2021届上海市普陀区高三下学期高考调研数学试题及答案

2021届上海市普陀区高三下学期高考调研数学试题
一、单选题
1．如图，一个空间几何体的主视图､左视图､俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的体积是（）
A．1
3
B．
1
4
C．
1
6
D．1
答案：C
根据三视图得到直观图，再根据锥体的体积公式计算可得；
解：解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，可由正方体截得，为正方体中的三棱锥P﹣ABC，正方体棱长为1.
几何体的体积为：111
111
326⨯⨯⨯⨯=.
故选：C.
2．三角形ABC所在平面内一点P满足PA PB PB PC PC PA
⋅=⋅=⋅，那么点P是三角形ABC的（）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
答案：B
先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，即得点P 为三角形ABC 的垂心.
解：由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，
则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=
即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=，
即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥，
则点P 为三角形ABC 的垂心.
故选：B.
点评：本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
3．著名的波那契列{a n }：1，1，2，3，5，8，…，满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n (n ∈N )，那么1+a 3+a 5+a 7+a 9+…+a 2021是斐波那契数列中的（ ）
A ．第2020项
B ．第2021项
C ．第2022项
D ．第2023项
答案：C
利用递推关系121a a ==，将所求关系式中的“1”换为2a ，再利用21(*)n n n a a a n N ++=+∈即可求得答案．
解：因为121a a ==，
所以357920211a a a a a +++++⋯+
235792021a a a a a a =+++++⋯+
45792021a a a a a =++++⋯+
6792021a a a a =+++⋯+
20202021a a =⋯=+
2022a =， 故选：C ．
点评：本题考查数列递推式，理解斐波那契数列121a a ==，21(*)n n n a a a n N ++=+∈中递推关系的应用是关键，属于中档题．
4．已知x∈R，符号表示不超过x的最大整数，若函数
[]
()
x
f x a
x
=-(x≠0)有且仅有4个零点，
则实数a的取值范围是（）
A．
45
(,
56
]B．
4554
(,,)
564
][
3
⋃
C．
34
(,
45
]D．
3443
(,,)
453
][
2
⋃
答案：B
解：解：由f(x)=[]x
x
﹣a=0得
[]x
x
=a，
设g(x)=[]x x
，
则当0<x<1，[x]=0，此时g(x)=0，
当1≤x<2，[x]=1，此时
1
()
g x
x
=，此时
1
() 1.
2
g x
<≤，
当2≤x<3，[x]=2，此时g(x)=2
x
，此时
2
() 1.
3
g x
<≤，
当3≤x<4，[x]=3，此时
3
()
g x
x
=，此时
3
()1
4
g x
<≤，
当4≤x<5，[x]=4，此时
4
()
g x
x
=，此时
4
()1,
5
g x
<≤，
当5≤x<6，[x]=5，此时
5
()
g x
x
=，此时
5
()1,
6
g x
<≤，
当6≤x<7，[x]=6，此时
6
()
g x
x
=，此时
6
()1
7
g x
<≤，
作出函数g(x)的图像，
要使f(x)=[]x
x
﹣a有且仅有4个零点，
即函数g(x)=a有且仅有4个零点，
则由图像可知45
56
a
<≤或
54
43
a
≤<，
故选：B.
二、填空题
5．已知集合U ={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A ={﹣1，0，1}，B ={1，2}，则∁U (A ∪B )=___________. 答案：{﹣2，3}
依题意求出并集,A B 再计算补集．
解：解：∵U ={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A ={﹣1，0，1}，B ={1，2}，
∴A ∪B ={﹣1，0，1，2}，∁U (A ∪B )={﹣2，3}.
故答案为：{﹣2，3}.
