专升本高等数学(文史财经类)复习课件

第二节.函数的性质 一带而过
1. 函数的奇偶性 注意：定义域关于原点对称
奇函数：f (x) f (x) 图像关于原点对称
偶函数：f (x) f (x) 图像关于y轴对称
2. 函数的单调性
已知 y 当 x1 x2 当 x1 x2
f (x), xa,b， 若有
时，若有f x1 f x2
运算顺序：1 x2 3 2正弦函数sin 3指数运算e 分解顺序：1 y e 2 sin 3 x2 3
(反过来)
方法：从最后一层运算开始分解，每分解一步去掉一 层运算，分解到基本初等函数的和差积商为止。
例2 将下列复合函数分解为简单函数
1.y cos2 x
2.y x2 2x
3 y cos 2x 1 4 y ln sin x3
lim ex , 即当x 时，ex为正无穷大
x
lim 1 , 即当x 0时，1 为无穷大
x0 x
x
关于无穷大的说明
1、f (x) ，即f (x) 或
2、函数f (x)无穷大，不仅与函数有关，还与
变化趋势有关。如lim 1 ，而lim 1 1
x0 x
x3 x 3
3、无穷大实际上极限是不存在
1、只有0是可以作为无穷小的唯一的常数
2、无穷小与自变量的变化趋势有关,
例如：
lim
1
1
x1 x
例2：自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小
（1）y 3x 1 无穷小的性质
(2) y 2x
(3) y (1)x 3
性质1 有限个无穷小的代数和为无穷小
性质2 有界函数与无穷小的乘积为无穷小
性质3 有限个无穷小的乘积为无穷小
例3
1
lim x sin
x0
x
=0
lim x 0,
x0
sin
1 x
1
sin
1 x
是有界函数
性质2：有界量与无穷小之积仍为无穷小
第29页 2.1lim sin 2x 2lim xsin x
x x
x0
(3) lim arctan x x0 x
无穷大
定义 如果当x x0 (或x ）时，函数f (x)的绝对值无限增大，那么称 函数f (x)当x x（0 或x ）时为无穷大
4、lim f (x) lim f (x) A B 0
g(x) lim g(x) B
二.函数极限的计算
类型1：整式极限的求法 lim P(x) P(a) xa
例1、lim x2 3x 2
x2
P(x)
类型2：分式极限的求法
lim
xa
Q(x)
І、分母极限不为零：lim P(x) P(a)
时，若有f x1 f x2
，x1, 则， 则
x2 a,b
f (x) 在 a,b
f (x) 在 a,b
内单调递增 内单调递减
3. 函数的周期性
y sin x, y cos x都是周期函数，
其最小正周期为2
二.函数的性质
4. 有界性 已知 y f (x), x a,b ，若 一个正数M ，恒有 f (x) M
例5、lim x2
x2 x2 4
例7、lim 3 x2 9
x0
x
例6、lim 4 x 2
x0
x
Ⅳ、分母极限且分子极限都为无穷大：lim P(x)（ 型） xa Q(x)
例8、lim x
2x2 x 5 x2 2x 1
=2
例9、lim x
2x3 5x2 1 x4 3x2 2x
=0
bc
ea
lim
x
1
ax
b
m
cxn
bc
e a
第六节 函数的连续性
定义 设函数 y f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定
义，如果当 x x0时，函数 f (x)的极限存在，且等于它
在点 x0的函数值 f (x0 )，即
lim
x x0
f
(x)=
f
(x0 )，
则称函数 y f (x)在点 x0处连续．
② y 是因变量
③ f 表示对应规律 ④定义域：D(x D)
二、函数的表示法
表格法、图像法、解析法
表格 法
图像法
解析法
y f (x)
（1）分段函数
在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的函 数成为分段函数
• 例如 函数
1, x 0
f
(
x)
sgn
x
0,
x
0
1, x 0
注意：分段函数仍然是一个函数，而不是几个函 数
第一章 函数
• 第一节 函数的基本概念 • 第二节 函数的性质 • 第四节 初等函数（重点）
第一节.函数的基本概念 一带而过
一、函数的定义
设非空实数集合D ，若对 D 中的每一个x ，可 以通过某种对应法则 f 确定唯一的y ，则称 y是
x 的函数．记作 y f x, xD
在此定义中要注意：
① x 为自变量
，求 lim x2
f
( x), lim x4
f
(x)
分析：分段函数的分段点，该点的左、右侧附近函数 以不同的解析式表示，碰到分段函数分段点的极限， 一定要求左右极限）
无穷小
例1.lim(x 3) 0l,ilmim11 0
x3
xxxx
无穷小
定义：极限为零的变量称为无穷小量，简称
为无穷小
关于无穷小的说明:
提问：根据定义思考下哪些函数不是初等函数？
1 分段函数 2 f (x) 1 x x2 x3 ...... xn ......
