函数的单调性与曲线的凹凸性(Word)

1．讨论函数()sin f x x x =-在[0,2]π上的单调性。

【解法一】因为'()1cos 0f x x =-≤
由于cos 1x ≤，得[0,2]π上恒成立'()1cos 0f x x =-≥，而等号仅在0x =和
2x π=两个孤立点上成立，
可知，函数()sin f x x x =-在[0,2]π上单调增加。

【解法二】因为'()1cos 0f x x =-<在(0,2)π上恒成立，
可知，函数()sin f x x x =-在(0,2)π上单调增加，亦即在[0,2]π上单调增加。

2．求下列函数的单调区间：
⑴32
29123y x x x =-+-；
【解】函数32
29123y x x x =-+-的定义域为(,)-∞+∞，
由于2
'61812y x x =-+6(2)(1)x x =--，得函数有两个驻点2x =和1x =，无不
可导点，
作图表分析：
1 2
2 1
'
x x y y ---+--++−−−−−−−−−→+-
+
可知，函数3229123y x x x =-+-分别在(,1)-∞和(2,)+∞内单调增加，在(1,2)内
单调减少。

【课本答案漏了在(,1)-∞内单调增加】
⑵y x =-
【解】函数y x =-(,)-∞+∞，
由于'1y =
=1x =和一个不可导点1x =，
作图表分析：
0 1
1
' y -++---+−−−−−−−−−→+-+
y
可知，函数y x =-
分别在和(1,)+∞，在(0,1)内单调减少。

【课本答案漏了在(,0)-∞内单调增加】
⑶3
3y x x =-；
【解】函数3
3y x x =-的定义域为(,)-∞+∞，
由于2
'33y x =-3(1)(1)x x =-+，得函数有两个驻点1x =和1x =-，无不可导点，
作图表分析： -1 1
1 1
'
x x y y ---++-++−−−−−−−−−→+-
+
可知，函数33y x x =-分别在(,1)-∞-和(1,)+∞内单调增加，在(1,1)-内单调减少。

⑷2
ln(1)y x x =-+；
【解】函数2
ln(1)y x x =-+的定义域为(1,)-+∞，
由于1'21
y x x =-
+11
2()()221
x x x -
+=+，得函数在定义域(1,)-+∞上只有
一个驻点1
2
x =
，无不可导点，
作图表分析（注意定义域）
3131
1
2
x x ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯⨯+---
-++++
→'
y y −−−−−−−−-+ 可知，函数2
ln(1)y x x =-+在(-内单调减少，在1
(,)2
+∞内单调增加。

【课本答案有误】
⑸22x
y x e =；
【解】函数22x
y x e =的定义域为(,)-∞+∞，
由于222'22x
x y xe x e =+22(1)x x x e =+，得函数有两个驻点0x =和1x =-，无不
可导点，
作图表分析：
-1 0
1
'
x x y y --++-++−−−−−−−−−→+-+
可知，函数22x
y x e =分别在(,1)-∞-和(0,)+∞内单调增加，在(1,0)-内单调减少。

⑹23
(1)(1)y x x =-+。

【解】函数23
(1)(1)y x x =-+的定义域为(,)-∞+∞，
由于3
2
2
'2(1)(1)(1)3(1)y x x x x =-++-+2
1
5(1)(1)()5
x x x =-+-，得函数有三个
驻点1x =±，1
5
x =
，无不可导点，
作图表分析：
2
1
1 1
5
1
5
(1)
1 x x x ----+++++++----+'
y y −−−−−−−−−−−→++-
+
因为1x =-是函数23
(1)(1)y x x =-+连续点，且是'0y =的孤立点，
可知，函数23
(1)(1)y x x =-+分别在1(,)5-∞，(1,)+∞内单调增加，在1(,1)5
内单
调减少。

3．证明下列不等式：
⑴当0x >时，2
1ln(1)2x x x +>-
； 【解】令2
1()ln(1)()2
f x x x x =+--，
由于1
'()11f x x x
=
-++201x x =>+当0x >时恒成立， 知函数2
1()ln(1)()2
f x x x x =+--在[0,)+∞上单调增加， 而2
1(0)ln(10)(00)02
f =+--
⨯=， 从而，当0x >时2
1()ln(1)()02
f x x x x =+-->，亦即21ln(1)2x x x +>-。

证毕。

⑵当1x >
时，1
3x >-
；
【解】令1
()(3)f x x
=-，
由于2211'()0f x x x =
-=>当1x >时恒成立，
知函数1
()(3)f x x
=-在[1,)+∞上单调增加，
而1(1)(3)01
f =-=，
从而，当1x >
时1()(3)0f x x =->
，亦即13x
>-。