6．已知3sin 5x =，(,)2x ππ∈，则cos(π﹣x )=___________. 答案：45
根据22sin cos 1x x += ，(
,)2x ππ∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π
﹣x ). 解：解：因为3sin 5x =，(,)2
x ππ∈， 可得cos x =21sin x -﹣45
， 所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45
. 故答案为：45. 点评：注意角的范围决定三角函数值的正负，以及“奇变偶不变，符号看象限”的准确运用.
7．已知一个关于x 、y 的二元线性方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫
⎪⎝⎭
，则x y +=_________． 答案：6 由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式为202
x y y -=⎧⎨+=⎩，由此能求出x y +的值.
解：由二元线性方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 可得到二元线性方程组的表达式为202x y y -=⎧⎨+=⎩
， 解得：42x y =⎧⎨=⎩
， 所以6x y +=，
故答案为：6
8．已知复数(
z i =
为虚数单位），z 表示z 的共轭复数，则z z ⋅=________. 答案：1
先由复数除法求得z ，然后再计算z z ⋅．
解：2(1
422i z i +====+，
∴22111(
)()()()1222222z z i i ⋅=+-=+=． 故答案为：1
点评：本题考查复数的运算，掌握复数四则运算法则是解题基础．本题还考查了共轭复数的概念．
9．已知直线l 的参数方程是4sin 203cos 20x t y t ⎧=-⎨=+⎩
（,x y R ∈，t 为参数），则直线l 的倾斜角的大小为___________.
答案：110°
把直线的参数方程转换成标准式即可直接得出结果.
解：解：直线l 的参数方程是4sin 203cos 20x t y t ︒︒⎧=-⎨=+⎩
（,x y R ∈，t 为参数）， 转换为标准式为4cos1103sin110x t y t
︒︒⎧=+⎨=+⎩(t 为参数)， 所以直线的倾斜角为110°，
故答案为：110°.
10．高三某位同学参加物理､化学､政治科目的等级考，已知这位同学在物理､化学､政治科目考试
中得A+概率分别为537
,,
8412
，这三门科目考试成绩互不影响，则这位考生至少得2个A+的概率为
___________.
答案：139 192
设这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+的事件分别为A，B，C，则
5
()
8
P A=，
3
()
4
P B=，
7
()
12
P C=，∴这位考生至少得2个A+的概率为：
()()()()
P ABC P ABC P ABC P ABC
+++接下来利用相互独立事件概率的乘法公式计算即可. 解：解：设这位同学在物理､化学､政治科目考试中得A+的事件分别为A，B，C，
则
5
()
8
P A=，
3
()
4
P B=，
7
()
12
P C=，
∴这位考生至少得2个A+的概率为：
()()()()
P ABC P ABC P ABC P ABC
+++
()()()()()()()()()()()() P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C =+++
537537537537
(1)(1)(1)
8412841284128412
=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯
=139 192
.
故答案为：139 192
.
点评：求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定各事件是相互独立的；
（2）再确定格式件会同时发生；
（3）求出每个事件发生的概率，再求积.
11．在某次数学测验中，6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，他们成绩的中位数为___________.
答案：81
根据平均数的求法解得86
a=，将6个数从小到大排列，中间两数80，82和的一半为中位数. 解：解：因为6位学生的成绩如下：78，85，a，82，69，80，他们得平均成绩为80，
所以78+85+a+82+69+80=6×80，解得a=86，
则将6位学生的成绩从小到大排列为：69，78，80，82，85，86，
所以他们成绩的中位数为1
(8082)81 2
⨯+=.
故答案为：81
点评：熟练掌握平均数，中位数的定义，注意：当奇数个数时，中位数为中间的那个数；当偶数个数时，中位数为中间两数和的一半.
12．下面是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果为___________.
答案：14
根据程序框图的顺序结构及循环结构进行运算得到最后的结果.
解：解：由程序框图知：第一次循环n =1，S =﹣1+1=0；
第二次循环n =2，S =0+1+2=3；
第三次循环n =3，S =3﹣1+3=5；
第四次循环n =4，S =5+1+4=10；
第五次循环n =5，S =10﹣1+5=14，
满足条件S >13，跳出循环，输出S 的值为14.