3 y xsin x 幂指函数
第二节 函数的极限
一、当 x 时，函数 y f 的(x)极限
定义 当 x 时，若 f (x) A （A 为一个确定的常数），
反例：lim sin x 0 x x
二
公式二：lim x
1
1 x
x
e,
1
lim1 xx
x0
e
1 型
lim
x
1
1 x
x
e,
1
lim1 xx e
x0
例2：求极限
1
lim
x
1
1 x
cx
2
lim
x
1
1 x
x
3
lim
x
1
1 bx
x
4
lim
x
1
a x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
5
lim
x
1
1 x
xn
6
lim
x
型
lim sin x 1 （方框代表同一个变量） x0 x
推广条件1：符合
0 0
型
sin
条件2：函数符合
型
例1：求极限
sin x
1lim 2
x0 x
(2) lim x cot x x0
课后习题： 34页第一题（1）lim sin 2x
x0 5x
(2) lim sin 3x x0 sin 7x
x x0
x x0
x x0
定理 1：
lim
x x0
f
(x)
存在的充要条件
lim
x x0
f (x)
lim
x x0
f (x)
A
例 5.已知
f
(
x)
x x
1, 1,
x x
0 0
，求
lim
x0
f
(x)
,
lim
x0
f
(x)
，
lim
x0
f (x)
1, x 2
例
6.已知
f
(x)
4x, x 2 x, x 2
一. 极限的四则运算法则
设 lim f (x) A, lim g(x) B, C为常数，则有
1、lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B 2、lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B
3、lim Cf (x) C lim f (x) CA
（重点）
二.复合函数
1、 定义：
若函数y f ()， g(x)，且 g(x)的值域或
部分值域包含在f ()的定义域中，则变量y通过
变量与变量x建立了对应关系，则称y f g(x)
为y是x的复合函数。
其中x为自变量，y为因变量，称为中间变量。
分解 复合
复
y u2 ,u sin x 合
的定义域 • 若函数表达式是由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定
义域的交集 • 分段函数的定义域是各个定义区间的并集
例1.下列函数的定义域D
（1）f
(x)
x2
1 2x 1
（2）f (x) 4 x2
（3）f (x) lg x 1 2
1 x2 1
(4)
y
x,0 x 1
x 1, x 1
则
A
为
f
(x)
当
x
时的极限，记为
lim
x
f
(x)
A
当 x 时，若 f (x) A （A 为一个确定的常数），
则
A
为
f
(x)
当
x
时的极限，记为
lim
x
f
(x)
A
定理
极限
lim
x
f
(x)
存在且等于
A
的充分必要条件是
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x
x
x
5
(5)
y
arctan
x 3
2
例3设 f (x) x2 ,g(x) =log2x ,
求f [ g(x)]，g f (x), f f (x)
课堂练习 例4:将下列复合函数分解为简单函数
1.y 1 x3 2 y lnsin x2 3 y [arccos(1 x2)]3
三.初等函数
定义：
由基本初等函数经过有限次四则运算及有 限次复合运算所构成，且能用一个式子表示的 函数，叫做初等函数，否则就是非初等函数。
xa Q(x) Q(a)
例2、lim 2x2 x 3 x1 x2 3
例3、lxim（ 3
2 x2
)(1
1 x
