高压注水泵

1绪论
Ll研究的目的和意义
油田注水系统是油田能耗大户，也是油田投资的主要领域之一，因此开发高效注水设备，提高现有注水系统运行效率，对于降低油田生产成本具有重要意义。

早期注水是提高油田采收率的有效办法，通过人工注水可以提高地层压力，使油层具有强有力的驱油条件，保持较高的油层压力，有效克服各种阻力，达到长期稳产高产，而高压注水泵在注水工艺中起着重要的作用。

由于我国不少油田为低渗透油藏，对高压注水泵的需求越来越多，因而近几年往复式注水泵得到了迅速发展l3]。

但由于现有注水泵普遍存在易损件寿命短、正常运行时率低的问题，以胜利油田为例，增压注水泵的正常运行时率仅为54.3%。

且注水泵输出压力不能满足高压注水的需要，不少油田要求注水压力大于45MPa，而目前广泛使用的往复式注水泵的注水压均小于4oMPa。

因此，油田迫切需要寿命长、注水压力高的新型注水泵。

柱塞泵在石油矿场主要作为压裂泵、固井水泥泵和注水泵。

它们之间只有压力和流量等性能参数的不同，结构和工作原理并无实质性区别。

将压裂液送入油井申，并借助高压在油层中造成裂缝，或使原油层裂缝扩大的柱塞泵，称作压裂泵。

将水泥浆注入油井，使套管与井壁牢固连接的柱塞泵，称为水泥泵。

向井内输送高压水，进入油层驱油和补充地层能量的柱塞泵，称为注水泵。

1.2国内外发展概况
注水是油田增产普遍采用的措施之一。

油田开发后期大部分采用油层注水，以保持油层压力，从而提高原油产量。

随着钻井深度的增加，注水油层也不断加深。

近几年来国内各大油田的部分注水单井或区块高压欠注问题日趋突出，促使人们逐渐认识到发展增压注水工艺的必要性。

因此，增压注水泵的发展也十分迅速，到目前为止，增压注水泵己初步形成离心式、往复式两大类。

目前国内各油田大小不一，油藏类型多样，其配套的注水系统也各不响注水泵寿命的因素主要有水质、材质及加工装配质量。

针对某些油田注入水质的腐蚀、结垢现象，通过改善水质和泵前加防垢器;泵过流零部件全部采用防腐材料，并提高加工装配质量，可以提高注水泵的运行寿命。

(3)注水泵选型问题
各油田油藏类型多样，断块油田注水系统注水量较小，少数油田区块(注水压力为16MPa)若选用高效率的柱塞泵，装泵台数少不能满足水量要求;若选用离
心泵(80一100m³/h)，则泵效仅61%一70%，达不到泵效大于75%的标准要求。

2柱塞泵
2.1柱塞泵的分类
柱塞泵按柱塞的排列和运动方向不同，可分为径向柱塞泵和轴向柱塞泵两大类。

1）径向柱塞泵：柱塞中心线与缸体中心线垂直。

配流轴式径向柱塞泵
阀配流径向柱塞泵
2）轴向柱塞泵：柱塞中心线与缸体中心线平行。

斜盘式（直轴式）轴向柱塞泵：缸体轴线和传动轴轴线一致。

斜轴式无铰轴向柱塞泵：缸体轴线和传动轴轴线存在一摆角β。

2.2、配流轴式径向柱塞泵工作原理
传动轴通过离合器与缸体连接；缸体2均布有五个柱塞孔，柱塞底部空间为密闭工作腔；柱塞1头部的滑履与定子内圆接触；定子4与缸体2存在偏心；配流轴5配流。

图示旋转方向，b 为吸油窗口；c 为压油窗口。

1、配流轴式径向柱塞泵排量公式
式中：e ——定子与缸体之间的偏心距
z ——柱塞数
2、配流轴式径向柱塞泵结构特点
1）配流轴配流，配流轴上与吸、压油窗口对应的方向开有平衡油槽，使液压径向力得到平衡，容积效率较高。

