六年级奥数上第一次课 找规律
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4列
第5列
2
4
6
8
16
14
12
10
18
20
22
24
32
30
28
26
问：数“1986”出现在第几列？
(19862)21993 9938124 1
所以1986出现在第2列。
结语
谢谢大家！
1992 2 1991 3 1990
996 997
199211991219903997996
1992 21991 31990
996997
1993 1993 1993 1993
1992 21991 31990
996997
1993( 1 1 1 1 )
1992 21991 31990
996997
2
99
1 98 2 99
49 99
例4. 已知最简分数可以表示成：
m1111 1 n 2 3 4 1992
试说明分子m是1993的倍数。
思路分析：此题所有加数的分母是个自然数列，调整一 下写，可以是
1111 1 1 1
234
1990 1991 1992
(1 1 )(1 1 )(1 1 )( 1 1 )
6
6
2
2
例6. 如下图
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
14
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20
21
22
23
24
25
26
27
28
……………………
虚线框中的9个数的和恰好是162，请你像这样用一个长方形框出9个数，其和 恰好是1998，其中最大的数是多少？
思路分析：
19989 222 222 8 230
作业：1. 把自然数中的偶数2，4，6，8……依次排成5列（如下面所示），把最左边的一
4. 1+2+1=4 1+2+3+2+1=9 1+2+3+4+3+2+1=16 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1= ____
• • 5. 仔细观察，请根据你的眼力，将第4个图补充完整.
益思精析
类型一：递推、堆积问题
【例1】在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结 构的方法，如图，一层二叉的结点总数为1；二层二 叉树的结点总树为3，三层二叉树的结点总数为7；四 层二叉树的结点总数为15；照此规律，第七层二叉树 的结点数为 .
1 2
1 3
，
。第三次把4段圆弧再二等分，并在4个分点旁标
上相邻两分点旁所标两数的和，如图（3）1，1 1 5 。如此继续下去，当第八次标完数之后，圆3周2上6
所有已标的数的总和是多少？
1
1
2
2
1 2
113
113
5
5
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6
6
6
6
1 3 图(1)
1 3 图(2)
116
116
1 3
图(3)
思路分析：第一次等分和是 1 1 5 236
第二次等分和是
53 5 62
第三次等分后，和是 511211215 23 6 2
第四次等分，……
各次总和分别是 5，5，15…… 62 2
每一次总和都是上一次的3倍，因此和是一个公比是3 的等比数列。
5 3 (8 1 ) 5 1 3 3 3 3 3 3 3 3 6 4 5 1 8 2 2 .5
积中有700个奇数字，有700个偶数字。
例2. 一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 5，5，5，5，5……，那么1997第1次出现在第几 项？
思路分析：这个数列中1有1个，2有2个，3有3个，4有4 个，……，1996就有1996个。
1~1996这些自然数中一共的个数是：
1 2 3 4 … … 1 9 9 6
类型五：数字规律问题
【例5】观察各题中的变化规律，然后填上各题 中所缺的数.
【变式5.1】按下面（1）、（2）图中数 的变化规律，在（3）、（4）图的空格里 填数.
【变式5.2】观察下面各题中的变化规律， 然后填空.
练习
1. 在空的○内填上适当的数.
2. 观察下图中数的变化规律，然后填 出题中缺少的数.
1 9 9 11 99 1089 111 999 110889 1111 9999 11108889 ……
不难发现：积中有数字1、0、8、9，其中1和8的个数 相同，比左边因数中1的个数少1，积中0和9只有1个。
所以 1 1 1 … … 1 1 9 9 9 … … 9 9 1 1 1 … … 1 0 8 8 8 … … 8 9 7 0 0 个 1 7 0 0 个 9 6 9 9 个 1 6 9 9 个 8
利用等差数列求和公式： S(a1 an)n 2
可得 1 2 3 … … 1 9 9 6 ( 1 1 9 9 6 ) 1 9 9 6 1 9 9 3 0 0 6 2
说明1996这个自然数结束后，这个数列中已有1993006个 数，1997第1次出现在它后面，所以1997第1次出现在第 1993007项。
六年级奥数上第一次课 找规律
31.
.
2.
.
3. .
4. .
