2018年高考数学总复习 9.5 椭圆演练提升同步测评 文 新人教b版

9.5 椭圆
A 组 专项基础训练
(时间：40分钟)
1．(2017·辽宁沈阳一模)△ABC 的两个顶点为A (－4，0)，B (4，0)，△ABC 的周长为18，则C 点的轨迹方程为( )
A.x 216＋y 29＝1(y ≠0)
B.y 225＋x 2
9＝1(y ≠0) C.
y 2
16＋x 2
9＝1(y ≠0) D.x 225＋y 2
9
＝1(y ≠0) 【解析】 ∵△ABC 的两顶点为A (－4，0)，B (4，0)，周长为18，∴AB ＝8，BC ＋AC ＝10.
∵10＞8，∴点C 到两个定点A ，B 的距离之和等于定值，且满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，2a ＝10，2c ＝8，∴b ＝3.∴椭圆的标准方程是x 225＋y 2
9＝1(y
≠0)．故选D.
【答案】 D
2．(2017·山西忻州模拟)设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (a ，
b )满足|F 1F 2|＝|PF 2|，设直线PF 2与椭圆交于M ，N 两点．若|MN |＝16，则椭圆的方程为( )
A.x 2144＋y 2108＝1
B.x 2100＋y 2
75＝1
C.
x 236＋y 227＝1 D.x 216＋y 2
12
＝1 【解析】 因为点P (a ，b )满足|F 1F 2|＝|PF 2|， 所以（a －c ）2
＋b 2
＝2c . 整理得2e 2
＋e －1＝0，解得e ＝12.
所以a ＝2c ，b ＝3c ， 椭圆的方程为3x 2
＋4y 2
＝12c 2
.
直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )，将直线方程代入椭圆方程，整理得5x 2
－8cx ＝0，解得x ＝0或85c ，所以M (0，－3c )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫
85c ，335c ，因此|MN |＝165c ＝16，所以c ＝5，所以椭
圆的方程为x 2100＋y 2
75
＝1，故选B.
【答案】 B
3．(2017·江西南昌模拟)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为( )
A.15
B.25
C.45
D.215
【解析】 ∵焦距为4，∴c ＝2.∵P 为椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长为14，∴2a ＋2c
＝14，∴a ＝5，∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2
5
.故选B.
【答案】 B
4．(2017·河南郑州一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过
F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点．若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率
为( )
A.
2
2
B ．2－ 3 C.5－2 D.6－ 3
【解析】 如图，设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m .若△ABF 1构成以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义，得△ABF 1的周长为4a ，即4a ＝2m ＋2m ，∴m ＝2(2－2)a .
∴|AF 2|＝2a －m ＝2(2－1)a .
在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2
＝|AF 1|2
＋|AF 2|2
， 即4c 2
＝4(2－2)2a 2
＋4(2－1)2a 2
， ∴c 2
＝3(2－1)2a 2
，e ＝6－3，故选D.
【答案】 D
5．(2016·长沙模拟)设椭圆x 24＋y 2
3＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上的一动
点，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2的面积为( )
A ．3
B ．3或3
2
C.3
2
D ．6或3 【解析】 由题意可得该椭圆短轴顶点与两焦点的连线的夹角是60°，所以该点P 不可能是直角顶点，则只能是焦点为直角顶点，此时△PF 1F 2的面积为12×2c ×b 2
a ＝3
2
.
【答案】 C
6．(2017·安徽黄山一模)已知圆(x －2)2
＋y 2
＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶
点和一个焦点，则此椭圆的离心率e ＝________．
【解析】 圆(x －2)2
＋y 2
＝1经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点和一个焦点，故椭
圆的一个焦点为F (1，0)，一个顶点为A (3，0)，所以c ＝1，a ＝3，因此椭圆的离心率为1
3
.
【答案】 1
3
7．(2017·海南海口模拟)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为23，左、右焦点分别为
F 1，F 2，点P 是椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为23，则椭圆的标准方程为
________．
【解析】 由题意，得c ＝3，∴a 2
－b 2
＝c 2
＝3.∵∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为23， ∴12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝3
4|PF 1|·|PF 2|＝23， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8.
又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，由余弦定理得
4c 2
＝12＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60° ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2
－3|PF 1|·|PF 2|＝4a 2
－3×8， 解得a 2
＝9，故b 2＝6，因此椭圆的方程为x 29＋y 2
6＝1.
【答案】 x 29＋y 2
6
＝1
8．(2016·北京东城模拟)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是____________．
【解析】 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)．
由题意知⎩⎨⎧
a 2＝
b 2＋
c 2，
a ∶
b ＝2∶
3，c ＝2，
解得a 2
＝16，b 2
＝12.
所以椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12＝1.
【答案】 x 216＋y 2
12
＝1
9．(2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1
|OA |
＝
3e |FA |
，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程；
(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率．
【解析】 (1)设F (c ，0)，由
1
|OF |＋1|OA |＝3e |FA |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2
，又a 2
－c 2
＝b 2
＝3，所以c 2
＝1，因此a 2
＝4，所以，椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．
设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2
3＝1，
y ＝k （x －2）
消去y ，
整理得(4k 2
＋3)x 2
－16k 2
x ＋16k 2
－12＝0. 解得x ＝2或x ＝8k 2
－6
4k 2＋3
，
由题意得x B ＝8k 2
－64k 2＋3，从而y B ＝－12k
4k 2＋3
.
由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k
2
4k 2＋3，12k 4k 2＋3.
由BF ⊥HF ，得BF →·FH →
＝0，
所以4k 2
－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 2
12k .