2）柱塞头部装有滑履，滑履与定子内圆为面接触，接触面比压很小。

3）可以实现多泵同轴串联，液压装置结构紧凑。

4）改变定子相对缸体的偏心距e 可以改变排量，且变量方式多样。

2.3、斜盘式轴向柱塞泵工作原理
缸体上均布Z 个柱塞孔，其分布圆直径为D ，柱塞直径为d ；斜盘相对于传动轴的倾角为α。

泵：图示旋转方向，A 为吸油窗口；B 为压油窗口。

1、斜盘式轴向柱塞泵的几何排量公式
ez
d z
e d V 2
24
2
2
ππ=
⋅⋅=
γπ
π
tan 4
4
q 2max 2ZD d ZS d B =
=
式中 d —直径； Z —柱塞数； D —分布圆直径； γ—倾角。

改变斜盘倾角γ可以改变泵的排量。

γmax 一般小于180～200 。

实际上,由于柱塞在缸体孔中运动的速度不是恒速的，因而输出流量是有脉动的，泵的瞬时理论流量是正弦函数：
式中：ω——缸体旋转角速度； θ——缸体转角；
m ——位于排油过程的柱塞数 流量脉动系数δ
当柱塞数z 为偶数时：
当柱塞数z 为奇数时： 结论：
通过如上分析可知，当Z 为偶数是时，流量脉动周期角△θ=α，脉动周期
∑=+=
m
i sh z
m
D
d q 1
22sin tan 2
4）（π
θαωπ%
100δmin
max ⨯-=
avg
q q q %
1002tan δ,2z m ⨯==z
z π
π%1004tan 2δ,21z m ⨯=±=
z
z ππ
T=α/ω，脉动频率z)nZ/60
/1f H T Q （==;当Z 为奇数时，流量脉动周期角△θ=α/2，脉动周期T=α/2ω，脉动频率z)nZ/30
/1f H T Q （==。

综上所述，当Z 为奇数时，流量脉动系数δ较小，而脉动频率较高，即流量品质较好。

这就是斜盘泵的柱塞数通常采用奇数的原因。

但近年来理论和实验研究均表明奇数柱塞泵、偶数柱塞泵的流量脉动周期角△θ均为Z /2π，并且流量脉动并没有明显差异。

2.4、斜盘式轴向柱塞泵的结构特点
1）主体部分：
①定心弹簧：保证缸体与配流盘，滑履与斜盘紧密接触，端面间隙自动补偿，提高了容积效率，额定压力可达31.5MPa 。

②传动轴是悬臂梁，缸体外有大轴承支承。

避免了缸体和配流盘之间的偏磨现象
③柱塞、滑履中间的小孔，把压力油引入滑履底部，形成了静压油膜，减小滑履、斜盘间的磨损。

另外泵体上有泄漏油口；在配流盘的配流窗口前端开有减振槽或减振孔。

图示2.4—1
1——手轮；2——斜盘；3——回程盘；4——滑靴；5——柱塞；6——缸体；7——配流盘；8——输入轴。

2）变量机构
直轴泵的变量调节机构用以调节斜盘倾角，以改变几何排量和流量。

①手动变量机构
手动变量机构如图2.4—1右部所示，变量机构装在泵体外泵体上，并靠止口与泵体连接。

由于斜盘受力很大，故手动变量机构不能在工作过程中调节排量，只能在停车时调节，CY 型轴向柱塞泵只能单向转动，斜盘倾角的调节范围为
max min ~γγ。

②手动伺服变量机构
在手动伺服变量机构中，人工拉动伺服阀芯上下移动只需客服很小的摩擦力，二差动变了活塞课产生很大的推力，是斜盘摆动，以达到变量的目的，故操作力很小，并且控制方便，这种变量泵机构是一个人工控制的位移伺服机构，斜盘倾角
γ完全可以跟踪伺服阀芯的位移，故称手动伺服变量机构。

③恒功率变量机构
图2.4—2恒功率变量机构结构原理图
1——调节螺钉；2——调节套；3——弹簧套；4——外弹簧；5——导杆；6——伺服阀芯；7——变量缸体；8——差动变量活塞。

