河南省商丘市第一高级中学1718学年度高二10月月考——

河南省商丘市第一高级中学 2017—2018学年度上学期10月月考
高二数学文试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合P ={x |﹣1＜x ＜1}，Q ={x |0＜x ＜2}，那么P ∪Q =（ ） A ．（﹣1，2） B ．（0，1） C ．（﹣1，0） D ．（1，2） 2．命题“∀x ＞0，都有x 2﹣x +3≤0”的否定是（ ） A ．∃x ＞0，使得x 2﹣x +3≤0 B ．∃x ＞0，使得x 2﹣x +3＞0 C ．∀x ＞0，都有x 2﹣x +3＞0 D ．∀x ≤0，都有x 2﹣x +3＞0
3．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．在△ABC 中，“A ＞B ”是“sinA ＞sinB ”成立的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5．在等差数列中，若，则的值为（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．28 6．在△ABC 中，三个内角所对的边为，若，
C c
A
b B a cos 2cos cos =+，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知双曲线的焦点为（2，0），则此双曲线的渐近线方程是（ ） A ． B ． C ． D ．
8．阅读如图所示的程序框图，若输入m =2016，则输出S 等于（ ） A ．10072 B ．10082 C ．10092 D ．20102 9.某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（ ）
A ．6
B ．10
C ．12
D ．20
10．若19
0,0,1x y x y
>>+=且
，则的最小值为（ ）
A ．6
B ．12
C ．16
D ．24
11．是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，过的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A 、
B ．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-->=-0
,120,)(2
|1|x x x x e x f x ，若关于x 的方程)(,0)(3)(2
R a a x f x f ∈=+-有8个
不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分） 13．已知向量=（﹣2，2），向量=（2，1），则向量在向量方向上的投影为 ．
14．若x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥-0020
y y x y x ，则z =3x ﹣4y 的最小值为 ．
16．已知数列满足，，若不等式恒成立，则实数t 的取值范围是 ．
三、解答题（本题共6题，17题10分，18-22各12分，解答题需写出必要步骤，否则不给分） 17．已知椭圆C 的两个焦点是F 1（﹣2，0），F 2（2，0），且椭圆C 经过点A （0，）． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过椭圆C 的左焦点F 1（﹣2，0）且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，求线段PQ 的长．
18．已知函数x x x x f 2cos 2)6
2sin()62sin()(+-++
=π
π
． （Ⅰ）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）已知a ，b ，c 是△ABC 三边长，且f （C ）=2，△ABC 的面积S =，c =7．求角C 及a ，b 的值． 19．设数列满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=．
（1）求的通项公式；（2）求数列的前n 项和．
20．命题p ：关于x 的不等式的解集为；命题q ：函数为增函数．命题r ：a 满足． （1）若
p ∨q 是真命题且p ∧q 是假题．求实数a 的取值范围． （2）试判断命题￢p 是命题r 成立的一个什么条件．
21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A =PD =AD ． （1）求证：EF ∥平面P AD ；（2）求三棱锥C ﹣PBD 的体积． 22．已知椭圆C ：（a ＞b ＞0）的离心率为，且过点（1，）． （1）求椭圆C 的方程；（2）设与圆O ：相切的直线l 交椭圆C 于A ，B 两
点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．
高二数学2017～18第一学期第二次月考答案
一、选择题
二、填空题
13.14. -1 15. 35.6 16. [﹣9，+∞）
三、解答题
17．解：（1）由题意可知椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为（a＞b＞0），
由题意可知，∴a=3，b=．
∴椭圆的标准方程为=1．
（2）直线l的方程为y=x+2，
联立方程组，得14x2+36x﹣9=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
∴|PQ|=|x1﹣x2|===．
18．解：（Ⅰ）f（x）=sin2xcos+cos2xsin+sin2xcos﹣cos2xsin+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵ω=2，∴T==π；
令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
则函数f（x）的递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=2，得到2sin（2C+）+1=2，即sin（2C+）=，
∴2C+=或2C+=，
解得：C=0（舍去）或C=，
∵S=10，
∴absinC=ab=10，即ab=40①，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即49=a2+b2﹣ab，
将ab=40代入得：a2+b2=89②，
联立①②解得：a=8，b=5或a=5，b=8．
19．解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．
n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴a n=．
（2）==﹣．
∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．
20．解：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2≤0的解集为∅，
∴△=（a﹣1）2﹣4a2＜0，
即3a2+2a﹣1＞0，
解得a＜﹣1或a＞，
∴p为真时a＜﹣1或a＞；
又函数y=（2a2﹣a）x为增函数，
∴2a2﹣a＞1，
即2a2﹣a﹣1＞0，
解得a＜﹣或a＞1，
∴q为真时a＜﹣或a＞1；
（1）∵p∨q是真命题且p∧q是假命题，∴p、q一真一假，
∴当P假q真时，，即﹣1≤a＜﹣；
当p真q假时，，即＜a≤1；
∴p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的范围是﹣1≤a＜﹣或＜a≤1；（2）∵，
∴﹣1≤0，
即，
解得﹣1≤a＜2，
∴a∈[﹣1，2），
∵¬p为真时﹣1≤a≤，
由[﹣1，）是[﹣1，2）的真子集，
∴¬p⇒r，且r≠＞¬p，
∴命题¬p是命题r成立的一个充分不必要条件．
21．解：（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC的中点
故在△CPA中，EF∥PA，（3分）
且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD（6分）
（2）取AD的中点M，连接PM，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD（8分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCD，（10分）
∴（14分）
22．解：（1）由题意可得，e==，a2﹣b2=c2，
点（1，）代入椭圆方程，可得+=1，
解得a=，b=1，
即有椭圆的方程为+y2=1；
（2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±，
S△OAB=××=；
②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3=0，
x1+x2=﹣，x1x2=，
由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=，
即有4m2=3（1+k2），
|AB|=•=•
=•=•
=•≤•=2，
当且仅当9k2= 即k=±时等号成立，
可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=，
即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1．。