故答案为：14.
点评：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．
13．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为__________． 答案：2π
圆锥内半径最大的球是圆锥的内切球O ，设球O 与底面相切于H ，与侧面相切于点B ，利用相似三角形即可求出内切球的半径，从而求出内切球的表面积. 解：如图，由题意可知，223122AH -
圆锥内半径最大的球O 满足与底面相切于H ，与侧面相切于点B ，
则AOB ACH ， 所以AO OB AC CH
= ， 设球O 的半径为r ，则22AO r =， 221
r r -=，
解得
2
2
r，故2
42
S R
ππ
==.
故答案为：2π
点评：本题主要考查了圆锥内切球的表面积的求法，属于中档题.
14．已知实数m>1，实数x､y满足不等式组
920
6
,
x y
x y
x y
x y N
-≤
⎧
⎪-≥
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪∈
⎩
，若目标函数z=x+my的最大值等于10，
则m=___________.答案：2
根据约束条件
920
6
,
x y
x y
x y
x y N
-≤
⎧
⎪-≥
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪∈
⎩
，作图，利用线性规划进行求解
解：解：由约束条件
920
6
,
x y
x y
x y
x y N
-≤
⎧
⎪-≥
⎪
⎨
+≤
⎪
⎪∈
⎩
作出可行域如图内的整数点(含边界线上的整数点)，
联立06x y x y -=⎧⎨+=⎩
，解得A (3，3)， 6920x y x y +=⎧⎨-=⎩
⇒B (1211，5411)， 化目标函数z =x +my 为11y x z m m
=-
+， 由图可知，当直线11y x z m m =-+过B 时，直线在y 轴上的截距最大，但B 不是整数点， 因为：0≤x ≤3，54011
y ≤≤， 故当y =4，x =2时，z 有最大值为2+4m =10，
即m =2.
故答案为：2.
点评：关键点睛：利用已知条件列式作图求解，属于基础题
15．设P n (x n ，y n )是直线3x +y =1
n n +(n ∈N )与圆x 2+y 2=5在第四象限的交点，则极限(2)lim (1)n n n
y x →∞+-=___________. 答案：12
当n →+∞时，
(*)11n n N n ∈→+，求出其与圆225x y +=在第四象限的交点无限靠近(1,2)-，由21
n n y x +-的几何意义结合圆的切线的斜率求解． 解：当n →+∞时，
11n n →+， 直线3(*)1
n x y n N n +=∈+与圆225x y +=在第四象限的交点无限靠近(1,2)A -， 而21
n n y x +-可看作点(n n P x ，)n y 与(1,2)A -连线的斜率， 其值会无限接近圆225x y +=在点(1,1)A -处的切线的斜率， 其斜率为02201OA k +=
=--，∴(2)1lim (1)2n n n y x →∞+=-． 故答案为：12
． 点评：本题考查极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
16．已知向量,a b 的夹角为锐角，且满足5||7a =
､||b =，若对任意的(,){(,)||1,0}x y x y xa yb xy ∈+=>∣，都有|x +y |≤1成立，则a b ⋅的最小值为___________. 答案：17
根据题目信息对任意的(,){(,)||1,0}x y x y xa yb xy ∈+=>∣，
都有|x +y |≤1成立，分别两边平方，分离出a b ，只需22max 182(1)14x y a b xy
+≥-，转化为求22
182114x y xy +-的最大值，结合式子的特点，利用基本不等式求出最大值为17
. 解：解：因为||1xa yb +=
，且5||7a =､||b = 则|x a yb +|2=x 222222a y b xya b ++⋅=22259277x y xya b ++⋅=1≥(x +y )2恒成立， 所以22222592772x y xy x y a b xy
++-->=22
182114x y xy +-恒成立， 只需22max 182(1)14x y a b xy
+≥-， 又2222218212611111141477
y x y xy xy +-≤=-=-=， 当且仅当18x 2=2y 2时取等号，此时22
182114x y xy +-的最大值为17， 所以17a b ⋅≥
，即a b 的最小值为17， 故答案为：17
点评：分离出a b 是解题的关键，以及对求22
182114x y xy
+-的最大值，观察分式的特点联想基本不等式，需要一定的计算能力.