泵的压力与流量的乘积近似等于常数，即泵的输出功率近似拟为恒定。

这种泵可以是液压执行机构在空行程时获得最大流量，使空行程速度加快而在工作行程时，由于压力升高，泵的输出流量减少，使工作行程速度减慢，这正符合许多液压设备动作要求，如液压压力机、工程机械等，这样能够充分发挥设备的能力，是功率利用合理。

三、斜轴式轴向柱塞泵
3.1、工作原理
与斜盘式轴向柱塞泵类似，只是缸体轴线与传动轴之间存在一个摆角β。

柱塞与传动轴之间通过连杆连接。

传动轴旋转通过连杆拨动缸体旋转，强制带动
柱塞在缸体孔内作往复运动。

图 A2F型斜轴式泵
1—主轴；2—轴承组；3—连杆柱塞副；4—缸体；5—壳体；6—配流盘；7—后盖；8—蝶形弹簧；9—中心轴
2、特点
柱塞受力状态较斜盘式好，不仅可增大摆角来增大流量，且耐冲击、寿命长。

3.2、柱塞泵的应用
由于轴向柱塞泵的密封容积是利用圆柱表面形成的：
1、圆柱加工方便，配合精度高，容积效率为95％左右，总效率为90％左右；
2、只需改变柱塞的工作行程就能改变流量，易于实现变量。

3、主要零件均受压应力，材料强度性能可得以充分利用。

轴向柱塞泵被广泛用于高压、大流量、大功率的系统中和流量需要调节的场合，如龙门刨床、拉床、液压机、工程机械、矿山冶金机械、船舶等得到广泛的应用。

五、泵的方案确定及参数设计
压力范围/Mpa
≤40排量范围/（ml/r）0.2~560转速范围/（r/min）600~6000容积效率/（%）88~93总效率/（%）81~88流量脉动
中等功率质量比/（kw/kg）大噪声
大对油液污染敏感性敏感流量调节能自吸能力差价格高
应用范围
工程机械
六、典型零件的力学分析 6.1柱塞和滑靴
柱塞—滑靴组件如图6.1—1所示，泵的工作压力p 经柱塞上的节流孔0d 流入滑靴的凹形腔室，压力降为u p ，滑靴与斜盘之间的液压支承力N F 可根据圆环形压力放射流原理计算出，即
()
()u 2
2
21
u 212
221p 2
p /ln 2)
(R R
R R R R F N +≈
-=
π
π 式中 1R ——滑靴支承面外径； 2R ——滑靴油腔凹槽内径；
u p ——滑靴油腔凹槽腔液压力，0u p p ≈
图示6.1—1 柱塞—滑靴组件
柱塞上液压力4/p d 2π=F ，则F 沿滑靴轴线方向作用在滑靴上的力n F
γ
πγcos 4p d cos 2n ==F F
式中 d ——柱塞直径； P ——泵工作压力； γ——斜盘倾角。

对于平衡式滑靴N F F =n .通常情况下n F 略大于N F ，即产生剩余压紧力，以使滑靴压在斜盘上，同时使滑靴和斜盘之间产生一定厚度的油膜，以防干摩擦。

6.2曲轴、连杆、柱塞静力学模型分析 单个曲柄、连杆、柱塞的力学模型:
为了简化模型，在这里我们暂时不考虑摩擦力和各构件的质量的影响， 以方便对模型的计算，这样，我们就得到了单个曲柄、连杆、柱塞的力学 模型:
①对于曲柄:
图4.4曲柄的受力分析
其中；M ——曲柄上所施加的力矩，N.m; F ——曲柄顶端所受到的合力，N ； r ——曲柄长度（冲程的一半），m ； 1F ——曲柄顶端所受到的轴向分力，N ； 2F ——曲柄顶端所受到的径向分力，N 。

②对于连杆：
图4.5连杆的受力分析
其中：F ——连杆上所受到的合力。

连杆两端所受到的力为大小相等，方向相反的一对作用与反作用力，大小相等，所以用同一符号表示。

③对于滑块:
图4.6滑块的受力分析
其中，Pc —柱塞在吸入和排除时受到的压力和拉力，N; N ——柱塞在运动过程中受到运动轨道壁的压力，N ； F ——柱塞在运动过程中受到连杆对它的驱动力，N 。

