江苏省滨海县八滩中学高三数学下学期周练试题(1)

滨海县八滩中学
2013届春学期高三数学周练习1
班级_____________姓名___________________
一．填空题
1．已知集合{}1,1,2,4A =-，{}1,0,2B =-，则A
B = 。

2．设复数z 满足(2)12z i i +=-（i 为虚数单位），则z = 。

3．一组样本数据8，12，10，11 ，9的方差为 ． 4．有5个数成公差不为零的等差数列，这5个数的和为15
5个数中随机抽取一个数，则它小于3的概率是 。

5．若)||,0(1)sin()(πϕωϕω<>++=x A x f 对任意实数t 都有
)3
()3(π
π+-=+t f t f ，记1)cos()(-+=ϕωx A x g ，则=)3(πg 6．若“21x >”是“x a <”的必要不充分条件，则a 的最大值 为 。

7．右图是一个算法的流程图，最后输出的=x ___________。

8．定义在),0(+∞上的函数)(x f 的导函数0)('<x f 恒成立，且
1)4(=f ，若()1f x y +≤，则y x y x 2222+++的最小值是________。

9．已知点O 在ABC ∆内部，且32=++，则O
A B ∆与OBC ∆的面积之比为____。

10．设函数x x x f sin )(3
+=，若2
0π
θ≤
≤时，0)1()cos (>-+m f m f θ恒成立，则实
数m 的取值范围是______________________。

11．设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为)4,3,2,1(=i a i ，P 是该四边形内任意一
点，点P 到第i 条边的距离记为i h ，若k a a a a ====43214321，则k S ih i i 2)(4
1
=∑=。

类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为)4,3,2,1(=i S i ，Q 是该三棱锥内任意一点，点Q 到第i 个面的距离记为i H ，则相应的正确命题是___________________________。

12．已知圆M 过两点)1,1(),1,1(--D C 且圆心M 在直线02=-+y x 上，设P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆M 的两条切线，B A ,是切点，则四边形PAMB 面积的最小值为____。

B
A C
D B 1
C 1
D 1
A 1
F
13．若关于x 的不等式b x x a ≤+-≤
434
32
的解集恰好是],[b a ，则=+b a __________。

14．若数列}{n a 满足12)1(1-=⋅-++n a a n n n ，则}{n a 的前40项和为______________。

二．解答题
15．已知向量)2
,0(),tan 4,3(),cos 5,4(π
ααα∈-==b a ，⊥。

求：
(1)||b a +； (2))4
cos(π
α+的值。

16．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点F 为A 1D 的中点。

(1) 求证：A 1B ∥平面AFC ；(2) 求证：平面A 1B 1CD ⊥平面AFC 。

17．如图所示，一条直角走廊宽为a 米。

现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形，它的
宽为b )0(a b <<米。

(1) 若平板车卡在直角走廊内，且∠θ=CAB ，试求平板面的长l
(2) 若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?
18．设A 是单位圆122=+y x 上任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足,0(||||>=m DA m DM 且)1≠m 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 。

(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

(2)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于Q P ,两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ,使得对任意的0>k ，都有PQ ⊥
PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由。

19．设m 为实数，函数m x m x x x f --+=)(2)(2
，⎪⎩
⎪
⎨⎧=0
)
()(x x f x h 00=≠x x 。

(1) 若)1(f ≥4，求m 的取值范围；
(2) 当m ＞0时，求证)(x h 在),[+∞m 上是单调递增函数；
(3) 若)(x h 对于一切[]2,1∈x ，不等式)(x h ≥1恒成立，求实数m 的取值范围。

20．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且
B An S n S n n n +=+--+)25()85(1， ,3,2,1=n ，其中A,B 为常数。

(1)求A 与B 的值；
(2)证明数列}{n a 为等差数列；
(3)1>对任何正整数m 、n 都成立。

八滩中学2013届春学期高三数学周练习1
参考答案
1．}2,1{-； 2．1； 3．2； 4．5
2
； 5．1-； 6．1-； 7．10-； 8．16； 9．1:3； 10．1<m ； 11．若K S S S S ====43214321，则K V
H i i i 3)(4
1
=⋅∑=；
12．52； 13．4； 14．820。

