第三章-直线与方程知识点及典型例题

第三章 直线与方程知识点及典型例题
1. 直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定
它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即k=tan α。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[
)
90,0∈α时，0≥k ； 当(
)
180
,90∈α时，0<k ； 当
90=α时，k 不存在。

例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1
解：k 1=tan30°=
3
3
∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3
例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )
A.120°
B.150°
C.60°②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211
21
2x x x x y y k ≠--=
注意下面四点：
(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值
※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。

3. 直线方程
①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，
所以它的方程是x =x 1。

②斜截式：y =kx +b ，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b ③两点式：
11
2121
y y x x y y x x --=
--（1212,x x y y ≠≠）直线两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) ④截矩式：
1x y
a b
+=其中直线l 与x 轴交于点(a ，0)，与y 轴交于点(0，b ),即l 与x 轴、y 轴的 截距分别为a 、b 。

注意：一条直线与两条坐标轴截距相等分两种情况 ①两个截距都不为0 ②或都为0 ； 但不可能一个为0，另一个不为0. 其方程可设为：1x y
a b
+=或y =kx . ⑤ 一般式：A x +B y +C=0（A ，B 不全为0）
注意：(1)在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。

(2)各式的适用范围 (3)特殊式的方程如：
平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是1
2
-，经过点A(8，—2)； .
(2)经过点B(4,2)，平行于x 轴； .
(3)在x 轴和y 轴上的截距分别是3
,32
-； .
(4)经过两点P 1(3，—2)、P 2(5，—4)； . 例1：直线l 的方程为A x +B y +C =0，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ）
A ．C =0，B>0
B ．
C =0，B>0，A>0
C ．C =0，AB<0
D ．C =0，AB>0
例2：直线l 的方程为A x —B y —C =0，若A 、B 、C 满足AB.>0且BC<0，则l 直线不经的象限是（ ）
A ．第一
B ．第二
C ．第三
D ．第四 4. 两直线平行与垂直
当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，
212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

5. 已知两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，
(A 1与B 1及A 2与B 2都不同时为零)
若两直线相交，则它们的交点坐标是方程组⎩⎨
⎧=++=++0
C B A 0
C B A 222111y x y x 的一组解。

两条直线的交角：
两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角
θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝
⎛⎥⎦⎤2,0π，当
90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ.
若方程组无解21//l l ⇔ ； 若方程组有无数解⇔1l 与2l 重合 6. 点的坐标与直线方程的关系
7. 两条直线的位置关系的判定公式
两条直线垂直的判定条件：A 1B 1A 2B 2满足 12。

答：A 1A 2+B 1B 2=0 经典例题；
例1.已知两直线l 1： x +(1+m ) y =2—m 和l 2：2mx +4y +16=0，m 为何值时l 1与l 2①相交②平行 解：
例2. 已知两直线l 1：(3a +2) x +(1—4a ) y +8=0和l 2：(5a —2)x +(a +4)y —7=0垂直，求a 值 解：
例3.求两条垂直直线l 1：2x + y +2=0和l 2： mx +4y —2=0的交点坐标 解：
例4. 已知直线l 的方程为12
1
+-
=x y ， (1)求过点（2，3）且垂直于l 的直线方程；(2)求过点（2，3）且平行于l 的直线方程。

8. 两点间距离公式：设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是平面直角坐标系中的两个点，
则|AB|=2
122
12)()(y y x x -+-
9. 点到直线距离公式：一点P(x o ，y o )到直线l ：A x +B y +C =0的距离2
2
o o B
A C
B A d +++=|
y x |
10. 两平行直线距离公式
例：已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：A x +B y +C 1=0，l 2：A x +B y +C 2=0， 则l 1与l 2的距离为2
2
21B
A C C d +-=
例1：求平行线l 1：3x + 4y —12=0与l 2： ax +8y +11=0之间的距离。

