111
22
n n n n n a S S a a -+=-=
-，化为：13n n a a +=． 1n =时，121
12
a a -==，解得22a =-．不满足上式．
∴数列{}n a 在2n ≥时成等比数列．
∴2n ≥时，2
23n n a -=-⨯．
∴2
1,1
23,2n n s n a n --=⎧=⎨
-⨯≥⎩
．
故答案为： 2
1,
123,2n n n a n --=⎧=⎨-⨯≥⎩
． 【点睛】
16．2- 【解析】 【分析】
利用诱导公式以及两角和与差的三角公式，化简求解即可． 【详解】
解：角A 满足cos 3cos 2A A π⎛⎫
-=
⎪⎝⎭
，可得tan 3A = 则tan tan
314tan 2413
1tan tan 4
A A A π
ππ++⎛
⎫
+
===- ⎪
-⎝
⎭-． 故答案为：2-． 【点睛】
本题考查两角和与差的三角公式，诱导公式的应用，考查计算能力，是基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）根据n S 和n a 的关系式，利用1n n n a S S -=-，整理化简得到13n n a a --=，从而证明{}n a 是等差数列；
（2）利用11a S =由（1）写出n b 的通项，利用裂项相消法求出n T ，从而证明1n T < 【详解】
（1）因为()()612n n n S a a =++， 所以当2n ≥时，()()111612n n n S a a ---=++
两式相减，得到(
)(
)
2
2
1163232n n n n n a a a a a --=++-++， 整理得()()()1113n n n n n n a a a a a a ----+=+， 又因为0n a >，所以13n n a a --=， 所以数列{}n a 是等差数列，公差为3； （2）当1n =时，()()111612S a a =++， 解得11a =或12a =，
由（1）可知13n n a a --=，即公差3d =， 所以()()1111332n a a n d n n =+-=+-⨯=-， 所以()()13311
32313231
n n n b a a n n n n +=
==--+-+， 所以1111447113231
n T n n =-
+-+⋅--⋅++⋅ 1
1131
n =-
<+ 【点睛】
本题考查根据n a 与n S 的关系证明等差数列，裂项相消法求数列的和，属于中档题. 18．（1
（2）529λ= 【解析】 【分析】
（1）分别求出a ，b ，a b ⋅，再代入公式cos a b a b
θ⋅=
求余弦值；
（2）由向量互相垂直，得到数量积为0，从而构造出关于λ的方程，再求λ的值. 【详解】 (1) 2435a =+=
，21b =-+=14322a b ⋅=-⨯+⨯=，
∴cos 2555
a b a b
θ⋅=
=
=⨯. (2) ()()()4,3,24,32a b λλλλλ-=--=+-．
()()()28,61,27,8a b +=+-=
若()()
2a b a b λ-⊥+， 则()()748320λλ++-=， 解得52
9
λ=
. 【点睛】
本题考查向量数量积公式的应用及两向量垂直求参数的值，考查基本的运算求解能力. 19．（1）42n a n =-（2）存在，最小值是41． 【解析】
（1）利用等比中项的性质列方程，将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.
（2）首先求得数列{}n a 的前n 项和n S ，由60800n S n >+列不等式，解一元二次不等式求得n 的取值范围，由此求得n 的最小值. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题意得()()112
1
118
4a a d a d a a d ++=⎧⎪⎨+=⋅+⎪⎩ 化简，得 12
128
2a d d a d
+=⎧⎨
=⎩． 因为0d ≠，所以1128
2a d d a +=⎧⎨=⎩
，解得
12
4a d =⎧⎨=⎩
所以 1(1)42n a a n d n =+-=-，
即数列{}n a 的通项公式是42n a n =- （*n ∈N ）． （2）由（1）可得 21(1)
22
n n n S na d n -=+
⨯=． 假设存在正整数n ，使得60800n S n >+，即 2260800n n >+， 即2304000n n -->，解得40n >或10n <- (舍) ． 所以所求n 的最小值是41． 【点睛】
本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和公式，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
20．（1）3n a n =，1
3n n b -=；（2）23(1)
n n
T n =
+.
【解析】 【分析】
（1）根据等差数列{n a }中，1a =1，其前n 项和为n S ，等比数列{n b }的各项均为正数，1b =1，公比为q,且b 2+ S 2=12，22
S q b =
，设出基本元素，得到其通项公式；（2）由于(33)2n n n S +=，所以
12211
()(33)31
n n C S n n n n =
==-++，那么利用裂项求和可以得到结论.
（1） 设：{n a }的公差为d , 因为222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩， 解得q =1或q =-4（舍）,d =1．
故3n a n =，13n n b -=；
（2）因为(33)12211,().2(33)31
n n n n n S C S n n n n +====-++所以 故211111(1)()()32231n T n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦
212(1)313(1)
n n n
=-=++. 本题主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n 项和，以及数列求和的综合运用.
21．
（Ⅰ）b =.sin A =
13.（Ⅱ）26. 【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系2a b =，再根据余弦定理求出cos A ，
进而得到sin A ，由2a b =转化为sin 2sin A B =，求出sin B ，进而求出cos B ，从而求出2B 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
试题解析：（Ⅰ） 解：在ABC 中，因为a b >，故由3sin 5
B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，有2222cos 13b a c ac B
=+-=，所以b =由正弦定理sin sin a
b A B =,
得sin sin a B A b ==所以，b
sin A . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin2
2sin cos 13A A A ==， 25cos212sin 13A A =-=-.故πππsin 2sin2cos cos2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝
⎭. 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高。