15．(1)25；(2)10
2
16．略
17．解如图，设矩形为ABEF 工，直线EF 分别交 直线BC AC ,于N M ,，过点D 作AC DP ⊥于P 过点D 作BC DQ ⊥于Q ，则
θθcos ,sin a DN a DM ==
θθtan ,tan b EN b
MF ==
所以θ
θθθθθθθcos sin )cos (sin tan tan cos sin b a b b a a EN MF DN DM l -+=--+=--+= (2)设]2,1()4
sin(2cos sin ∈+
=
+=π
θθθt ，则
122121
2222--++=--=
t b
a t a t
b at l 因为函数12+=t a y 和1222--=t b
a y 在区间]2,1(上均为减函数
所以1221212222
--++=--=t b
a t a t
b at l 在]2,1(上单调递减
所以b a b a a l 222221
22min -=-++=
故平板车的长度不能超过b a 222-米
18．（1）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且， 可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01
||||y y m
=
. ① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②
将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2
2
2 1 (0,1)y x m m m
+=>≠且.
因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以，当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0)
，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为(0,
，(0,
.
(2)解法1：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --，1(0,)N y ， 因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以2222112222
22
,,m x y m m x y m ⎧+=⎪
⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③
依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得
212121212()()
()()
y y y y m x x x x -+=--+. ④
又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即112
112
2y y y x x x +=
+. 于是由④式可得2
11212121121212()()12()()2
PQ PH
y y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH
k k ⋅=-，即212
m -=-，又0m >
，得m =
故存在m 2
2
12
y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.
图2 (01)m << 图3 (1)m > 图1
解法2：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ， 直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.
依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得
21122
244k x x x m k -+=-+，即21
222
4m x x m k
=+. 因为点H 在直线QN 上，所以21
21222
224km x y kx kx m k -==+.
于是11(2,2)PQ x kx =--，2211
21212
22242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++. 而PQ PH ⊥等价于222
122
4(2)04m k x PQ PH m k -⋅=
=+， 即220m -=，又0m >
，得m =
故存在m 2
2
12y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.
19．解（1）41)1(2)1(≥--+=m m f
当1>m 时，2)1)(1(≥--m m ，无解；…………………………………2分 当1≤m 时，2)1)(1(≥--m m ，解得21-≤m 。

…………………………………3分 所以21-≤m 。

………………………………4分
（2）由于m x m ≥>,0。

所以m x
m x x h 23)(2
-+=。

任取21x x m ≤≤，212211212)
3)(()()(x x m x x x x x h x h --=-…………………5分
0,033,021*******>>->->-x x m m m x x x x （7分）
所以0)()(12>-x h x h ………………………………8分 即：)(x h 在[)+∞,m 为单调递增函数。

（3）、① 1m <时， ]222
1,2,()2()()32x f x x x m x m x mx m ⎡∈=+--=-+⎣
， ()
()1f x h x x
=
≥恒成立()f x x ⇔≥恒成立 ， 即：2
2
()3(21)0g x x m x m =-++≥
由于()y g x =的对称轴为x =
21
16
m +< 故()g x 在]1,2⎡⎣
为单调递增函数，故2
(1)0220g m m ≥⇒-+≥。

所以1m <。

………………………………11分
② 当12m ≤≤时，2
22
22()32m x m x
h x m x m
x ⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩
12x m m x ≤≤<≤
易证 2
2m y x m x =-+ 在]1,m ⎡⎣为递增， 由②得2
32m y x m x
=+-在],2m ⎡⎣为递增， 所以，(1)1h ≥，即02m ≤≤， 所以 12m ≤≤。

………………………………14分
③当2m >时，2
2()2m h x x m x
=-+ （无解）………………………………15分
综上所述 2m ≤。

………………………………16分 20．解：(1)由11a =，26a =，311a =，得11S =，22S =，318S =． 把1,2n =分别代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28,
248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩
解得，20A =-，8B =-．……………………………4分 (2)由(1)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--， 即11582208n n n na S S n ++--=--，
①
又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．
④
④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=， ∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-=
=-=，又215a a -=，
因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．……………………………10分 (3)
1>
只要证n m n m mn a a a a a 215++> 因为45-=n a n
所以45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m 故只要证n m a a n m mn mn 216)(20251)45(5+++-+>- 即只要证n m a a n m 2372020>-+
又因为37202029)(158558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以原命题为真。

…………………………………………………………16分。