④对于柱塞杆：
图4.7柱塞杆受力 受力计算:
由技术条件知:出口压力为44MPa ，进口压力为0.03MPa ，直径为35~。

(l)柱塞、连杆受力计算: 吸入液体时：s p c ⨯=P
排出液体时：s p c ⨯=P 对柱塞有：F=c P 对连杆有：βcos /c P F = 滑块对滑道的压力：βsin •=F N
连杆作用力F 与滑块对滑道的压力N 的计算与连杆与水平线形成的角
度日有关，而p 的可以通过曲柄转动角度中、连杆长度L 与曲柄半径来求， 因此N 、F 是随曲柄转动角度改变而改变的变量。

(2)曲柄的受力计算:
由以上分析我们并联系已知图4.6、图4.5、图4.4、图4.3，考虑角度 对受力的影响，假设坐标系如图 4.8我们可以得到以下关系:
图4.8角度定义示意图
定义角度，按曲轴的旋转方向定义为正，小为曲轴转动的角度，由于曲轴为匀速转动，故可以得到以下关系:
时一旦大于当时当为正整数）0
00360360(,360φφφωφ<⎩⎨⎧•-⨯=n n t 时
当时
当0
0003601801800360<≤≤≤⎩⎨⎧-=φφφφα ⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=L φβsin r
arcsin 其中，α——曲轴与水平线所成的角度; β——连杆与水平线所成的角度; φ——曲轴转动的角度; ω——转动角速度； t ——转动时间。

对曲轴的具体位置受力情况进行分析如下：①当φ位于第四象限时的受力分析:
图4.9当p位于第四象限的受力分析
②当中位于第三象限时的受力分析:
图4.10当β位于第三象限时的受力分析
③当φ中位于第二象限时的受力分析:
图4.11当β位于第二象限时的受力分析
④当φ位于第一象限时的受力分析:
图4.12当β位于第一象限时的受力分析
通过以上分析，可以得到当曲轴处于）（r /arctan L =φ和
)/arctan 3600r L （-=φ时刻为受力变化的分界位置。

这样就得到了力学模型的计算公式:
时）（当时当0
002360r /arctan 360)/arctan(0)180sin()
sin(<≤-<≤⎩⎨⎧--•+•=φφβαβαL r L F F F 从而得到单个曲轴的旋转时所需要的力矩:
）时（）（当时
）（或当）（）（r /arctan 360r /arctan 360r /arctan 360)/arctan(0180rsin rsin 0000L L L r L F F M -≤≤<≤-<≤⎪⎩
⎪⎨⎧--⋅+⋅=φφφαβαβ 联系式：βcos /c P F =得到：
）时（）（当时
）（或当）（）（r /arctan 360r /arctan 360r /arctan 360)/arctan(0cos /180rsin cos /rsin 0000L L L r L F F M -≤≤<≤-<≤⎪⎩
⎪⎨⎧--⋅+⋅=φφφβαββαβ这就是单个曲柄的所需要施加的力矩计算公式。

“最优化设计”是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术，是根据最优化原理和方法，综合各方面的因索，以人机配合方式或用“自动探索”的方式，在计算机上进行的半自动或自动设计，以选出在现有工程条件下的最好设计方案的一种现代设计方法[1]。

实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低工程造价的一种有效设计方法。

同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率。

最优化设计方法己陆续应用到建筑结构、化工、冶金、铁路、航空、造船，机床、汽车、自动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。

设计上的“最优值”是指在一定条件(各种设计因素)影响下所能得到的最佳设计值。

最优值是一个相对的概念。

它不同于数学上的极值，但有很多情况下可
以用最大值或最小值来表示。

概括起来，最优化设计工作包括以下两部分内容[1]
1）将设计问题的物理模型转变为数学模型。

建立数学模型时要选取设计变量，列出目标函数，给出约束条件。

目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变量之间的函数关系式;
2）采用适当的最优化方法，求解数学模型。

可归结为在给定的条件(例如约束条件)下求目标函数的极值或最优值问题。

本章将根据前几章所提供的理论基础，以理论排量50/q ml r =、压力16MPa 、转速为1500r/min 时单位体积排量最大为目标，建立多齿轮泵优化设计的数学模型，并用C 语言编制优化设计的计算程序。

