二中2010年高二第一次月考.doc

广州市第二中学2010学年度第一学期
高二级月考数学试卷
命题人：杨其武 审题人：高二备课组 10月8日
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将其序号填在答题卷上.
1．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且，
若{}{},2,3,4,5,2,3,6M N ==1，则N M -=（ ） A ．{}6 B ．{},4,51 C ．M D ．N
2. 已知向量()2,1=a ，向量()2,-=x b ，且()
b a a -⊥，则实数x 等于( )
A ．4-
B ．4
C ．0
D ．9
3.若椭圆经过点()3,2P ，且焦点为()()0,2,0,221F F -，则这个椭圆的离心率等于（ ）
A ．22
B ． 13
C ． 12
D ．32 4. 双曲线2222=-y x 的的渐近线方程是（ ）
A ．x y 2
2±= B ．x y 2±= C ．x y 3±= D ．x y 22±=
5. 如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长
为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）
A B ． C ． D ． 83
6. 已知直线l ：3420x y -+=与圆C ：22(4)(1)9x y -+-=，则直线l 与圆C 的位置关
系是（ ）
A 、l 与C 相切
B 、l 与
C 相交且过C 的圆心
C 、l 与C 相离
D 、l 与C 相交且不过C 的圆心
7. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S a ，则2a = ( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．2-
8. 过抛物线x y 82
=的焦点F 作倾斜角为︒45的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点， 弦AB 的长等于（ ）
A ． 12
B ． 14
C ． 16
D ． 18
俯视图
第二部分 非选择题
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分，请把答案填在答题卷上的相对横线上
9． 在2与16之间插入两个数a 、b ，使得2,,,16a b 成等比数列，则ab = ．
10．若tan 3α=，4tan 3
β=
，则tan()αβ-= ． 11.已知函数(1),0()2,03,0x f x x f x x x ⎧->⎪=-⎨⎪<⎩＝，则(2)f = ．
12. 以椭圆22
12449
x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是 ． 13．若双曲线116322
2=-p
y x 的左焦点在抛物线)0(22>=p px y 的准线上，则抛物线的方程为 ．
14. 已知△ABC 的面积为33，3,4==CA BC ,则AB 边长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
15.（本小题满分12分） 已知函数)2cos(cos )(π+
-=x x x f ，R x ∈． （1）求()f x 的最大值；
（2）若3()4
f α=
，求sin 2α的值.
16. （本小题满分13分）
已知平面直角坐标系中有三点()0,2-A 、()0,2B 、()2,0C
（1） 求以AC 为直径的圆1O 的方程；
（2） P 为（1）中圆1O 上任意一点，求线段PB 中点M 的轨迹方程.
17. （本小题满分13分）
经过M(2,1)作直线L 交双曲线1222=-y x 于A 、B 两点，且M 为AB 的中点， （1）求直线L 的方程； （2）求线段AB 的长.
18. （本题满分14分）
如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为BC 和PC 的中点，且AB=PD.
（1）求证：EF ∥平面PBD ；
（2）求证：DF ⊥PB
（3）求EF 与平面ABCD 所成角的正切值.
19．（本题满分14分）
已知函数215()2262
x x f x +=-⋅-，其中[0,3]x ∈， （1）求()f x 的最大值和最小值；
（2）讨论当a 取何值时，方程()0=-a x f ，[0,3]x ∈有两解、一解、无解？
20.（本小题满分14分）
如图，设椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>的右顶点与上顶点分别为A 、B ，以A 为圆心，OA 为半径的圆与以B 为圆心，OB 为半径的圆相交于点O 、P ．
（1）求点P 的坐标；
(2) 若点P 在直线32
y x =上，求椭圆的离心率； (3) 在（2）的条件下，设M 是椭圆上的一动点，且点N （0，1）
到椭圆上点的最近距离为3，求椭圆的方程．
P C A B x
y O
附加题：实验班学生必做，普通班学生选做（此题请答在第19题答题区域内） （本题解答正确完整给10分，不答或答错不扣分，超过150分按150分计）
有对称中心的曲线叫做有心曲线,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线. 过有心曲线的中心的弦叫有心曲线的直径,（为研究方便,不妨设直径所在直线的斜率存在）.
定理：过圆)0(,222>=+r r y x 上异于直径两端点的任意一点与一条直径的两个
端点连线,则两条连线的斜率之积为定值－1．
（1）写出该定理在椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 中的推广,并加以证明； （2）写出该定理在双曲线中)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的推广；你能从上述结论得到有心圆锥曲线（包括椭圆、双曲线、圆）的一般性结论吗？请写出你的结论.。