例2：已知平行线l 1：3x +2y —6=0与l 2： 6x +4y —3=0，求与它们距离相等的平行线方程。

11. 直线系方程
已知两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，(A 1与B 1及A 2与B 2都不同时为零) 若两直线相交，则过它们的交点直线方程可以表示为：
l ：A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0或者λ (A 1x +B 1y +C 1)+ A 2x +B 2y +C 2 =0都可以
例1：直线l ：(2m+1)x +(m+1)y —7m —4=0所经过的定点为 。

(m ∈R) 例2：求满足下列条件的直线方程
(1) 经过点P(2，3)及两条直线l 1： x +3y —4=0和l 2：5x +2y+1=0的交点Q ；
(2) 经过两条直线l 1： 2x +y —8=0和l 2：x —2y+1=0的交点且与直线4x —3y —7=0平行； (3) 经过两条直线l 1： 2x —3y +10=0和l 2：3x +4y —2=0的交点且与直线3x —2y +4=0垂直； 解：
12. 中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1)，则线段的中点M 坐标为(221x x +，2
2
1y y +) 例. 已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB 的垂直平分线的方程。

13、对称问题：
①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等. 若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x –2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 例1：已知直线l ：2x —3y +1=0和点P(—1，—2).
(1) 分别求：点P(—1，—2)关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称点Q 坐标 (2) 分别求：直线l ：2x —3y +1=0关于x 轴、y 轴、直线y=x 、原点O 的对称的直线方程. (3) 求直线l 关于点P(—1，—2)对称的直线方程。

(4) 求P(—1，—2)关于直线l 轴对称的直线方程。

例2：点P(—1，—2)关于直线l ： x +y —2=0的对称点的坐标为 。

例3：已知圆C 1：(x+1)2+(y —1)2=1与圆C 2关于直线x —y —1=0对称，则圆C 2的方程为： 。

A. (x+2)2+(y —2)2=1
B. (x —2)2+(y+2)2=1
C. (x+2)2+(y+2)2=1
D. (x —2)2+(y —2)2=1
[基础训练A 组]
一、选择题
1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a
C ．0=+b a
D ．0=-b a
2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x
3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）
A ．0
B ．8-
C ．2
D ．10
4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第二、三、四象限
5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．0
45,1 B ．0
135,1- C ．090，不存在
D ．0
180，不存在
6．若方程014)()32(2
2
=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．2
3
-≠m
C ．1≠m
D ．1≠m ，2
3
-
≠m ，0≠m 二、填空题
1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.
2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________; 3．
若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。

4．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22
x y +的最小值是________________. 5．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为
(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

三、解答题
1．已知直线Ax By C ++=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线； （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3）系数满足什么条件时只与x 轴相交； （4）系数满足什么条件时是x 轴；
（5）设()
P x y 00，为直线Ax By C ++=0上一点， 证明：这条直线的方程可以写成()()A x x B y y -+-=000．
2．求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程。

3．经过点(1,2)A 并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？ 请求出这些直线的方程。

4．过点(5,4)A --作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．
（数学2必修）第三章 直线与方程
[综合训练B 组]
一、选择题
1．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x
2．若1(2,3),(3,2),(,)2
A B C m --三点共线 则m 的值为（ ）
Ａ．
21 Ｂ．2
1
- Ｃ．2- Ｄ．2 3．直线x a y
b
221-=在y 轴上的截距是（ ）
A ．b
B ．2
b - C ．b 2
D ．±b
4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1)
5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ）
A ．平行
B ．垂直
C ．斜交
D ．与,,a b θ的值有关
6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ）
A ．4
B
C
D 7．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的 斜率k 的取值范围是（ ） A ．3
4
k ≥
B ．324k ≤≤
C ．3
24
k k ≥≤
或 D ．2k ≤ 二、填空题
1．方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。

2．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。

3．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为
4．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n 重合，则n m +的值是___________________。

５．设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ． 三、解答题
1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2．一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点分别为(0,0)，
(0,1)时，求此直线方程。