5.1 数学模型[1][11]
任何一个最优化问题均可归结为如下的描述，即：在满足给定的约束条件(可行域D 内)下，选取适当的设计变量X ，使其目标函数()f X 达到最优值其数学表达式(数学模型)为：
设计变量：
12[...]T n X x x x = n X D E ∈⊂ 在满足约束条件：
()0v h X = （1,2,...,v p =） ()0u g X ≤ （1,2,...,u m =） 的条件下，求目标函数11()()q
j j f X f X ω==⋅∑的最优值。

目标函数的最优值一般可用最小值(或最大值)的形式来体现，因此，最优化设计的数学模型可简化表示为：
min ()f X n X D E ∈⊂ .s t （subject to ）()0v h X = 1,2,...,v p =
()0u g X ≤ 1,2,...,u m = 式
（5.1）
当式(5.1 )中的0p =，0m =时，称为无约束最优化问题；否则称为约束最优化问题。

机械最优化设计问题多属于约束非线性最优化问题。

5.1.1设计变量
在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数，称为设计变量。

在选择过程中它们是变量，但这些变量一旦确定以后，则设计对象也就完全确定。

最优化设计是研究怎样合理地优选这些设计变量值的一种现代设计方法。

凡是可以根据设计要求事先给定的，则不是设计变量，而称为设计常量。

只有那些需要在设计过程中优选的参数，才可看成是最优化设计过程中的设计变量。

设计变量的数目称为最优化设计的维数，如有n 个设计变量，则称为n 维设计问题。

在一般的情况下，若有n 个设计变量，把第i 个设计变量一记为i x ，则其全部设计变量可用n 维向量的形式表示成：
11[]T i i n n x X x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
式
（5.2） 在最优化设计中，由各个设计变量的坐标轴所描述的空间就是所谓的“设计空间”。

设计空间中的一个点就是一种设计方案。

设计空间中的某点k (一种设计方案)是由各设计变量所组成的向量()k X 所决定。

另一种设计方案(1k +)点则由另一组设计变量（1k + )所组成的向量确定。

最优化设计中通常采用的直接探索法，就是在相邻的设计点间作一系列定向的设计移动。

由k 点到（1k +）点间的典型运动情况由下式给出：
(1)()()()k k k k X X a S +=+ 式（5.3）
向量()k S 决定移动的方向，标量()k a 决定移动的步长。

5.1.2目标函数
在设计中，设计者总是希望所设计的产品具有最好的性能指标、最小的质量或最大的经济效益等。

在最优化设计中，可将所追求的设计目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达出来，这一过程称为建立目标函数。

即目标函数是设计中预期要达到的目标，表达为各设计变量的函数表达式：
12()(,,...,)n f X f x x x = 式（5.5）
它代表设计的某项最重要的特征。

对于泵类液压元件来说，最常见的情况是以重量或是体积最小作为目标函数。

目标函数是设计变量的标量函数，最优化设计的过程就是优选设计变量，使目标函数达到最优值或找出目标函数的最小值(最大值)的过程。

在一个最优化设计中可以只有一个目标函数，称为单目标函数。

当在同一设计中要提出多个目标函数时，这种问题称为多目标函数的最优化问题。

目标函数愈多，设计效果愈好，但问题的求解亦愈复杂。

对于多目标函数，可以独立地列出几个目标函数式：
1112()(,,...,)n f X f x x x = 2212()(,,...,)n f X f x x x =
12()(,,...,)n n n f X f x x x = 式（5.
6）
也可以把几个设计变量综合到一起，建立一个综合的目标函数表达式，即： 1()()q
j j f X f X ==∑ 式（5.7）
式中：
q ——最优化设计所追求的目标数目
5.1.3约束条件
目标函数取决于设计变量，但在很多实际问题中，设计变量取值范围是有限制的或必须满足一定的条件。

在最优化设计中，这种对设计变量取值时的限制条
件，称为约束条件或设计约束。

约束条件可以用数学等式或不等式来表示。

等式约束对设计变量的约束严格，起着降低设计自由度的作用。

其形式为： ()0v h X = 1,2,...,v p = 式（5.11） 在机械最优化设计中，不等式约束更为普遍。

不等式约束的形式为： ()0u g X ≤ 1,2,...,u m = 式（5.12） 或： ()0u g X ≥ 1,2,...,u m = 式（5.13）
在上述式中，()0v h X =，()0u g X ≤为设计变量的约束方程，即设计变量的允许变化范围。

