人教数学相似的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F是AD上的点，且AE=EF=FD.
连结BE、BF。

使它们分别与AO相交于点G、H
（1）求EG ：BG的值
（2）求证：AG=OG
（3）设AG =a ,GH =b，HO =c，求a : b : c的值
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= AC，AD=BC，AD∥BC，
∴△AEG∽△CBG，
∴ = = ．
∵AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，
∴GC=3AG，GB=3EG，
∴EG：BG=1：3
（2）解：∵GC=3AG（已证），
∴AC=4AG，
∴AO= AC=2AG，
∴GO=AO﹣AG=AG
（3）解：∵AE=EF=FD，
∴BC=AD=3AE，AF=2AE．
∵AD∥BC，
∴△AFH∽△CBH，
∴ = = = ，
∴ = ，即AH= AC．
∵AC=4AG，
∴a=AG= AC，
b=AH﹣AG= AC﹣ AC= AC，
c=AO﹣AH= AC﹣ AC= AC，
∴a：b：c= ：： =5：3：2
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AO=AC，AD=BC，AD∥BC，从而可证得△AEG∽△CBG，得出对应边成比例，由AE=EF=FD可得BC=3AE，就可证得GB=3EG，即可求出EG：BG的值。

（2）根据相似三角形的性质可得GC=3AG，就可证得AC=4AG，从而可得AO=2AG，即可证得结论。

（3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得AG=AC，AH=AC，结合
AO=AC，即可得到用含AC的代数式分别表示出a、b、c，就可得到a：b：c的值。

2．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I．
（1）求证：AF⊥BE；
（2）求证：AD=3DI．
【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=BD=CD，∠ACB=45°，
∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC，
∴AE=CE，
∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF，
∴△CDE≌△CDF，
∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°，
∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°，
在△ABE与△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE=∠FAC，
∵∠BAG+∠CAF=90°，
∴∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AF⊥BE
（2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°
∴四边形DECF是正方形，
∴EC∥DF，EC=DF，
∴∠EAH=∠HFD，AE=DF，
在△AEH与△FDH中，
∴△AEH≌△FDH（AAS），
∴EH=DH，
∵∠BAG+∠CAF=90°，
∴∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠AGB=90°，
∴AF⊥BE，
∵M是IC的中点，E是AC的中点，
∴EM∥AI，
∴，
∴DI=IM，
∴CD=DI+IM+MC=3DI，
∴AD=3DI
【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。

（2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。

3．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A（0,2）和C（2,0），点D是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连结BD，作，交x轴于点E，以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
（1）填空：点B的坐标为________；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证：；
②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值
【答案】（1）
（2）解：存在，理由如下：
∵OA=2,OC=2，
∵tan∠ACO==,
∴∠ACO=30°,∠ACB=60°
①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，
∴∠DCE=∠EDC=30°,
∴∠DBC=∠BCD=60°,
∴△DBC是等边三角形，
∴DC=BC=2，
在Rt△AOC中，
∵∠ACO=30°，OA=2，
∴AC=2AO=4，
∴AD=AC-CD=4-2=2，
∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形，
②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,
∴∠ABD=∠ADB=75°,
∴AB=AD=2，
综上所述，满足条件的AD的值为2或2.
（3）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。

∵A(0.2)和C(23 ,0)，
∴直线AC的解析式为y=-33x+2，
设D（a，-33a+2），
∴DN=-33a+2,BM=23-a
∵∠BDE=90°,
∴∠BDM+∠NDE=90°,∠BDM+∠DBM=90°,
∴∠DBM=∠EDN,
∵∠BMD=∠DNE=90°,
∴△BMD~△DNE,
∴DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.
②如图（2）中，作DH⊥AB于H。

在Rt△ADH中，
∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°,
∴DH=12AD=12x，AH=AD2-DH2=32x，
∴BH=23-32x，
在Rt△BDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2,
∴DE=33BD=33·12x2+23-32x2,
∴矩形BDEF的面积为y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,
即y=33x2-23x+43,
∴y=33x-32+3
∵33>0,
∴x=3时，y有最小值3.
【解析】【解答】（1）∵四边形AOCB是矩形，
∴BC=OA=2，OC=AB=，∠BCO=∠BAO=90°,
∴B（， 2）
【分析】（1）根据点A、C的坐标，分别求出BC、AB的长，即可求解。

（2）根据点A、C的坐标，求出∠ACO，∠ACB的度数，分两种情况讨论：①如图（1）中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC；②如图（2）中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°,分别求出AD的长，即可求解。

（3）①如图，过点D作MN⊥AB于点M，交OC于点N。

利用待定系数法求出直线AC的
解析式，设D（a，-a+2），分别用含a的代数式表示出DN、BM的长，再证明△BMD~△DNE，然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；②如图（2）中，作DH⊥AB于H。

