【高三】2021年5月高三数学冲刺理科试卷(有答案黄冈市)

【高三】2021年5月高三数学冲刺理科试卷（有答案黄冈市）数学（理）试题
（考试时间：1 2 0分钟试卷分数：1 5 0分）
注意事项
1．答题前将密封线内的项目及座号填写清楚．
2．请把第I卷中每小题你认为正确选项的代号填涂在答卷中答案栏内．
第I卷
一、（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数（i为虚数单位），则的虚部为
A．-1 B．0 C．i D．l
2．已知集合，则下列不正确的是
A． B． C． D．
3．若实数．则函数的图像的一条对称轴方程为
A．x=0B． C． D．
4．甲乙丙3位同学选修课程，从4门课程中选。

甲选修2门，乙丙各选修3门，则不同的选修方案共有
A．36种 B．48种 C．96种 D．1 92种
5．已知不共线向量则
A． B． C． D．
6．若，则的大小关系
A． B．
C． D．
7．从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体三视图如下，则此几何体的体积是（）
A．64
B．
C．
D．
8．执行如图所示的程序框图，若输出a= 341，判断框内应填写（）
A．k<4? B．k<5?
C．k<6? D．k<7?
9．若A为不等式组所示的平面区域，则当a从-2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域面积为（）
A．2 B．1
C． D．
10．已知过抛物线y2 =2px（p>0）的焦点F的直线x－my+m=0与抛物线交于A，B两点，且△OAB（O为坐标原点）的面积为2 ，则m6+ m4的值为（）
A．1 B． 2 C．2 D．4
11．平行四边形ABCD中， ? =0，沿BD折成直二面角A一BD－C，且4AB2 +2BD2 =1，则三棱锥A－BCD的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
12．已知R上的函数y=f（x），其周期为2，且x∈（-1,1]时f（x）=1+x2，函数g （x）= ，则函数h（x）=f（x）－g（x）在区间[-5,5]上的零点的个数为（）
A．11 B．10 C．9 D．8
第Ⅱ卷
本卷分为必做题和选做题两部分，13?21题为必做题，22、23、24为选考题。

二、题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．的展开式中常数项的值是（数字作答）；
14．已知的图像在点处的切线斜率是；
15．△ABC中，，则∠C最大值为_ ；
16．下列若干命题中，正确命题的序号是。

①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a一l）y一a+7 =0平行的充分不必要条件；
②△ABC中，若acosA=bcos B，则该三角形形状为等腰三角形；
③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线；
④对于命题使得，则均有．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤）
17．（12分）已知等差数列中，首项a1=1，公差d为整数，且满足数列满足前项和为．
（1）求数列的通项公式an；
（2）若S2为Sl，的等比中项，求正整数m的值．
18．（12分）为了保养汽车，维护汽车性能，汽车保养一般都在购车的4S店进行，某地大众汽车4S店售后服务部设有一个服务窗口专门接待保养预约。

假设车主预约保养登记所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往车主预约登记所需的时间统计结果如下：
登记所需时间（分）12345
频率0．10．40．30．10．1
从第?个车主开始预约登记时计时（用频率估计概率），
（l）估计第三个车主恰好等待4分钟开始登记的概率：
（2）X表示至第2分钟末已登记完的车主人数，求X的分布列及数学期望．
19．（12分）如图所示，四面体ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角B?AC?D的余弦值．
20．（12分）若椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为：2．
（1）过点C（-1,0）且以向量为方向向量的直线交椭圆于不同两点A、B，若，则当△OAB的面积最大时，求椭圆的方程。

（2）设M，N为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线MN的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．
21．（12分）已知函数f（x）=1n（2ax+1）+ －x2－2ax（a∈R）．
（1）若y=f（x）在[4，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（2）当a= 时，方程f（1－x）= 有实根，求实数b的最大值．，
【选考题】
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，△ABC内接于⊙O，AB =AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB =6，BC =4，求AE．
23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t 为参数）。