三、解答题
17．如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，AC =4，BD =2，且侧棱AA 1=3.其中O 1为A 1C 1与B 1D 1的交点.
（1）求点B 1到平面D 1AC 的距离；
（2）在线段BO 1上，是否存在一个点P ，使得直线AP 与CD 1垂直？若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由. 答案：（13105（2）存在，10BP =.
（1）根据图形建立空间直角坐标系，分别求出11
D B →的方向向量和平面D 1AC 的法向量，最后根据距离公式求解即可.
（2）设1
BP BO λ→
→
=⋅，分别求出直线AP 与CD 1的方向向量，根据数量积等于0求出λ的值，最后
确定点P 的位置.
解：解：（1）由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC 与BD 的交点O 为原点， 以射线OA ､OB ､OO 1分别为x ､y ､z 轴，建立空间直角坐标系.
由已知条件，相关点的坐标为A (2，0，0)，B (0，1，0)，C (﹣2，0，0)，O 1(0，0，3)，B 1(0，1，3)，D 1(0，﹣1，3)，
设平面D 1AC 的法向量为n (x,y,z)→
=， 由(4,0,0)AC →
=-，1
(2,1,3)AD →
=--，
得1.40
03·
230n AC x x y z n AD x y z ⎧=-==⎧⎪⇒⎨⎨==--+=⎩⎪⎩，
令z =1，则(0,3,1)n →
= 因11
(0,2,0)D B →
=，
故点B 1到平面D 1AC 的距离为11||310510
||
D B n d n →→
→
⋅=
=
=（2）设1
BP BO λ→
→
=⋅，
则由(2,1,0)AB →=-，1(0,1,3)BO →
=-，
得(2,13)AP AB BP λλ→→→
=+=--，. 又1
(2,1,3)CD →
=-，
故当1
AP CD →
→
⊥时，11(2,1,3)(2,1,3)10502
AP CD λλλλ→
→
⋅=--⋅-=-=⇒=
. 于是，在线段BO 1上存在点P ，使得AP ⊥CD 1， 此时1110
22
BP BO =
=
.
点评：用向量方法解决立体几何问题，树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算，要理解空间向量概念、性质、运算，注意和平面向量类比. 18．设函数2()cos(2)sin 3
f x x x π
=+
+.
（1）求函数f (x )的最大值和最小正周期； （2）设A ，B ，C 为ABC 的三个内角，1
()24
C f =-，且C 为锐角，53ABC
S =a =4，求c
边的长. 答案：（1）
max 13()22
f x =
+，T π
=；（2）21c =（1）利用两角和的余弦公式进行化简，然后结合正弦型函数图像的性质即可求得最大值与周期； （2）根据已知条件借助三角形面积公式以及余弦定理即可求出结果. 解：解：（1）1cos 2()cos 2cos
sin 2sin
3
3
2
x
f x x x π
π
-=-+
=
13
222
x - 所以2T π
πω
=
=；当22,2
x k k Z π
π=-
+∈时，
即()4
x k k Z π
π=-
∈时，
max 13
()22
f x =
+. （2）由1
(
)24C f =-得，131sin 224C -=-； 所以3
sin 2
C =
，C 为锐角，故1cos 2C =；
1
sin 53,42
ABC
S
ab C a =
==，所以b =5 所以由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C =21 故21c =
.
点评：对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ωx ＋φ)的形式，则最小正周期为2T ω
π
=
，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断
关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．
19．如图，曲线():10C xy x =>与直线:l y x =相交于1A ，作11A B l ⊥交x 轴于1B ，作12B A //l 交曲线C 于2A ，……，以此类推.