3、把函数()y f x =在x a =及x b =之间的一段图象近似地看作直线，设a c b ≤≤， 证明：()f c 的近似值是：()()()[]f a c a
b a
f b f a +
---．
4．直线1y x =+和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1(,)2
P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等，
求m 的值。

（数学2必修）第三章 直线与方程
[提高训练C 组]
一、选择题
1．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，
又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（ ）
A ．-
13
B ．3-
C ．
1
3
D ．3 2．若()()
P a b Q c d ，、，都在直线y mx k =+上，则PQ 用a c m 、、表示为（ ） A ．()a c m ++12
B ．()m a c -
C ．
a c m -+12
D ． a c m -+12
3．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为
(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）
A ．23
B ．32
C ．32-
D ． 23
- 4．△ABC 中，点(4,1)A -,AB 的中点为(3,2)M ,重心为(4,2)P ，则边BC 的长为（ ）
A ．5
B ．4
C ．10
D ．8
5．下列说法的正确的是（ ）
A ．经过定点()
P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示 B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示 C ．不经过原点的直线都可以用方程
x a y
b
+=1表示 D ．经过任意两个不同的点()
()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程
()()()()y y x x x x y y --=--121121表示
6．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+= 二、填空题
1．已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于直线x y -=对称，直线3l ⊥2l ，则3l 的斜率是______. 2．直线10x y -+=上一点P 的横坐标是3，若该直线绕点P 逆时针旋转0
90得直线l ， 则直线l 的方程是 ．
3．一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是__________． 4．若方程0222
2
=++-y x my x 表示两条直线，则m 的取值是 ． 5．当2
1
0<
<k 时，两条直线1-=-k y kx 、k x ky 2=-的交点在 象限．
三、解答题
1．经过点(3,5)M 的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？
2．求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程 3．已知点(1,1)A ，(2,2)B ，点P 在直线x y 2
1=上，求2
2PB PA +取得 最小值时P 点的坐标。

4．求函数()f x =
第三章 直线和方程 答案 [基础训练A 组] 一、选择题
1.D tan 1,1,1,,0a
k a b a b b
α=-=--
=-=-= 2.A 设20,x y c ++=又过点(1,3)P -，则230,1c c -++==-，即210x y +-= 3.B 42,82m k m m -=
=-=-+ 4.C ,0,0a c a c
y x k b b b b
=-+=->< 5.C 1x =垂直于x 轴，倾斜角为0
90，而斜率不存在 6.C 2
2
23,m m m m +--不能同时为0 二、填空题
2d == 2. 234:23,:23,:23,l y x l y x l x y =-+=--=+ 3.250x y --= '
101
,2,(1)2(2)202
k k y x --=
=-=--=--
4.8 22
x y +可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：d =
=
5. 2
3
y x =
平分平行四边形ABCD 的面积，则直线过BD 的中点(3,2) 三、解答题 1.
解：（1）把原点(0,0)代入Ax By C ++=0，得0C =；（2）此时斜率存在且不为零
即0A ≠且0B ≠；（3）此时斜率不存在，且不与y 轴重合，即0B =且0C ≠； （4）0,A C ==且0B ≠ （5）证明：
()00P x y ，在直线Ax By C ++=0上
()()000A x x B y y ∴-+-=。

2.
解：由23503230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得1913
9
13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，再设20x y c ++=，则4713c =-
47
2013
x y +-=为所求。

3.
解：当截距为0时，设y kx =，过点(1,2)A ，则得2k =，即2y x =；
当截距不为0时，设
1,x y a a +=或1,x y a a
+=-过点(1,2)A ， 则得3a =，或1a =-，即30x y +-=，或10x y -+= 这样的直线有3条：2y x =，30x y +-=，或10x y -+=。

4.
解：设直线为4(5),y k x +=+交x 轴于点4
(5,0)k
-，交y 轴于点(0,54)k -，
得2
2530160k k -+=，或2
2550160k k -+= 解得2,5k =
或 85
k = 25100x y ∴--=，或85200x y -+=为所求。