因此直线MH 的方程为y ＝－1
k x ＋9－4k 2
12k
.
设M (x M ，y M )，
由方程组⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 2
12k 消去y ，
解得x M ＝20k 2
＋9
12（k 2
＋1）
. 在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |，即(x M －2)2
＋y 2
M ＝x 2
M ＋y 2
M ，化简得x M ＝1，即
20k 2
＋912（k 2
＋1）＝1，解得k ＝－64，或k ＝6
4
. 所以，直线l 的斜率为－
64或6
4
. 10．(2016·吉林实验中学)如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(1，0)，
点H ⎝
⎛⎭⎪⎫2，2103在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)点M 在圆x 2
＋y 2
＝b 2
上，且M 在第一象限，过M 作圆x 2
＋y 2
＝b 2
的切线交椭圆于P ，
Q 两点，求证：△PF 2Q 的周长是定值．
【解析】 (1)设椭圆的左焦点为F 1，
根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1(－1，0)，F 2(1，0)，c ＝1，
∵H ⎝
⎛⎭⎪⎫2，2103在椭圆上，
∴2a ＝|HF 1|＋|HF 2|＝（2＋1）2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫21032
＋
（2－1）2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫21032
＝6，
∴a ＝3，b ＝22， 故椭圆的方程是x 29＋y 2
8＝1.
(2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 219＋y 21
8
＝1， |PF 2|＝（x 1－1）2
＋y 21
＝
（x 1－1）2
＋8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
19
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 13－32
， ∵0＜x 1＜3， ∴|PF 2|＝3－1
3x 1，
在圆中，M 是切点，
∴|PM |＝|OP |2
－|OM |2
＝x 2
1＋y 2
1－8
＝
x 2
1
＋8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
19－8＝13x 1， ∴|PF 2|＋|PM |＝3－13x 1＋1
3x 1＝3，
同理：|QF 2|＋|QM |＝3，
∴|F 2P |＋|F 2Q |＋|PQ |＝3＋3＝6， 因此△PF 2Q 的周长是定值6.
B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)
11．(2017·江西新余模拟)椭圆C 的两个焦点分别是F 1，F 2，若C 上的点P 满足|PF 1|＝3
2
|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是( ) A ．e ≤12 B ．e ≥14
C.14≤e ≤12 D ．0＜e ≤14或1
2≤e ＜1 【解析】 ∵椭圆C 上的点P 满足|PF 1|＝3
2|F 1F 2|，
∴|PF 1|＝3
2×2c ＝3c .
由a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ， 解得14≤c a ≤12.
【答案】 C
12．(2017·重庆巴蜀中学模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 29＋y 2
8＝1的左、右焦点，点E
是椭圆C 上的动点，EF 1→·EF 2→
的最大值、最小值分别为( )
A ．9，7
B ．8，7
C ．9，8
D ．17，8
【解析】 由题意可知椭圆的左右焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，设E (x ，y )，则EF 1
→
＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2
－1＋8－89x 2＝19
x 2＋7(－3≤
x ≤3)，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→
有最大值8，故选B.
【答案】 B
13．(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右
焦点，直线y ＝b
2
与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．
【解析】 由题意可得B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32a ，b 2，
C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°，得BF →·CF →
＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭
⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2
＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝
6
3
. 【答案】
63
14．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正
三角形的三个顶点，点P ⎝
⎛⎭⎪⎫3，12在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；
(2)设不过原点O 且斜率为1
2
的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为
M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.
【解析】 (1)由已知，a ＝2b .
又椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12， 故
34b 2＋14
b
2＝1，解得b 2
＝1. 所以椭圆E 的方程是x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)证明 设直线l 的方程为y ＝1
2
x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2
4＋y 2
＝1，
y ＝12x ＋m ，
得x 2＋2mx ＋2m 2
－2＝0，① 方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2
)，
由Δ＞0，即2－m 2
＞0，解得－2＜m ＜ 2.
由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2
－2.
所以M 点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－m ，m 2，直线OM 方程为y ＝－12x ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2
4＋y 2
＝1，y ＝－1
2
x ，得C ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－
2，
22，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2，－22. 所以|MC |·|MD |＝52(－m ＋2)·5
2
(2＋m ) ＝54
(2－m 2
)． 又|MA |·|MB |＝14|AB |2
＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝516
[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54(2－m 2
)， 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.
15．(2016·课标全国Ⅱ)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 2
3＝1的左顶点，斜率为k (k ＞0)的直线
交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .
(1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3＜k ＜2. 【解析】 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1＞0. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π
4.
又A (－2，0)，
因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.
将x ＝y －2代入x 24＋y 2
3＝1得7y 2
－12y ＝0.
解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝12
7
.
因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝144
49
.
(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k ＞0)代入x 24＋y 2
3
＝1得
(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2
－12＝0.
由x 1·(－2)＝16k 2
－123＋4k 2得x 1＝2（3－4k 2
）
3＋4k 2
， 故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2
＝121＋k
2
3＋4k
2.
由题设，直线AN 的方程为y ＝－1
k
(x ＋2)，
故同理可得|AN |＝12k 1＋k
2
3k 2
＋4. 由2|AM |＝|AN |得23＋4k 2＝k
3k 2
＋4，即 4k 3
－6k 2
＋3k －8＝0.
设f (t )＝4t 3
－6t 2
＋3t －8，则k 是f (t )的零点，
f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，
所以f (t )在(0，＋∞)内单调递增． 又f (3)＝153－26＜0，f (2)＝6＞0，
因此f (t )在(0，＋∞)内有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3＜k ＜2.。