2021年高考数学总复习 专题04 数列的综合应用强化突破 理(含解析)新人教版

新人教版
1．(xx·福州一中月考)一个三角形的三内角成等差数列，对应的三边成等比数列，则三内角所成等差数列的公差等于( )
A ．0 B.
π
12 C.
π
6
D.
π4
解析：选A 设三角形的三内角分别为A ，B ，C ，对应的边分别为a ，b ，c .令A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，则B ＝π3，b 2＝ac ，∴cos B ＝
a 2＋c 2－
b 2
2ac ＝12，可推出a ＝c ＝b .故A ＝B ＝C ＝π
3
，公差为0. 2．(xx·辽宁高考)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：
p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；
p 3：数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫a n n 是递增数列；
p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列． 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3
D ．p 1，p 4
解析：选D 设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为
假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n
＝1＋1
n
是递减数列，所以p 3为假命题；
设a n ＋3nd ＝4nd ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．选D.
3．(xx·温州模拟)已知三个不全相等的实数a ，b ，c 成等比数列，则可能成等差数列的是( )
A ．a ，b ，c
B ．a 2，b 2，c 2
C ．a 3，b 3，c 3
D.a ，b ，c
解析：选B 特值法求解，取a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则a 2，b 2，c 2为1,1,1，是等差数列，故选B.
4．(xx·海口质检)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1且a 2，1
2
a 3，a 1
成等差数列，则
a 4＋a 5
a 3＋a 4
＝( ) A.
1－5
2 B.
5＋1
2
C.5－1
2
D.
5＋12或5－1
2
解析：选B 据已知得a 3＝a 1＋a 2所以a 1q 2＝a 1＋a 1q ，所以q 2＝1＋q ，解得q ＝1±52，由于等比数列各项为正数，故q ＝1＋52，因此a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52
.故
选B.
5．已知各项不为0的等差数列{a n}满足2a2－a26＋2a10＝0，首项为1
8
的等比数
列{b n}的前n项和为S n，若b6＝a6，则S6＝( )
A．16 B.31 8
C.63
8
D.
63
16
解析：选C 由2a2－a26＋2a10＝0，∴4a6＝a26.∵a6≠0，∴a6＝4.∴b6＝4.
又∵{b n}的首项b1＝1
8
，∴q5＝
b
6
b
1
＝32.∴q＝2.
∴S6＝1
8
－4×2
1－2
＝
63
8
.故选C.
6．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )
A．211－47 B．212－57
C．213－68 D．214－80
解析：选B 由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为a n，第n个30分钟内出来的人数为b n，则a n＝4×2n－1，b n＝n，则上午11时30分公园内的人数为S
＝2＋41－210
1－2
－
10×1＋10
2
＝212－57.
故选B.
7．(xx·襄阳五中月考)已知等差数列{a n}中，a7＝π
4
，则
tan(a6＋a7＋a8)等于________．
解析：－1 由等差中项性质得a6＋a7＋a8＝3a7＝3π
4
，故
tan(a6＋a7＋a8)＝tan 3π
4
＝－1.
8．(xx·广元适应性统考)有四个自然数从小到大排成一列，前三个数成等差数列，公差为2，后三个数成等比数列，则这四个数的和为________．
解析：14或21 依题意，设这四个数依次为a－2、a、a＋2、a＋22
a
(其
中a≥2，a∈N*)．由a≥2，a∈N*，且a＋22
a
＝a＋
4
a
＋4∈N，得a是4的不小
于2的正约数，因此a＝2或a＝4.当a＝2时，这四个数依次为0、2、4、8，此时这四个数的和等于14；当a＝4时，这四个数依次为2、4、6、9，此时这四个
数的和等于21.
9．(xx·衡水中学月考)定义运算：⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
a
b c
d ＝ad －bc ，若数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a 1
122 1＝1且⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
3 3a n a n ＋1
＝12(n ∈N *
)，则a 3
＝________，数列{a n
}的通项公式为a n ＝________.
解析：10,4n －2 由题意得a 1－1＝1,3a n ＋1－3a n ＝12，即a 1＝2，a n ＋1－a n ＝4.
∴{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列． ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，a 3＝4×3－2＝10.
10．(xx·苏州中学调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝________.
解析：9 ∵a n ＋1＝3S n ，∴a n ＝3S n －1(n ≥2)．两式相减得a n ＋1－a n ＝3(S n －S n －1)
＝3a n ，∴a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1
a n
＝4.
∴{a n }从第2项起是公比为4的等比数列． 当n ＝1时，a 2＝3S 1＝3， ∴当n ≥2时，a n ＝3×4n －2，
S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10
＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48
＝1＋3(1＋4＋…＋48
) ＝1＋3×1－49
1－4＝1＋49－1＝49.
∴log 4S 10＝log 449＝9.