最优化设计，即是在设计变量允许范围内找出一组最优化参数
****12[...]T n X x x x =，使目标函数()f X 达到最优值*()f X 。

对于等式约束来说，设计变量所代表的设计点必须在式(5.11)所表示的面(或线)上。

对不等式约束来说，其极限情况()0u g X =所表示的几何面(线)将设计空间分为两部分:一部分中的所有点均满足约束条件式(5.12 )或式(5.13 ),这一部分的空间称为设计点的可行域，并以D 表示。

可行域中的点是设计变量可以选取的，称为可行设计点或简称可行点。

另一部分中的所有点均不满足约束条件式(5.12)或式(5.13 )，在这个区域如果选取设计点则违背了约束条件，它就设计的非可行域，该域中的点称为非可行点。

如果设计点落到某个约束边界面(或边界线)上，则称边界点，边界点是允许的极限设计方案。

最优化设计过程，即寻找可行域内的最优点或最优设计方案。

5.2优化方法
5.2.1一维探索最优化方法
机械结构的最优化设计大都为多维问题，一维问题的情况很少。

但是一维问
题的最优化方法是优化方法中最基本的方法，在数值方法迭代计算过程中，都要进行一维探索。

由于在最优化的大多数方法中，常常要进行一维探索寻求最优步长或最优方向等，因此，一维探索在最优化方法中有很重要的位置。

一维探索进行的好坏，往往直接影响到最优化问题的求解速度。

一维探索最优化的方法很多，下面仅介绍本文将采用的进退法。

由单峰函数的性质可知，在极小点左边函数值应一直下降，而在极小点右边函数值一直上升。

根据这一特点，可先给定初始点0a 及初始步长h ，求探索区间
[,]a b 。

前进运算：将0a 及0a h +代入目标函数进行运算，若00()()f a f a h >+，则将步长h 增加2倍，并计算新点03a h +。

若00()(3)f a h f a h +≤+，则探索区间可取为：
0a a = ； 03b a h =+ 否则将步长再加倍，并且重复上述计算。

后退计算：00()()f a f a h <+，则将步长h 缩微
4h ，并从0a 点出发，以4
h
为步长反方向探索，这时得到的后退点为04h a -。

若00()()4
h
f a f a <-，则探索区间
可取为：
04
h
a a =- ； 03
b a h =+
否则将步长加倍，并继续后退。

5.2.2无约束多维问题最优化方法
在求解目标函数的极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加任何限制，则称这种最优化问题为无约束最优化问题。

无约束多维最优化问题的一般形式为：
求n 维设计变量 12[...]T n X x x x = 是目标函数为 min ()n
X E
f x ∈ 而对X 没有任何限制。

在实际工程中，无约束条件的设计问题是非常少的，多数问题是有约束的。

尽管如此，无约束最优化方法仍然是最优化设计的基本组成部分。

因为约束最优化问题可以通过对约束条件的处理而转化为无约束最优化问题来求解。

无约束最优化方法中有间接求优法和直接求优法两种。

直接法在迭代过程中仅用到函数值，而不要求计算函数导数等解析性质，一般说虽然其收敛速度较慢，
但可以解决一些间接法不能解决的问题(例如当函数不好求导时)。

无约束多维问题的最优化方法很多，这里仅简要介绍在多齿轮泵优化设计讨程中要用到的Powerll 法。

对于一个n 维问题，Powerll 法的迭代计算过程如下：
第一轮探索都是从前一轮最后求得的最优点出发，并沿n 个有顺序的线性独
立方向(()1k S 、()2k S 、()...k n S 、 ) 进行一维探索。

