广东省梅州市城南中学高三数学理月考试卷含解析

广东省梅州市城南中学高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若a＞0，b＞0，且函数在x＝1处有极值，则ab的最大值等于（）
A．2 B．3 C．6
D．9
参考答案：
D
2. 已知R且，若（e为自然对数的底数），则下列正确的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
略
3. 若函数在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围
A. B. C. D.
参考答案：
A
4. 下列结论中正确的是（）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“若，则.”的否命题是“若，则”
C．“”是“函数在定义域上单调递增”的充分不必要条件
D．命题：“，”的否定是“，”
参考答案：
D
A.“”则一定有“”，反之时，故推不出。

故是充分不必要条件。

故选项不对。

B．命题“若，则.”的否命题是：若，则故选项不对。

C．“”是“函数在定义域上单调递增”的充要条件，故选项不对。

D．命题：“，”的否定是“，”，只否结论不否条件。

故正确。

故答案为D。

5. 设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A是其右支上一点，连接AF1交双曲线的左支于点B，若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，则该双曲线的离心率为
( )
A．B．C．2﹣1 D．
参考答案：
D
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；解三角形；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由题意可得△BAF2为等边三角形，设AF2=t，则AB=BF2=t，再由双曲线的定义，求得t=4a，再由余弦定理可得a，c的关系，结合离心率公式即可计算得到．
解答：解：若|AB|=|AF2|，且∠BAF2=60°，
则△BAF2为等边三角形，
设AF2=t，则AB=BF2=t，
由双曲线的定义可得，
AF1﹣AF2=2a，BF2﹣BF1=2a，AF1=AB+BF1，
即有t+2a=2t﹣2a，
解得，t=4a，
AF1=6a，AF2=4a，F1F2=2c，
由余弦定理可得，
F1F22=AF12+AF22﹣2AF1?AF2cos60°，
即有4c2=36a2+16a2﹣2×6a×4a×，
即为4c2=28a2，
则有e==．
故选D．
点评：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的定义的运用，考查余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
6. 已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
7. 设是虚数单位，复数＝（）
A.B. C. D. 参考答案：
D
略
8. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】等差数列的性质．
【分析】利用=，可得d=a1，即可求出．
【解答】解：设公差为d，则=，d=a1，
∴==，
故选A．
9. 已知集合，那么集合为（）
A、 B、 C、
D、
参考答案：
B
略
10. 是 ( )
A． B． C．
D．
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若集合，，则 . 参考答案：
略
12. ．在等差数列中，已知，则该数列前项和
．
参考答案：
13. 已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=．
参考答案：
【考点】复数求模．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．【解答】解：∵z（1+i）=2，
∴，
则|z|=．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．
14. 已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为．
参考答案：
16
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且
m+n=p+q，则有a m a n=a p a q，得a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入能求出结果．
【解答】解：∵等比数列{a n}，且a6+a8=4，
∴a8（a4+2a6+a8）=
==（a6+a8）2=16．
故答案为：16．
15. 若= 。

参考答案：
1
略
16. 已知不全为零，设正数满足，若不等式
成立，则的最小值为．
参考答案：
17. 若函数有六个不同的单调区间，则实数的取值范围是_______________．
参考答案：
(2,3)
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分）（2013秋?威海期中）已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出导函数f′（x），令f′（x）=0，求出方程的根，求解f′（x）＜0和f′（x）＜0，即可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）根据题意可知f（x）=2x+m，将f（x）代入整理，令g（x）=，则有g（x）=m，将问题转化为函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，利用导数研究函数g （x）的单调性和极值，从而可以求得实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数，
∴f'（x）=x2﹣3x+2，
令f'（x）=0，解得x=1或x=2，
∴当x＜1或x＞2时，f'（x）＞0，当1＜x＜2时，f'（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调递增区间为（1，2）；（Ⅱ）令f（x）=2x+m，即，
∴，
设g（x）=，
∵曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，
∴函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，
令g'（x）=0，解得x=0或x=3，
当x＜0或x＞3时，g'（x）＞0，
当0＜x＜3时，g'（x）＜0，
∴g（x）在（﹣∞，0），（3，+∞）单调递增，在（0，3）单调递减，
∵，画出函数g（x）的大值图象如右图，
∴实数m的取值范围为．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．求函数极值的步骤是：先求导函数，令导函数等于0，求出方程的根，确定函数在方程的根左右的单调性，根据极值的定义，确定极值点和极值．过程中要注意运用导数确定函数的单调性，一般导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．
19. （本题12分）将函数的图像向左平移1个单位，再将图像上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图像. （1）求函数的解析式和定义域；
（2）求函数的最大值.
参考答案：
解析：（1）……………4分（2）……………6分
令（过程略）……………10分
当时，的最大值-3 ……………………12分20. 已知函数.
（Ⅰ）若不等式的解集为，，求的取值范围；（Ⅱ）若为整数，，且函数在上恰有一个零点，求的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数对任意的x∈，有
恒成立，求实数的最小值.
参考答案：
解：（Ⅰ）由题知------2分，∈（2，+∞）----4分
（Ⅱ）时，f(x)=－2x+1,零点为，不合，舍去；------1分
时，∵ ∴，
，
∴函数必有两个零点，
又函数在上恰有一个零点，∴------4分
，又，∴ ----6分
（Ⅲ），，整理得
--------2分
令H(x)= ，，
在（1，+∞）上单调增，又，>0, -----4分
∴H(x) = 在（1，+∞）单调增，，k≥1,k的最小值为1.----6分
略
21. （10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设曲线和曲线的交点、，求.
参考答案：
（1）曲线的普通方程：;曲线的直角坐标方程为.
（2）
试题分析：（1）由为参数）消去参数得曲线的普通方程
将代入得曲线的直角坐标方程.
（2）由于曲线为直线，曲线为圆，所以求出圆的半径及圆心到直线的距离，再由便可求得.
试题解析：（1）由为参数）消去参数得曲线的普通方程：
将代入得曲线的直角坐标方程为
. 4分
（2）曲线可化为，表示圆心在，半径的圆，
所以圆心到直线的距离为
所以
10分
22. 已知等差数列{a n}满足，a1+a2+a3=9，a2+a8=18．数列{b n}的前n和为S n，且满足S n=2b n ﹣2．
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{c n}满足，求数列{c n}的前n和T n．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，利用等差中项的性质及已知条件
“a1+a2+a3=9、a2+a8=18”可得公差，进而可得数列{a n}的通项；利用“b n+1=S n+1﹣S n”及
“b1=2b1﹣2”，可得公比和首项，进而可得数列{b n}的通项；
（Ⅱ）利用=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论．
解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，
∵a1+a2+a3=9，∴3a2=9，即a2=3，
∵a2+a8=18，∴2a5=18，即a5=9，
∴3d=a5﹣a2=9﹣3=6，即d=2，
∴a1=a2﹣d=3﹣2=1，
∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
∵S n=2b n﹣2，
∴b n+1=S n+1﹣S n=2b n+1﹣2b n，
即b n+1=2b n，
又b1=2b1﹣2，∴b1=2，
∴数列{b n}是以首项和公比均为2的等比数列，
∴b n=2?2n﹣1=2n；
∴数列{a n}和{b n}的通项公式分别为：a n=2n﹣1、b n=2n；
（Ⅱ）由（I）知=，
∴T n=++…+，
∴T n=++…++，
两式相减，得T n=+++…+﹣
=+﹣
=﹣，
∴T n=3﹣．
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．。