第三章 直线和方程 [综合训练B 组]
一、选择题
1.B 线段AB 的中点为3(2,),2
垂直平分线的2k =，3
2(2),42502
y x x y -=---= 2.A 2321,,132232
AB
BC m k k m --+===+-
3.B 令0,x =则2
y b =-
4.C 由13kx y k -+=得(3)1k x y -=-对于任何k R ∈都成立，则30
10x y -=⎧⎨-=⎩
5.B cos sin sin (cos )0θθθθ⋅+⋅-=
6.D 把330x y +-=变化为6260x y +-=
，则20
d ==
7.C 3
2,,4
PA PB l PA l PB k k k k k k ==≥≤,或 二、填空题
1.2 方程1=+y x
2.724700x y ++=，或724800x y +-=
设直线为7240,3,70,80x y c d c ++====-或
3.3 22b a +的最小值为原点到直线1543=+y x 的距离：155d =
4．445
点(0,2)与点(4,0)关于12(2)y x -=-对称，则点(7,3)与点(,)m n 也关于12(2)y x -=-对称，则3712(2)2231
72n m n m ++⎧-=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，得235215m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
5.11(,)k k 1=+by ax 变化为()1,()10,ax k a y a x y ky +-=-+-=
对于任何a R ∈都成立，则010x y ky -=⎧⎨
-=⎩ 三、解答题
1.解：设直线为2(2),y k x -=+交x 轴于点2(
2,0)k --，交y 轴于点(0,22)k +， 得22320k k ++=，或22520k k ++=
解得1
,2
k =-或 2k =- 320x y ∴+-=，或220x y ++=为所求。

2.解：由4603560
x y x y ++=⎧⎨--=⎩得两直线交于2418(,)2323-，记为2418(,)2323A -，则直线AP 垂直于所求直线l ，即43l k =，或245l k = 43y x ∴=，或2415y x -=， 即430x y -=，或24550x y -+=为所求。

1.
证明：,,A B C 三点共线，AC AB k k ∴= 即()()()c y f a f b f a c a b a --=-- ()[()()]c c a y f a f b f a b a
-∴-=-- 即()[()()]c c a y f a f b f a b a
-=+-- ()f c ∴的近似值是：()()()[]f a c a b a f b f a +--- 2. 解：由已知可得直线//CP AB ，设CP
的方程为,(1)3
y x c c =-+>
3AB c ===
，33y x =-+过1(,)2P m
得
13,2m =+=第三章 直线和方程 [提高训练C 组]
一、选择题 1.A 1tan 3
α=-
2.D PQ a ===-
3.D (2,1),(4,3)A B --
4.A (2,5),(6,2),5B C BC =
5.D 斜率有可能不存在，截距也有可能为0
6.B 点(1,1)F 在直线340x y +-=上，则过点(1,1)F 且垂直于已知直线的直线为所求
二、填空题
1.2- 1223131:23,:23,,,2222l y x l x y y x k k =+-=-+=
+==- 2.70x y +-= (3,4)P l 的倾斜角为00004590135,tan1351+==-
3.4160x y -+=，或390x y +-= 设444(3),0,3;0,34;33412y k x y x x y k k k k
---=+==-==+-++= 4.1 5.二 021,12101k x ky x k k kx y k k y k ⎧=<⎪-=⎧⎪-⎨⎨-=--⎩⎪=>⎪-⎩
三、解答题
1.
解：过点(3,5)M 且垂直于OM 的直线为所求的直线，即 2. 解：1x =显然符合条件；当(2,3)A ，(0,5)B -在所求直线同侧时，4AB k = 24(1),420y x x y ∴-=---= 420x y --=，或1x =
3. 解：设(2,)P t t ， 则2222222(21)(1)(22)(2)101410PA PB t t t t t t +=-+-+-+-=-+
当710t =时，22PB PA +取得最小值，即77(,)510P 4.
解：()f x =可看作点(,0)x 到点(1,1)和点(2,2)的距离之和，作点(1,1)关于x 轴对称的点(1,1)-。