证毕。

⑶当02
x π
<<
时，3
1tan 3
x x x >+
； 【解】令3
1()tan ()3
f x x x x =-+
， 由于22
'()sec (1)f x x x =-+，
2''()2sec tan 2f x x x x =-
22'''()2(2sec sec tan tan sec sec )2f x x x x x x x =⋅⋅+-
4242(2sec sin sec )2x x x =+- 424sec (2sin 1)2x x =+-
24(2sin 1)2x ≥+- ---- 4sec 1x ≥
28sin 2x =+，
显见2
'''()8sin 20f x x =+>恒成立， 知函数2''()2sec tan 2f x x x x =-在(0,)2
π
上单调增加，有''()"(0)f x f >，
而2
''(0)2sec 0tan 0200f =⋅-⨯=， 可知''()0f x >当02
x π
<<
时恒成立，
由此知函数22
'()sec (1)f x x x =-+在(0,
)2
π
上单调增加，有'()'(0)f x f >，
再因22
'(0)sec 0(10)110f =-+=-=， 再知2
2
'()sec (1)0f x x x =-+>当02
x π
<<时恒成立，有()(0)f x f >，
这说明函数31()tan ()3f x x x x =-+
在(0,)2
π
上单调增加， 又再因3
1(0)tan 0(00)03
f =-+⨯=，
最终确定3
1()tan ()03
f x x x x =-+
>当02x π<<时恒成立，
亦即，当02x π<<时，3
1tan 3
x x x >+，证毕。

⑷当0x >时，1ln(x x ++>。

【解】令1ln(()x x x f +=
由于
ln('()x x x f ++
=
ln(x x +=
ln(x =
而因
"()f x =
0=
>
知函数'()f x 是增函数，即当0x >时，有'()'(0)f x f >，
再因ln(0'(00)f ==， 可知当0x >时'()0f x >恒成立，
从而知函数1ln(()x x x f +=[0,)+∞上单调增加，即当0x >时，有()(0)f x f >，
而10(0)0f =+=，
从而，当0x >时1ln 0()(f x x x +>=，
亦即1ln(x x +>。

证毕。

4．证明方程5
10x x ++=在区间(1,0)-内有且只有一个实根。

【证明】令5
()1f x x x =++，
则由于4
'()510f x x =+>恒成立，
知函数5
()1f x x x =++是增函数，
因为5
(1)(1)1110f -=--+=-<，5(0)00110f =++=>，
可知曲线5
()1f x x x =++在区间(1,0)-内，从1-单调增加到+1，亦即曲线在区
间(1,0)-内仅穿过x 轴一次，
亦即，方程5
10x x ++=在区间(1,0)-内有且只有一个实根。

5．求下列函数的凹凸区间以及拐点：
⑴43
341y x x =-+；
【解】函数43
341y x x =-+的定义域为(,)-∞+∞，
由32
'1212y x x =-，
得2
''3624y x x =-236()3x x =-，知函数有两个二阶导数的零点0x =和23
x =
，无二阶不可导点，
作图表分析：
2
3
'' 2
3
x x y y -++---+−−−−−−−−−→+-+∨
∧∨ 可知，曲线43
341y x x =-+分别在(,0)-∞和2(,)3+∞内是凹的，在2(0,)3
内是凸
的，
由于(0)1y =，4
3
2
22()3()4()1333
y =⨯-⨯+1127=
， 又知曲线43
341y x x =-+有两个拐点(0,1)和211(,)327。

⑵可知，曲线43
341y x x =-+分别在(,0)-∞和2(,)3+∞内是凹的，在2(0,)3
内是
凸的，
【解】函数4y =1
3
4(9)x =--的定义域为(,)-∞+∞，
由231'(9)3y x -=--，得532
''(9)9
y x -=-，知函数无二阶导数的零点，有一个二阶
不可导点9x =，
易见，当9x <时，''0y <，当9x >时，''0y >，
可知，曲线4y =(,9)-∞上是凸的，在(9,)+∞上是凹的，
由于(9)44y ==，
又知曲线4y =(9,4)。

⑶x y xe =；
【解】函数x
y xe =的定义域为(,)-∞+∞，
由'(1)x y x e =+，得''(2)x
y x e =+，知函数有一个二阶导数的零点2x =-，无二阶
不可导点，
易见，当2x <-时，''0y <，当2x >-时，''0y >，
可知，曲线x
y xe =在(,2)-∞-上是凸的，在(2,)-+∞上是凹的，
由于2(2)2y e --=-，又知曲线x y xe =有一个拐点2
(2,2)e ---。

