《等比数列的前n项和》说课稿

以将这一特点应用在前 n 项和上，利用错
位相减法，等式两端同时乘以公比 q ，由
由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 此构造相同项，使其具有和谐美，错位相
(1) (2)得：(1 q)Sn a1 a1qn
减，从而化繁为简，求出等比数列的前 n
当 q=1 时， Sn na1
再 由 合 比 定 理 ， 则 得 a2 a3 a4 an q ， 即 让学生整合自己的思路，将各自的推导过
a1 a2 a3 an1
程进行展示，同学们共享探究。此环节让
Sn Sn
a1 an
q ，从而有 1 qSn
a1 anq 。
课后作业分层次安排由基础题和提高题 两个层次构成，使得不同层次的同学通过 本节课的学习都有所收获，有所提高。
学生分组讨论推导等比数列的前 n 项 和公式的方法，运用类比的方法，由特殊 到一般，学生不难发现：由于等比数列中
Sn a1 a1q a1q2 L a1qn2 a1qn1
（1）
的每一项乘以公比 q 都等于其后一项。所
qSn a1q a1q 2 a1q3 a1q n1 a1q n （2）

1 16
，q

0 ，求 S 5 。
变式：将已知改成 q 0 ，或者不给出 q 的范围应该怎么解决？
例 1 属于基础题，利用等比数列的通
项公式和前 n 项和公式，先求出 q ，再利
【例 2】求和
用公式求前 n 项和，让大部分同学可以解 决，熟练运用公式及体会方程的思想。
2

1 2

《 等比数列的前 n 项和》说课稿
说课人：海林林业一中 高明
课题
等比数列的前 n 项和
教材分析
本节课是人教 A 版必修 5 第二章的第五节，是数列一章的最后内容，是教材中很重要 的一块内容，是等比数列知识的再认识和再运用，它对学生进一步掌握等比数列以及数列 的知识有着很重要的作用。等比数列前 n 项和公式的推导，也是培养学生分析、发现、类 比等能力的很好的一个工具。数列作为高考重要考点之一，历年高考题对数列的考察大部 分是考查等差、等比数列的有关知识，以求数列的通项公式和前 n 项和公式为主线，考查 数列中的重要方法，常见的有根据递推关系求通项公式和求和问题，在求和问题中比较常 用的方法就是错位相减和裂项相消，本节课将重点讲授其中的错位相减法，所以本节课的 教学地位非常重要。
当q
1 时， Sn

a1 (1 q n ) 1 q
项和。化简过程中出现了左右两侧同时除
以1 q 将涉及到 q 是否等于 1，对 q 进行
分类讨论。
其他推导方法：（法一）
根据等比数列的定义： a2 a3 a4 an q ，
a1 a2 a3
an1
学生经过讨论还发现了其他的推导方法，
等比数列的通项公式与前 n 项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其
中三个量可求另两个量，即已知 a1, an , q, n, sn 五个量中任意三个，就可以求出其余的两个
教学分析 教学目标 教学重难点
量，这其中渗透了方程的思想。 数列模型运用中蕴涵着丰富的数学思想方法（如方程的思想、分类讨论思想、算法思
当 q=1 时， Sn na1
当q
1 时， Sn

a1 (1 q n ) 1 q
a1 anq 1 q
2Байду номын сангаас等比数列的前 n 项和推导方法：错位相减法。
让学生自己总结本节课所需要的内容，让 学生总结出本节课涉及到的两种方法、四 种思想，并能够利用这些方法思想解决数 列问题。
3、求和方法：错位相减法、分组求和法