)
П、分母极限为零,分子极限不为零：
lim P(x)（A 型，A 0） xa Q(x) 0
例4、lim x 4 x1 x 1
Ⅲ、分母极限且分子极限都为零：lim P(x)（0 型） xa Q(x) 0
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0
x x0
x x0
左极限（ x x0 时 f (x) 的极限）
当 x x0 时（从 x0 的左侧附近趋向于 x0 时），若 f(x)A（A
为一个确定的常数），则称 A 为当 x x0 时 f (x)的左极限，记作
lim f (x) lim f (x) A
• 若 y f (是x)无穷大量，则 1为无穷小量
f (x)
• 若 y f (x是) 无穷小量，且 f (x)， 0则 量
为1 无穷大
f (x)
例如，因为lim x3 , 所以lim 1 0；
x
x x 3
因为lim sin x 0, 所以lim 1
x0
x0 sin x
第四节 极限的运算法则
若 lim xx0
f (x)=
f (x0 ) ,则称函数 y
f (x) 在点 x0 处左连
y sin2 x
分解 复合
分
解
2.复合条件
提问：是不是任何两个函数都可以复合成一个函数呢？
y u,u sin x 3能否复合？
因为函数y 的定义域为D 0， ，函数 sin x 3的值域Z 4, 2，而D Z ，
所以不能复合。
3.复合函数的分解
y esin(x2 3)
（重点）
则称 f (x)在 a,b 内有界，反之无界。有界函数的几何特
征是：其图像被控制在两条水平直线之间。
思考：y cos x 在(, ) 内是否有界
y cos x在R上有界
第四节.初等函数
微积分的研究对象主要为初等函数，而 初等函数是由基本初等函数组成的。
如下六类函数统称为基本初等函数(熟记 6类16个表达式）
例3 根据图像求 lim( x 1)
lim
xx0
f
(x)
A
x3 3
例4 考察极限 lim C(C为常数） xx0
3、单侧极限
定义 定义
右极限（ x x0 时 f ( x) 的极限）
当 x x0 时（从 x0 的右侧附近趋向于 x0 时），若 f (x)A（A
为一个确定的常数），则称 A 为当 x x0 时 f (x) 的右极限，记作
1
x
1 m
x
总结：
lim
x
1
1 x
x
e,
1
lim1 xx e
x0
原则上这个三个方框里的内容要一致，但在运算
过程中，□的内容必须要一致，而变化趋势的□
则需要观察，只要能使得□→ ∞ (0) 即可。
1
例如：lim 1 3x x x0
lim
x0
1
3x
1 3x
3
e3
lim
x
1
ax
b
m
cxn
例10、lim x
3x3 6x2
2x 4x
1 3
=
,当m n
总结：lim x
a0 xn b0 xm
a1xn1 b1xm1
a2 xn2 b2 xm2
... ...
an bm
a0 b0
,当n m
0,当m n
第五节.两个重要极限
一公式一：lim x0
sin x
x
1
0 0
（2）隐函数
： 隐函数 形如F (x, y) 0,如exy x2 y 1, x3 y3 a等
显函数：形如y f (x)
（3）参数方程所确定的函数
如
y
x
t 1
其中 t,
为t 参数
• 分式的三分母、不能函为零数的定义域
• 偶次根式的被开方数必须为非负数 • 对数式中的真数必须大于零 • 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数考虑各自
第二节 函数的极限
考察这些函数在
Y
x , x
f (x) 2x
x 时变化趋势
Y
0
X
f (x) 1 x
x 0
0
X
二、当 x x时0 ，函数 y f的(x)极限
义：定义：当 x x0 时，若 f (x) A（ A 为一个确定的常数），则称 A
为 f (x) 当 x x0 时的极限，记作