⑷ln(1)y x x =-+；
【解】函数ln(1)y x x =-+的定义域为(1,)-+∞，
由1
'11y x =-+1x x
=+，得21"0(1)y x =
>+恒成立，知曲线ln(1)y x x =-+是凹的，无拐点。

⑸2
21x
y x =
+； 【解】函数2
21x
y x
=
+的定义域为(,)-∞+∞， 由222
(1)2'2(1)
x x x y x +-⋅=+2
2212(1)x x -=+， 得2222242(1)(1)2(1)2"2(1)x x x x x y x -+--+=
+23
4((1)x x x x +=
+， 知函数有三个二阶导数的零点0x =
，x =
作图表分析：
0 3
x x x ---++
---++-++
+
''
y y −−−−−−−−−−−→-+-+∧∨∧∨
可知，曲线2
21x
y x =
+分别在(,-∞和上是凸的，分别在(和
)+∞上是凹的，
由于2
20(0)010y ⨯=
=+，(y =2
=±，
又知曲线221x y x =
+有三个拐点(2，(0,0)和2。

⑹arctan x
y e =。

【解】函数arctan x
y e =的定义域为(,)-∞+∞，
由arctan 2
1
'1x
y e
x
=+， 得arctan arctan 222212''(1)(1)x
x
x y e
e x x -=+++arctan 22
(12)(1)x e x x =-+，
知函数有一个二阶导数的零点1
2
x =
，无二阶不可导点， 易见，当12x <时，''0y >，当1
2
x >时，''0y <，
可知，曲线arctan x
y e =在1(,)2-∞上是凹的，在1(,)2
+∞上是凸的，
由于1
arctan 2
1()2
y e =，知曲线的拐点是1
arctan 21(,)2e。

6．利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式： ⑴
1()()22
n n n
x y x y ++>（0x >，0y >，x y ≠，1n >） 【证明】研究函数()n
f x x =（1n >），
由于1
'()n f x nx
-=，2
''()(1)n f x n n x
-=-，
当0x >时，''()0f x >恒成立，
可知曲线()n
f x x =（1n >）在(0,)+∞上是凹的，
即由曲线凹凸定义，凹曲线()n
f x x =在(0,)+∞上的任意相异两点x ，y ，恒有
()()
(
)22
x y f x f y f ++<， 亦即 ()22
n n
n x y x y ++<，
即为
1()()22n n n x y x y ++>（0x >，0y >，x y ≠，1n >）成立， 证毕。

⑵cos cos cos 22
x y x y ++>（,(,)22x y ππ∈-）。

【证明】研究函数()cos f x x =（22x π
π
-<<），
由于'()sin f x x =-，''()cos f x x =-， 当22x π
π
-<<时，''()0f x <恒成立，
可知曲线()cos f x x =在(,)22
ππ-内是凸的， 即由曲线凹凸定义，凸曲线()cos f x x =在(,)22ππ-
上的任意相异两点x ，y ，恒有 ()()()22
x y f x f y f ++>， 亦即 cos cos cos 22
x y x y ++>， 即为 cos cos cos 22x y x y ++>（,(,)22
x y ππ∈-）成立， 证毕。

7.问a 及b 为何值时，点(1,1)为曲线3
ln y ax b x =+的拐点？
【解】函数3ln y ax b x =+的定义域为(0,)+∞， 由于2
'3b y ax x =+，2''6b y ax x =-326ax b x -=，
得函数有一个二阶导数零点x = 于是，要使点(1,1)为曲线3ln y ax b x =+的拐点，利用拐点定义，以及拐点是曲线
上的点的要求，应使3111ln1a b ==⨯+⎩
，亦即16a b =⎧⎨=⎩。

8．试确定曲线32
y ax bx cx d =+++中的a ，b ，c ，d ，使得在2x =-处曲线有水平切线，(1,10)-为拐点，且点(2,44)-在曲线上．
【解】函数32y ax bx cx d =+++的定义域为(,)-∞+∞，
由于2
'32y ax bx c =++，''62y ax b =+，
要使曲线在2x =-处有水平切线，应使2'3(2)2(2)0y a b c =-+-+=，
要使曲线以(1,10)-为拐点，应使''6120y a b =⨯+=且10y a b c d =+++=-， 要使点(2,44)-在曲线上，应使32(2)(2)(2)44y a b c d =-+-+-+=， 联立方程组2323(2)2(2)0612010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪⨯+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩
即为12403010
84244a b c a b a b c d a b c d -+=⎧⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+=⎩，
解得1a =，3b =-，24c =-，16d =。

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