2. 在下面各题的5个数中，选出与其它4个数规律不同的数 ，并把它划掉，再从括号中选一个适合的数替换. （1）40，48，56，35，72 （12，32，44，64）
（2）25，75，92，100，125 （50，80，30，45）
（3）24，72，96，57，144 （36，210，66，120）
例3. 计算 1111 1
1 33 55 77 9 9 7 9 9
思路分析：
11 2 3 5 35 11 2 5 7 57 11 2 7 9 79
……
根据这个规律，把原式拆分后，再利用加、减抵 消的方法进行简算。
1 1 1 1 …… 1
13 35 57 79
97 99
3. 观察下列各数组成的“三角阵”， 第十行左起的第5个数是什么数？
六年级奥数上 第12讲 找规律
例1. 1111…11999…99 字，700个1 700个9
的积中有多少个奇数
多少个偶数字？
思路分析：如此大的因数，不可能按一般方法列竖式去乘， 一定存在着某些规律，使问题得到简化。
我们可以从“简单”入手去寻找规律：
.
类型二：递推中的规律问题
【例2】下图是一个树形图的生长过程，依据 图中所示的生长规律，第10行的实心圆点的个 数是多少？
【变式2.1】如图，根据图（1）、（2）、
（3）的规律，判断图（4）中的三角形的个数 是多少？
类型三：数阵中的归纳问题 【例3】下面是一个按照某种规律排列的数阵， 根据你猜想的规律，2012应该排在多少行？在 该行上从左到右数的第几个数？
1 (1 1) 1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1) …… 1 ( 1 1 )
2
3 2 35 2 57 2 79
2 97 99
1 (1 1 1 1 1 1 1 1 …… 1 1 1 1 )
2
33557 7 9
95 97 97 99
1 (1 1 )
从这个结果看，无论括号中的结果是一个什么样的分 数，根据分数乘以整数的计算法则，知道积的分子m 一定是质数1993的倍数。
例5. 在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周 二（等1）分。，第在二两次个把分两点段旁半分圆别弧标二上等分21 ，和在13 分，点如旁图标
上相邻两分点所标两数的和，如图（2）56
【变式1.1】木材加工厂堆放木料的方式如 下图所示：
请问第30堆木料有 ________ 根.
【变式1.2】小伟搭积木，开始时用2块积
木搭拼（第1步），然后用更多的积木块
完全包围原来的积木（第2步），如下图
反映的是前3步的图案，当第10步结束后
组成图案的积木块结束后组成图案的积木
块数为 ____
1
234
56789
10 11 12 13 14 15 16
类型四：台阶问题
【例4】学校一段楼梯共有8级台阶，规 定每步可以迈一级台阶或二级台阶，从 地面到最上面一级台阶，一共可以有多 少种不同的迈法？
【变式4】小虎每天到思齐学校都要上一 段楼梯，他每步可上1阶或2阶或3阶，这 样上到第13阶但不踏到第7阶和第11阶， 那么，不同的上法共多少种？
第5列
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问：数“1986”出现在第几列？
(19862)21993 9938124 1
所以1986出现在第2列。
结语
谢谢大家！
1992 2 1991 3 1990
996 997
199211991219903997996
1992 21991 31990
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1993 1993 1993 1993
1992 21991 31990
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1993( 1 1 1 1 )
1992 21991 31990
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例4. 已知最简分数可以表示成：
m1111 1 n 2 3 4 1992
试说明分子m是1993的倍数。
思路分析：此题所有加数的分母是个自然数列，调整一 下写，可以是
1111 1 1 1
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1990 1991 1992
(1 1 )(1 1 )(1 1 )( 1 1 )
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例6. 如下图
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虚线框中的9个数的和恰好是162，请你像这样用一个长方形框出9个数，其和 恰好是1998，其中最大的数是多少？
思路分析：
19989 222 222 8 230
作业：1. 把自然数中的偶数2，4，6，8……依次排成5列（如下面所示），把最左边的一
4. 1+2+1=4 1+2+3+2+1=9 1+2+3+4+3+2+1=16 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1= ____
• • 5. 仔细观察，请根据你的眼力，将第4个图补充完整.
益思精析
类型一：递推、堆积问题
【例1】在计算机程序中，二叉树是一种表示数据结 构的方法，如图，一层二叉的结点总数为1；二层二 叉树的结点总树为3，三层二叉树的结点总数为7；四 层二叉树的结点总数为15；照此规律，第七层二叉树 的结点数为 .
1 2
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，
。第三次把4段圆弧再二等分，并在4个分点旁标
上相邻两分点旁所标两数的和，如图（3）1，1 1 5 。如此继续下去，当第八次标完数之后，圆3周2上6
所有已标的数的总和是多少？
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1 3 图(1)
1 3 图(2)
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图(3)
思路分析：第一次等分和是 1 1 5 236
第二次等分和是
53 5 62
第三次等分后，和是 511211215 23 6 2
第四次等分，……
各次总和分别是 5，5，15…… 62 2
每一次总和都是上一次的3倍，因此和是一个公比是3 的等比数列。
5 3 (8 1 ) 5 1 3 3 3 3 3 3 3 3 6 4 5 1 8 2 2 .5
积中有700个奇数字，有700个偶数字。
例2. 一个数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 5，5，5，5，5……，那么1997第1次出现在第几 项？
思路分析：这个数列中1有1个，2有2个，3有3个，4有4 个，……，1996就有1996个。
1~1996这些自然数中一共的个数是：
1 2 3 4 … … 1 9 9 6
类型五：数字规律问题
【例5】观察各题中的变化规律，然后填上各题 中所缺的数.