（1）写出点123,,A A A 和123,,B B B 的坐标； （2）猜想(
)n A n N
*
∈的坐标，并用数学归纳法加以证明.
答案：（1）()11,1A ，)2
221A ，3
32,32A ；()12,0B ，()
222,0B ，
()323,0B ；（2）(
1,1n
A n n n n --，证明见解析.
（1）将直线y x =，曲线1xy
=方程联立，由0x >即可求得1A ，由垂直关系可得直线11A B 方程，
令0y =即可求得1B 坐标，依次类推即可求得结果；
（2）由（1
）可归纳出n
A ；设(),n n n A x y ，()111,n n n A x y ---，由直线
11n n A B --方程可求得1n B -坐标，由直线1-n n A B 斜率为1可推导得到递推关系式；根据递推关系式，
利用数学归纳法即可证得结论.
解：（1）由10
y x
xy x =⎧⎪
=⎨⎪>⎩
得：11x y =⎧⎨=⎩，即()11,1A ；
∴直线11A B 方程为：()11y x -=--，即20x y +-=，
令0y =，解得：2x =，()12,0B ∴；
∴直线21A B 方程为：2y x =-，由2
10y x xy x =-⎧⎪=⎨⎪>⎩
得：1
1
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即)
2
1A ；
∴直线22A B
方程为：()
11y x =-
，即0x y +-=，
令0y =
，解得：x =
()
2B ∴；
∴直线32A B
方程为：y x =-
由10y x xy x ⎧=-⎪=⎨⎪>⎩
得：x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
3
A ；
∴直线33A B
方程为(y x -=--
，即0x y +-=，
令0y =
，解得：x =
()
3B ∴； （2）由（1）猜想(
)n A n N
*
∈
的坐标为n
A ，
设(),n n n A x y ，()111,n n n A x y ---，则直线11n n A B --的方程为：()11n n y y x x ---=--， 令0y =，解得：11n n x x y --=+，()111,0n n n B x y ---∴+， 直线1-n n A B 的斜率为1，即
11
1n
n n n y x x y --=--，即11n n n n x x y y ---=+，
11
11n n n n x x x x --∴
+=-， 用数学归纳法证明n A 的坐标如下：
①当1n =时，()11,1A
满足n A ；
②假设当n k =
时，k A 成立，
那么当1n k =+时，由
1111
k k k k
x x x x ++-=-得：
111k k x x ++=-
，解得：1k x +，
即当1n k =+
时，n A 成立；
综上所述：n
A .
点评：方法点睛：数学归纳法证明与()
N n n *
∈有关的式子的基本步骤如下：
①当1n =时，验证所证式子成立； ②假设当n k =时，所证式子成立；
③利用②中假设成立的式子，证明当1n k =+时，所证式子成立； ④综合上述结果即可得到结论.