设AD=x，用含x的代数式分别表示出DH、BH的长，利用勾股定理求出BD、DE的长再根据矩形的面积公式，列出y与x的函数关系式，求出顶点坐标，即可求解。

4．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E.
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，BE=8，则EF的长为________.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，CD=CA，∴∠ABC=∠ACB，AB=CD．
∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ECD=∠BAE，∠CED=∠ABC．
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB，∴∠CED=∠AEB，∴△ABE≌△CDE（AAS）
（2）60；
【解析】【解答】解：（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；
理由是：连接AO、OC．
∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC+∠AEC=180°．
∵∠ABC=60，∴∠AEC=120°=∠AOC．
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°．
∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．
∵∠ACB=∠CAD+∠D．
∵AC=CD，∴∠CAD=∠D=30°，∴∠ACE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠OAE=∠OCE=60°，∴四边形AOCE是平行四边形．
∵OA=OC，∴▱AOCE是菱形；
②由（1）得：△ABE≌△CDE，∴BE=DE=8，AE=CE=6，∴∠D=∠EBC．
∵∠CED=∠ABC=∠ACB，∴△ECD∽△CFB，∴ = ．
∵∠AFE=∠BFC，∠AEB=∠FCB，∴△AEF∽△BCF，∴ = ，∴EF= =
．
故答案为：①60°；② ．
【分析】（1）由题意易证∠ABC=∠ACB，AB=CD；再由四点共圆和已证可得∠ABC=∠ACB=∠AEB，∠CED=∠AEB，则利用AAS可证得结论；
（2）①连接AO、CO.宪政△ABC是等边三角形，再证明四边形AOCE是平行四边形，又AO=CO可得结论；
②先证△ECD∽△CFB，可得EC：ED=CF：BC=6:8；再证△AEF∽△BCF，则AE：EF=BC：CF，从而求出EF.
5．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A(-1，0)，B(5，0)两点，与y轴交与点C.
（1）求抛物线的函数表达式;
（2）若点D是y轴上的点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标; （3）如图2，CE//x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H 且与y轴平行的直线与BC、CE分别相交于点F，G，试探求当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积.
【答案】（1）解：把A(-1，0)，B(5，0)代入y=ax2+bx-5可得
，解得
二次函数的解析式为y=x2-4x-5.
（2）解：如图1,令x=0，则y=−5，
∴C(0,−5)，
∴OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴AB=6,BC=5 ，
要使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似,则有或，
当时，
CD=AB=6，
∴D(0,1)，
当时，
∴，
∴CD= ，
∴D(0, )，
即：D的坐标为(0,1)或(0, )；
（3）解：设H(t，t2-4t-5)
∥x轴，，
又因为点E在抛物线上，即，解得（舍去）
∴BC所在直线解析式为y=x-5,
∴则，
而CE是定值，
∴当HF的值最大时，四边形CHEF有最大面积。