在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为。

（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线交于点A，B，若点P的坐标为（2，），求PA+PB．
24．（10分）选修4－5，不等式选讲
已知函数f（x）=x+l，g（x）=2x+a．
（1）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一、选择题答案
题号123456789101112
答案BCBCABCCDCAC
二、 13. 45 14. -1
15. 16. （1）（3）（4）
三、解答题
17．解：
（1）由题意，得解得 < d < ．
又d∈Z，∴d = 2．∴an=1+(n－1) 2=2n－1． 4分
（2）∵ ，
∴ ． 10分
∵ ，，，S2为S1，Sm(m∈ )的等比中项，
∴ ，即，解得m=12． 12分
18．解：设Y表示车主登记所需的时间，用频率估计概率，Y的分布如下：
Y12345
P0.10.40.30.10.1
（1）A表示事件“第三个车主恰好等待4分钟开始登记”，则事件A对应三种情形：（1）第一个车主登记所需时间为1分钟，且第二个车主登记所需的时间为3分钟；
（2）第一个车主登记所需的时间为3分钟，且第二个车主登记所需的时间为1分钟；
（3）第一个和第二个车主登记所需的时间均为2分钟。

所以
6分
（2）X所有可能的取值为：0,1,2.X=0对应第一个车主登记所需的时间超过2分钟，
所
以；X=1对应第一个车主登记所需的时间为1分钟且
第二个车主登记所需时间超过1分钟，或第一个车主登记所需的时间为2分钟，
所以；X=2对应两个
车主登记所需的时间均为1分钟，所以；
10分
所以X的分布列为
X012
P0.50.490.01
. 12分
19．
（1）证明作AH⊥平面BCD于H，连接BH、CH、DH，
易知四边形BHCD是正方形，且AH＝1，以D为原
点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，
以垂直于DB，的直线为z轴，建立空间直角坐
标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(0,2,0)， A(2,2,1)，
所以BC→＝，＝， 4分
因此BC→?DA→＝，所以AD⊥BC. 6分
（2）解：设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，则由n1⊥BC→知：n1?BC→＝同理由n1⊥AC→知：n1?AC→＝，
可取n1＝，
同理，可求得平面ACD的一个法向量为 10分
∴cos〈n1，n2〉＝n1?n2n1n2＝
即二面角B?AC?D的余弦值为 12分
20．解：
（1），设椭圆的方程为
依题意，直线的方程为：
由
设
…………………………4分
当且仅当
此时……………………6分
（2）设点的坐标为．
当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．点的坐标满足方程组
得，整理得，
于是，．
．
由知．，
将代入上式，整理得．…10分
当时，直线的方程为，的坐标满足方程组
所以，．
由知，即，
解得．………………11分
这时，点的坐标仍满足．
综上，点的轨迹方程为………………12分
21．解：
（1）因为函数在上为增函数，所以
在上恒成立。

①当时，在上恒成立，所以在上为增
函数，故符合题意。

②当时，由函数的定义域可知，必须有在上恒成立，
故只能，所以在上恒成立。

..（4分）
令函数，其对称轴为，因为，
所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以，因为，所以
综上所述，的取值范围为（6分）
（2）当，方程可化为。

问题转
化为在上有解，即求函数的值域。

令函数（10分）
则，所以当时，，函数在上为增函数，当时，，函数在上为减函数，因此。

而，所以，因此当时，取到最大值。

12分
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
解:（Ⅰ）在ΔABE和ΔACD中，
∵ ∠ABE=∠ACD………………2分
又，∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD
∴Δ Δ （角、边、角） 5分
（Ⅱ）∵∠EBC=∠BCM ∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BAC BC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴ BC=BE=4 8分
设AE= ，易证ΔABE∽ΔDEC
∴ 又
∴ 10分
23．（Ⅰ）由得 4分
（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，
即由于，故可设是上述方程的两实根，
所以故由上式及t的几何意义得：
PA+PB= = 。

10分
24．解：
所以解集为 5分
（1）即，使得成立，令，则感谢您的阅读，祝您生活愉快。