苏教版 高中数学选择性必修第二册 全概率公式 课件2

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代传播者，2 名第三代传播者，若小明仅和感染的 10 个人其中一个接触，则小明被感染
的概率是________．
【解析】 设事件 A，B，C 为与第一代、第二代、第三代传播者接触，事件 D 为小
明被感染，由已知，得 P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(C)＝0.2，P(D|A)＝0.9，P(D|B)＝0.8，
8.1.2全概率公式
学习目标
1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出 全概率公式的过程; 2.理解全概率公式并会利用全概率公式计算概率;
背景引入 思考 1►►► 甲袋中有 3 个白球和 2 个红球，乙袋中有 2 个白球和 3 个红球，先随机取一只袋， 再从该袋中随机取一个球，则该球为红球的概率是多少？
【解析】 随机取一只袋，设取到的是甲袋为事件 A1，取到的是乙袋为事件 A2.再从 袋中随机取一个球，取出的球是红球为事件 B，则事件 B 有两类：取出的是甲袋且从中 取出的是红球，取出的是乙袋且从中取出的是红球，即 B＝A1B＋A2B.
因为 A1B 与 A2B 互斥，所以 P(B)＝P(A1B＋A2B)＝P(A1B)＋P(A2B)．
P(D|C)＝0.7，则 P(D)＝P(D|A)·P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)＝0.9×0.5＋0.8×0.3＋
0.7×0.2＝0.83，所以小明参加聚会，仅和感染的 10 个人其中一个接触，感染的概率为
0.83.
【答案】 0.83
答案
5. 某学校有 A，B 两家餐厅，王同学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如 果第 1 天去 A 餐厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.6；如果第 1 天去 B 餐厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.8.求王同学第 2说就是存在 A 传 B，B 又传 C，C 又传 D，这就是
“持续人传人”，那么 A，B，C 就会被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一
个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为 0.9,0.8,0.7，健康
的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有 5 名第一代传播者，3 名第二
由全概率公式,得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)
=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525
总结全概率公式求概率的步骤：
1.设事件：把事件 B（结果事件）看作某一过程的结果, 把 A1,A2,…,An 看作导致结果的若干个原因；
【解析】 用 A1 表示事件“第 1 天去 A 餐厅用餐”，用 B1 表示事件“第 1 天去 B 餐厅用餐”，用 A2 表示事件“第 2 天去 A 餐厅用餐”，则 Ω＝A1＋B1，且事件 A1 与 B1 互斥．
根据题意，得 P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8， 由全概率公式，得 P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7， 所以王同学第 2 天去 A 餐厅用餐的概率为 0.7.
P(B | An )
An P( An )
例 2 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字，每位数字都可从 0～9 中任选一个．某人在 银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：
(1) 任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率； (2) 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过 2 次就按对的概率． 【解析】 设第 i 次按对密码为事件 Ai(i＝1,2)，则 A＝A1＋( A1 A2)表示不超过 2 次按 对密码． (1) 因为事件 A1 与事件 A1 A2 互斥，由概率的加法公式，得 P(A)＝P(A1)＋P( A1 A2) ＝110＋190××19＝15. (2) 用 B 表示事件“最后一位按偶数”，则 P(A|B)＝P(A1|B)＋P(( A1 A2)|B)＝15＋45××14 ＝25.
全概率公式定义： 一般地,设 A1,A2,…,An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω， 且 P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有
n
P(B) P Ai P B | Ai i 1
我们称上面的公式为全概率公式．
例 1 某学校有 A，B 两家餐厅，王同学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如果第 1 天去 A 餐厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.6；如果第 1 天去 B 餐 厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.8. 计算王同学第 2 天去 A 餐厅用餐的概率.
2.写概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即 P(Ai )), 且每一原因对结果的影响程度(即 P(B|Ai ))；
3.代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即 P(B) ).
A1 P( A1)
P(B | A1)
P(B | A2 ) A2 P( A2 ) B P(B | Ai ) Ai P( Ai )
解：设 A1=“第 1 天去 A 餐厅用餐”， A2=“第 1 天去 B 餐厅用餐”, B=“第 2 天去 A 餐厅用餐”，则Ω=A1∪A2,且 A1 与 A2 互斥. 根据题意 P(A1)=P(A2)=0.5,P(B|A1)=0.6,P(B|A2)=0.8, 由全概率公式，得 P(B)= P(A1) P(B| A1)+ P(A2) P(B| A2)
=0.5×0.6+0.5×0.8 =0.7 因此，王同学第 2 天去 A 餐厅用餐的概率为 0.7.
例3:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次 品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别 占总数的25%,30%,45%. 问：任取一个零件,计算它是次品的概率.
由概率的乘法公式，
得 P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． 因为 P(A1)＝12，P(B|A1)＝CC1215＝25， P(A2)＝12，P(B|A2)＝CC1315＝35， 所以 P(B)＝12×25＋12×35＝12.
思考 2►►►
从有 a 个红球和 b 个蓝球的袋子中，每次随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回．显
然，第 1 次摸到红球的概率为a＋a b，那么第 2 次摸到红球的概率是多大？如何计算这个
概率呢？
【解析】
记“第
2
次摸到红球”为事件
A，则
P(A)＝a＋a b×
a－1 a＋b－1
＋a＋b b
×a＋ab－1＝a＋a b.
按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的和，再由概率的加法公式和 乘法公式求得这个复杂事件的概率．
1. 利用公式 P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意 这个性质的使用前提是“B 与 C 互斥”．
2. 为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单 事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
4. (2019·福建部分学校期末)世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病