当时，HF取得最大值，四边形CHEF的最大面积为
,
此时H( ， )
【解析】【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；（2）分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标；（3）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出最大值；
6．如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
（1）如果点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°．
①求证：△ABP∽△BCP；
（2）已知锐角△ABC，分别以AB、AC为边向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD 相交于P 点．如图（2）
①求∠CPD的度数；
②求证：P点为△ABC的费马点．
【答案】（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP
2
②若PA=3，PC=4，则PB= ．
2
（2）解：如图，
①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠6=∠5=60°；
②证明：∵△ADF∽△CFP，
∴AF•PF=DF•CF，
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°，
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，
∴P点为△ABC的费马点．
【解析】【解答】（1）②解：∵△ABP∽△BCP，
∴，
∴PB2=PA•PC=12，
∴PB=2 ；
【分析】(1)由已知可知∠APB=∠BPC=，利用三角形内角和可知，∠BAP+∠ABP=，又因为∠ABP+∠CBP=，所以可知∠BAP=∠CBP，所以△ABP∽△BCP；
（2）①由等边三角形可知AD=AC，AB=AE，∠EAC=∠BAD=∠BAC+，所以△EAC≌△BAD，由全等可知∠CPD=；
②利用△ADF∽△CFP，可得对应边成比例，由对应边成比例夹角相等，得到△AFP∽△CDF，所以∠APC=，即点P为△ABC的费马点.
7．在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.
（1）如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，
易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；
（2）将图1中的Rt△EGF绕点D顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘). 如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出线段MN的长；
（3）图3, 旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE 时，线段EM与EN的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是________.
【答案】（1）解：EM＝EN;原因如下：
∵∠ACB＝90° AC＝BC D是AB边上的中点
∴DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45°∠CDB＝90°
∴∠CDF＋∠FDB＝90°
∵∠GDF＝90°∴∠GDC＋∠CDF＝90°∴∠CDM＝∠BDN 在△CDM和△BDN中
∠MCD＝∠B，DC＝DB，∠CDM＝∠BDN，
∴△CDM≌△BDN ∴DM＝DN 即EM＝EN
（2）解：作DP⊥AC于P,则
∠CDP＝45° CP＝DP＝AP＝1
∵∠CDG＝15°∴∠MDP＝30°
∵cos∠MDP＝
∴DM＝， DM＝DN，
∵△MND为等腰直角三角形
∴MN＝
（3）NE＝2ME；EN＝(m－1)ME
【解析】【解答】解：(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME
证明：如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P
则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°
∴AE＝PE ∵AB＝3AE ∴BE＝2AE ∴BE＝2PE
又∵∠MEP＋∠PEN＝90°
∠PEN＋∠NEB＝90°
∴∠MEP＝∠NEB
又∵∠MPE＝∠B＝45°
∴△PME∽△BNE
∴，即EN＝2EM
由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME
【分析】（1）EM＝EN;原因如下：根据等腰直角三角形的性质得出DC＝DB ∠ACD＝∠B＝45°∠CDB＝90°根据同角的余角相等得出∠CDM＝∠BDN，然后由ASA判断出△CDM≌△BDN 根据全等三角形的对应边相等得出DM＝DN 即EM＝EN；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出∠CDP＝45°CP＝DP＝AP＝1，根据角的和差得出
∠MDP＝30°，根据余弦函数的定义及特殊角的三角函数值，由cos∠MDP＝得出DM的长，又DM＝DN，故△MND为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得出MN 的长；
(3)NE＝2ME,EN＝(m－1)ME，如图3，过点E作EP⊥AB交AC于点P，则△AEP为等腰直角三角形，∠PEB＝90°，根据同角的余角相等得出∠MEP＝∠NEB然后判断出△PME∽△BNE，根据相似三角形对应边成比例即可得出u结论，由此规律可知，当AB＝m·AE时，EN＝(m－1)·ME
8．已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO 的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求证：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求证： = ；
（3）若AO=2 ，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．
【答案】（1）解：∵2BM=AO，2CO=AO，
∴BM=CO，
∵AO∥BM，
∴四边形OCBM是平行四边形，
∵∠BMO=90°，
∴▱OCBM是矩形，
∵∠ABP=90°，C是AO的中点，
∴OC=BC，
∴矩形OCBM是正方形
（2）解：连接AP、OB，
∵∠ABP=∠AOP=90°，
∴A、B、O、P四点共圆，
由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB=∠OBM，
∴∠APB=∠OBM，
∴△APB∽△OBM，
∴
（3）解：当点P在O的左侧时，如图所示，
过点B作BD⊥AO于点D，
易证△PEO∽△BED，
∴，
易证：四边形DBMO是矩形，
∴BD=MO，OD=BM，
∴MO=2PO=BD，
∴，
∵AO=2BM=2 ，
∴BM= ，
∴OE= ，DE= ，
易证△ADB∽△ABE，
∴AB2=AD•AE，
∵AD=DO=DM= ，
∴AE=AD+DE=
∴AB= ，
由勾股定理可知：BE= ，
易证：△PEO∽△PBM，
∴，
∴PB= ；
当点P在O的右侧时，如图所示，
过点B作BD⊥OA于点D，
∵MO=2PO，
∴点P是OM的中点，
设PM=x，BD=2x，
∵∠AOM=∠ABP=90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴四边形AOPB是圆内接四边形，
∴∠BPM=∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴，
又易证四边形ODBM是矩形，AO=2BM，
∴AD=BM= ，
∴，
解得：x= ，
∴BD=2x=2
由勾股定理可知：AB=3 ，BM=3
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形OCBM 是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得出▱OCBM是矩形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OC=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形得出
结论；
（2）连接AP、OB，根据∠ABP=∠AOP=90°，判断出A、B、O、P四点共圆，由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，根据二直线平行内错角相等得出∠AOB=∠OBM，根据等量代换得
出∠APB=∠OBM，从而判断出△APB∽△OBM，根据相似三角形对应边成比例得出;（3）当点P在O的左侧时，如图所示，过点B作BD⊥AO于点D，易证△PEO∽△BED，
根据相似三角形对应边成比例得出,易证：四边形DBMO是矩形，根据矩形的性质得出BD=MO，OD=BM，故MO=2PO=BD，进而得出BM,OE,DE的长，易证△ADB∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出AB2=AD•AE，从而得出AE,AB的长，由勾股定理可得BF 的长，易证：△PEO∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出BE ∶PB=OM ∶PM=2 ∶3 ，根据比例式得出PB的长；当点P在O的右侧时，如图所示，过点B作BD⊥OA于点D，设PM=x，BD=2x，由∠AOM=∠ABP=90°，得出四边形AOPB是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得出∠BPM=∠A，从而判断出△ABD∽△PBM，根据相似三角形对应边成比例得出 AD ∶BD=PM ∶BM，根据比例式得出x的值，进而得出BD，AB，BP的长。