第一轮探索可由任意一点出发，即取(0)0X =X
(1)，而方向可取为n 个坐标轴的方向，即()k i i S e =。

当然，第一轮探索也可以任意取n 个线性无关的方向组成方向组。

现给出第k 轮迭代的步骤：
1）初始点取前一轮迭代最后沿(1)1k n S -+方向求得的最优点*
X (即(1)1k n X -+，有时该点为(1)k n X -)，然后由初始点0X (k)出发沿1S (k)
方向进行一维最优化探索，使函数()()01()k k f X aS +为最小方向，求得()1k a ，并令()()()()1011k k k k X X a S =+。

再由()1k X 出发
沿()2k S 方向使()()122()k k f X a S +最小，求得()
2k a ，并令()()()()2
122k k k k X X a S =+。

如此依次沿每个方向进行一维探索，直至求得全部的()(1,2,...,)k i a i n =，每次令
()()()()1k k k k i i i i X X a S -=+。

2）取共轭方向()()()
10k k k n n S X X +=-，计算反映点()()()102k k k n n X X X +=-。

3）令
()
10()k f f X = ()
2()k n
f f X = ()()()
310()(2)k k k n n f f X f X X +==-
式中：
()(1)
01k k n X X -+=
()()()()()()1
1
n
k k k k k k n
n n n
i i i X
X
a S
a S -==+=∑
4）计算第k 轮迭代各方向上目标函数的下降值()()1()()k k i i f X f X --
(1,2,...,)i n =，并找出其中的最大值()k m ∆，即：
()()()11,2,...,max ()()k k k m i i i n
f X f X -=∆=-
()k m ∆相应的方向()
()()1k k k m i i S X X -=-。

5）若31f f <和()2()21321213(2)()0.5()k k m m f f f f f f f +---∆<∆-同时成立，则转入下一步；否则，在第1k +轮迭代中仍用第k 轮迭代用的同一方向组，即：
(1)(1,2,...,)k k i i S S i n +==。

关于迭代初始点，当23f f <，取第1k +轮迭代的初始点
(1)0k k n X X +=，否则取(1)()01k k n X X ++=，然后转回第1步。

6）如果上一步中两个不等式同时得到满足，则从()k n X 出发，沿()
1k n S +方向进行
一维最优化探索，求得()k a ，得()1k n S +方向的最优点为：
()()()1k k k n n X X a S +=+
7）取第1k +轮迭代的方向组为：
(1)(1)(1)()()()()()()1212111[,,...,][,,...,,,...,,]k k k k k k k k k n m m n n S S S S S S S S S +++-++=
也就是说，在新方向组中，去掉了原方向组中具有最大下降值的()k m S ，并且将方
向()1k n S +作为新方向组中的第n 个方向，
即取(1)()1k k n n S S ++=。

初始点为(1)0k X +，然后转 回第1步继续运算。

8）每轮迭代结束时，都应按迭代终止条件进行检查，若满足迭代终止条件则迭代运算可以结束。

迭代终止条件为： ()(1)1k k i i X X ε--≤ (1,2,...,)i n =
或： ()(1)2(1)()()()
k k k f X f X f X ε---≤ 5.2.3约束问题最优化方法
前面讨论的都是无约束条件下非线性函数的寻优方法，但在实际工程中，大部分问题的变量取值都有一定的限制，也就是属于有约束条件的寻优问题。

所以下面将介绍有约束问题的最优化方法，即设计变量的取值范围受到某种限制时的最优化方法。

与无约束问题不同，约束问题目标函数的最小值是满足约束条件下的最小值，而不一定是目标函数的自然最小值。

另外，只要由约束条件所决定的可行域D 是一个凸集，目标函数是凸函数，其约束最优解就是全域最优解。

否则，将由于所选择的初始点的不同，而探索到不同的局部最优解上，所以在这种情况下，探索结果经常与初始点选择有关。

为了能得到全域最优解，在探索过程中最好能改变初始点，有时甚至要改换几次。

约束问题最优解的求解过程可归结为：寻求一组设计变量
****123[...],T n X x x x X D E =∈⊂
在满足约束方程：
()0v h X = (1,2,...,)v p =
()0u g X ≤ (1,2,...,)u m =
的条件下，使目标函数值最小，即：
*()min ()()f X f X f X →=
这样所得的最优点*X 称为约束最优点。

由上式可见，约束条件可分为两类：等式约束和不等式约束。

处理等式约束。