11．(xx·湖北高考)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．
解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0. 由题意得⎩⎨
⎧
S 2－S 4＝S 3－S 2，
a 2＋a 3＋a 4＝－18，
即⎩⎨⎧
－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2
，a 1q 1＋q ＋q 2
＝－18，
解得⎩⎨
⎧
a 1＝3，q ＝－2.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝
3·[1－－2
n
]
1－－2＝1－(－2)n .
若存在n ，使得S n ≥2 013， 则1－(－2)n ≥2 013，
即(－2)n≤－2 012.
当n为偶数时，(－2)n>0，上式不成立；
当n为奇数时，(－2)n＝－2n≤－2 012，
即2n≥2 012，解得n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k ∈N，k≥5}．
12．在正项数列{a n}中，a1＝2，点A n(a n，a n＋1)在双曲线y2－x2＝1上，数
列{b n}中，点(b n，T n)在直线y＝－1
2
x＋1上，其中T
n
是数列{b n}的前n项和．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)求证：数列{b n}是等比数列；
(3)若c n＝a n·b n，求证：c n＋1<c n.
(1)解：由已知点A n在y2－x2＝1上知，a n＋1－a n＝1，
∴数列{a n}是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，∴a n＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.
(2)证明：∵点(b n，T n)在直线y＝－1
2
x＋1上，
∴T n＝－1
2
b
n
＋1，①
∴T n－1＝－1
2
b
n－1
＋1(n≥2)，②
①－②得b n＝－1
2
b
n
＋
1
2
b
n－1
(n≥2)，
∴3
2
b
n
＝
1
2
b
n－1
，∴b n＝
1
3
b
n－1
.令n＝1，得b1＝－
1
2
b
1
＋1，
∴b1＝2
3
，∴数列{b n}是一个以
2
3
为首项，以
1
3
为公比的等比数列．
(3)证明：由(2)可知b n＝2
3
·
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
3
n－1＝
2
3n
.
∴c n＝a n·b n＝(n＋1)·2
3n ，
∴c n＋1－c n＝(n＋2)·
2
3n＋1
－(n＋1)·
2
3n
＝
2
3n＋1
[(n＋2)－3(n＋1)]＝
2
3n＋1
(－2n－1)<0，
∴c n＋1<c n.
13．(xx·南昌模拟)下表是一个由正数组成的数表，数表中各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，且公比都相等．已知a1,1＝1，a2,3＝6，a3,2＝8.
(1)求数列{a n,2}的通项公式；
(2)设b n＝a
1，n
a
n，2
＋(－1)n a1，n，n＝1,2,3，…，求数列{b n}的前n项和S n.
解：(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d，第一列依次组成的等比数列的公比是q(q>0)，
则a2,3＝qa1,3＝q(1＋2d)⇒q(1＋2d)＝6，
a
3,2
＝q2a1,2＝q2(1＋d)⇒q2(1＋d)＝8，
解得d＝1，q＝2，所以a1,2＝2⇒a n,2＝2×2n－1＝2n.
(2)由(1)知a1，n＝n，所以b n＝n
2n
＋(－1)n n，
S n ＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
2
＋
2
22
＋
3
23
＋…＋
n
2n
＋[－1＋2－3＋…
＋(－1)n n]，
记T n＝1
2
＋
2
22
＋
3
23
＋…＋
n
2n
，①
则1
2
T
n
＝
1
22
＋
2
23
＋
3
24
＋…＋
n
2n＋1
，②
①－②得1
2
T
n
＝
1
2
＋
1
22
＋
1
23
＋…＋
1
2n
－
n
2n＋1
＝1－
n＋2
2n＋1
，
所以T n＝2－n＋2 2n
，
所以当n为偶数时，S n＝n
2
＋2－
n＋2
2n
；
当n 为奇数时，S n ＝－
n ＋12
＋2－
n ＋22n
.
14．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.
(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；
(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线，求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？
解：(1)由题知，当1≤n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列， 故a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.
当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2 ＝16，公比为1＋25%＝5
4的等比数列，
则此时a n ＝16×⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －7
，
故a n
＝⎩⎨⎧
2n ＋2，1≤n ≤7，
16×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54n －7
，n ≥8.
(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，
当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n n －12×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝70，得S n ＝70＋16×54×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7
1－54
＝80×⎝ ⎛⎭
⎪⎫54n －7－10， 故该生产线前n 年每年的平均维护费用为
S n n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3，1≤n ≤780×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10n ，n ≥8
当1≤n ≤7时，⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 为递增数列， 当n ≥8时，因为S n ＋1n ＋1－S n n ＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7－10n
＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －7·⎝ ⎛⎭⎪⎫n 4－1＋10n n ＋1
>0， 所以S n ＋1n ＋1>S n n ，故⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 也为递增数列． 又S 77＝10<12，S 88＝80×54－108
＝11.25<12.
S 9 9＝
80×
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫5
4
2－10
9
≈12.78>12，
故第9年年初需更新生产线．
36210 8D72 赲26302 66BE 暾-33084 813C 脼34424 8678 虸25578 63EA 揪40675 9EE3 黣W;631213 79ED 秭z30852 7884 碄35232 89A0 覠37103 90EF 郯。