20．已知A ､B 为椭圆2222x y a b
+=1(a >b >0)和双曲线22
22x y a b -=1的公共顶点，P ，Q 分别为双曲线和椭
圆上不同于A ，B 的动点，且满足()(),||1AP BP AQ BQ R λλλ+=+∈>，设直线AP ､BP ､AQ ､BQ
的斜率分别为k 1､k 2､k 3､k 4. （1）求证：点P ､Q ､O 三点共线；
（2）当a =2，b
P ､Q 都在第一象限，且直线PQ 的斜率为
1
2
，求△BPQ 的面积S ； （3）若F 1､F 2分别为椭圆和双曲线的右焦点，且QF 1//PF 2，求k 12+k 22+k 32+k 42的值. 答案：（1）证明见解析；（2
）
510
-
（3）8. 解：解：（1）证明：因为A ，B 为椭圆与双曲线的公共点，P ，Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A ，B 的动点， 又因为AP BP
+=λ(AQ BQ
+)，
所以22,OP OQ λ=⋅，即,OP OQ λ=， 所以点P ，Q ，O 三点共线. （2）设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，
直线PQ 的方程为1
,2
y x =
， 联立22
1214
3y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得x
y
所以P
， 同理22
121
43
y x x y ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得x
y
解得Q
2
， 则|PQ |=3
﹣
2
， 又因为a =2，b
联立22
22
143
143
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得B (±2，0)， 所以点B 到直线PQ 的距离d
则S =
12d |PQ
（3）因为OP =λOQ ，
所以12
1
2x x y y λλ=⎧⎨=⎩，
则22
21122x y a b
λ+= 2222
22
1x y a b +=
22112
2-1x y a b =，⇒2221222
112
12x a y b λλ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
， 因为QF 1//PF 2， 所以|OF 1|=λ|OF 2|，
所以λ2
=22
22
a b a b +-，
所以4141x y =2211λλ+-•22a b =4
4a b
，
所以(k 1+k 2)2
=4•44b a •2
1
21
x y =4，
同理(k 3+k 4)2=4，
而k 1k 2=2
1221y x a
-，
又x 12
=a 2
+22a b
•y 12
，
所以k 1k 2=2
2b a ，
同理k 1k 4=﹣2
2b a
，
所以k 12+k 22+k 32+k 42=8.
21．若函数f (x )对任意的x ∈R ，均有f (x ﹣1)+f (x +1)≥2f (x )，则称函数f (x )具有性质P . （1）判断下面两个函数是否具有性质P ，并说明理由； ①y =3x
；②y =x 3
；
（2）若函数g (x )=2(),,x x n x Q
x x -∈⎧⎨⎩
为无理数，试判断g (x )是否具有性质P ，并说明理由；
（3）若函数f (x )具有性质P ，且f (0)=f (n )=0(n >2，n ∈N )求证：对任意1≤k ≤n ﹣1，k ∈N ，均有f (k )≤0.
答案：（1）①具有性质P ，②不具有性质P ，理由见解析；（2）g (x )具有性质P ，理由见解析；（3）证明见解析.
（1）根据新定义验证f (x ﹣1)+f (x +1)≥2f (x )即可判断具有性质P ；
（2）根据新定义，举反例，当x=﹣1时不满足f(x﹣1)+f(x+1)≥2f(x)即可判断不具有性质P；（3）由于直接证明比较麻烦，所以从反面出发，即采用反证法结合新定义即可得到结论.
解：解：（1）①f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=3x﹣1+3x+1﹣2×3x=3x(1
32
3
+-)>0，故①具有性质P；
②不具有性质P，如x=﹣1时，f(x﹣1)+f(x+1)=f(﹣2)+f(0)=﹣8，而2f(﹣1)=﹣2，不满足不等式，
（2）1°当x为有理数时，具有性质P，理由如下：
f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=(x﹣1)2+(x+1)2﹣2x2﹣n(x﹣1+x+1﹣2x)=2≥0，
2°当x为无理数时，具有性质P，理由如下：
f(x﹣1)+f(x+1)﹣2f(x)=(x﹣1)2+(x+1)2﹣2x2=2>0，
综上可知g(x)具有性质P.
（3）证明：假设f(x)为f（1），f（2），…，f(n﹣1)中第一个大于0的值，则f(k)﹣f(k﹣1)>0，因为函数f(x)具有性质P，所以f(n+1)﹣f(n)≥f(n)﹣f(n﹣1)，
所以f(n+1)﹣f(n)≥f(n)﹣f(n﹣1)≥…≥f(k)﹣f(k﹣1)>0，
所以f(n)=[f(n)﹣f(n﹣1)]+[f(n﹣1)﹣f(n﹣2)]+…+f（1）>0，
与f(n)=0矛盾，所以假设错误，原命题正确，
即对于任意的1≤k≤n﹣1，k∈N，均有f(k)≤0.
点评：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。