22

1 22


23

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22010

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若不给出 q 的范围将利用分类讨论的
方法分两种情况分别计算，渗透了分类讨 论的思想。
例 2 将括号打开将其分成两组，两个
等比数列分别求和，采用分组求和法，又 【例 3】远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，其灯三百八十一， 掌握一种求和的方法分组求和法。
请问尖头几盏灯？这首诗向我们展示了一幅美丽的夜景，同
例 3 先将生活中的实际问题转化为数
学问题，再利用等比数列的前 n 项和公式
时，也向我们提出了一个智慧的问题。
利用方程的思想解决问题，此题中渗透了
五、【课堂小结】 1、等比数列的前 n 项和公式：
转化思想及方程思想，也让学生体会到了 数学与生活的联系，感受数学不但有益而 且有趣。
四、【小试牛刀】
得到了等比数列的前 n 项和公式以及之前 学过的通项公式中共涉及五个量，将两个 公式结合起来，已知其中三个量可求另两
个量，即已知 a1, an , q, n, Sn 五个量中的任
意三个，就可以求出其余的两个量，这其 中就渗透了方程的思想。
【例
1】在等比数列an 中，a1
1 ，a5
想等），这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有 着不可替代的作用。教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给学生充分的探索空间。 1、通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前 n 项和公式，会用等比数列前 n 项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和问题，将等比数列前 n 项和 公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题。 2、通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练， 提高学生的数学素养。体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分 类讨论思想、转化思想。 3、通过解决生活中的实际问题体会数学与生活的密切联系，形成科学的世界观和价值观。 教学重点：等比数列前 n 项和公式的推导及灵活运用 教学难点：等比数列前 n 项和公式的推导即错位相减法的掌握
（1）-（2），得 S30 264 1 （数据可由计算器算出，超过
引出本节课的课题:等比数列的前 n 项和。让学生发现问题进而解决问题，现 在问题转化成了如何求这个等比数列的 和，
引导学生观察式子当中每一项的特 点，后一项等于前一项乘以 2，乘上 2 后 等式的两边就会出现许多相同的项，相减 这些相同的项就会抵消。从而引出解决问 题的方法称为错位相减法，引入错位相减 法，为下一步推导等比数列的前 n 项和做 好铺垫及提供解决方法。
此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的2倍，直到第 64个格子。
甲：1 2 3 64 2080。（很容易算出） 乙：1 2 22 263 ？（问题是如何求出这个和）
可用以下方法求出：
S64 1 2 22 263 1 2S64 2 22 263 264 2
当 q
1 时， Sn

na1 ，当 q
1 时， S n

a1 1 q n 1 q
学生间相互交流，教师给予肯定。
（法二）由 Sn a1 a2 a3 an ， 得 Sn a1 a1q a2q an1q
a1 q(a1 a2 an1 ) a1qSn an ， 从而得 1 qSn a1 anq ，以下略。
教学方法 情境教学法、分组讨论法、探究法、多媒体教学
教学过程
一、【温故知新】
教学环节设计
回顾等比数列定义，通项公式。
设计意图
an q （1）等比数列定义： an1 （ n 2 ， q 0)
回顾前几节课所学内容，为本节课的 学习做好铺垫。
（2）等比数列通项公式： an a1 q n1 (a1 , q 0)
（3）等差数列前 n 项和公式的推导方法：倒序相加法。
二、【问题引入】
阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。将奖赏方式改变，
将课本的例子进行改编构造一个等
甲：第1个格子放1粒，第2个格子放2粒，依此类推，每个格子 差数列和一个等比数列，形成对比。
放的麦粒比前一个格子多1粒，直到第64个格子。
乙：第1个格子放1粒，第2个格子放2粒，第3个格子放4粒，依
甲乙两种方式分别得出结果，让学生 更能体会等比数列的递增速度之快。
了1.84 1019 ，麦粒总质量超过了 7000 亿吨）
三、【问题探讨 获得新知】
问题：如何求等比数列an 的前 n 项和公式
Sn a1 a2 a3 L an a1 a1q a1q2 L a1qn2 a1qn1
4、数学思想：类比、分类讨论、转化、方程的数学思想。
六、【课后作业】
基础题：课本 P61 习题 2.5 A 组 1，2
提高题：求和（ (1 a) (2 a2) L (2n1 an ) 七、【板书设计】
2.5.1 等比数列的前 n 项和
公式的推导过程：
例 1：
例 2：
公式：
例 3：