【变式5.1】按下面（1）、（2）图中数 的变化规律，在（3）、（4）图的空格里 填数.
【变式5.2】观察下面各题中的变化规律， 然后填空.
练习
1. 在空的○内填上适当的数.
2. 观察下图中数的变化规律，然后填 出题中缺少的数.
1 9 9 11 99 1089 111 999 110889 1111 9999 11108889 ……
不难发现：积中有数字1、0、8、9，其中1和8的个数 相同，比左边因数中1的个数少1，积中0和9只有1个。
所以 1 1 1 … … 1 1 9 9 9 … … 9 9 1 1 1 … … 1 0 8 8 8 … … 8 9 7 0 0 个 1 7 0 0 个 9 6 9 9 个 1 6 9 9 个 8
利用等差数列求和公式： S(a1 an)n 2
可得 1 2 3 … … 1 9 9 6 ( 1 1 9 9 6 ) 1 9 9 6 1 9 9 3 0 0 6 2
说明1996这个自然数结束后，这个数列中已有1993006个 数，1997第1次出现在它后面，所以1997第1次出现在第 1993007项。
六年级奥数上第一次课 找规律
31.
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3. .
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2. 在下面各题的5个数中，选出与其它4个数规律不同的数 ，并把它划掉，再从括号中选一个适合的数替换. （1）40，48，56，35，72 （12，32，44，64）
（2）25，75，92，100，125 （50，80，30，45）
（3）24，72，96，57，144 （36，210，66，120）
例3. 计算 1111 1
1 33 55 77 9 9 7 9 9
思路分析：
11 2 3 5 35 11 2 5 7 57 11 2 7 9 79
……
根据这个规律，把原式拆分后，再利用加、减抵 消的方法进行简算。
1 1 1 1 …… 1
13 35 57 79
97 99
3. 观察下列各数组成的“三角阵”， 第十行左起的第5个数是什么数？
六年级奥数上 第12讲 找规律
例1. 1111…11999…99 字，700个1 700个9
的积中有多少个奇数
多少个偶数字？
思路分析：如此大的因数，不可能按一般方法列竖式去乘， 一定存在着某些规律，使问题得到简化。
我们可以从“简单”入手去寻找规律：
.
类型二：递推中的规律问题
【例2】下图是一个树形图的生长过程，依据 图中所示的生长规律，第10行的实心圆点的个 数是多少？
【变式2.1】如图，根据图（1）、（2）、
（3）的规律，判断图（4）中的三角形的个数 是多少？
类型三：数阵中的归纳问题 【例3】下面是一个按照某种规律排列的数阵， 根据你猜想的规律，2012应该排在多少行？在 该行上从左到右数的第几个数？
1 (1 1) 1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1) …… 1 ( 1 1 )
2
3 2 35 2 57 2 79
2 97 99
1 (1 1 1 1 1 1 1 1 …… 1 1 1 1 )
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33557 7 9
95 97 97 99
1 (1 1 )
从这个结果看，无论括号中的结果是一个什么样的分 数，根据分数乘以整数的计算法则，知道积的分子m 一定是质数1993的倍数。
例5. 在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周 二（等1）分。，第在二两次个把分两点段旁半分圆别弧标二上等分21 ，和在13 分，点如旁图标
上相邻两分点所标两数的和，如图（2）56
【变式1.1】木材加工厂堆放木料的方式如 下图所示：
请问第30堆木料有 ________ 根.
【变式1.2】小伟搭积木，开始时用2块积
木搭拼（第1步），然后用更多的积木块
完全包围原来的积木（第2步），如下图
反映的是前3步的图案，当第10步结束后
组成图案的积木块结束后组成图案的积木
块数为 ____
1
234
56789
10 11 12 13 14 15 16
类型四：台阶问题
【例4】学校一段楼梯共有8级台阶，规 定每步可以迈一级台阶或二级台阶，从 地面到最上面一级台阶，一共可以有多 少种不同的迈法？
【变式4】小虎每天到思齐学校都要上一 段楼梯，他每步可上1阶或2阶或3阶，这 样上到第13阶但不踏到第7阶和第11阶， 那么，不同的上法共多少种？