人教A版高中数学必修二《直线与平面垂直的判定》

a m,a n.（线面垂直 线线垂直）
又因为 b // a
所以 b m,b n.
又 m ,n ,m,n 是两条相交直线，
所以 b . （线线垂直 线面垂直）
重要结论：
两条互相平行的直线，如果有一条与一个平面 垂直，则另一条也与这个平面垂直。
a // b，a ⊥α b
a
b
m
α
n
变式训练：
2、利用判定定理：要证明一条直线垂直于平面，只 需要在平面内找两条相交直线，证明从而可证。
3利用可以作为定理用的正确命题，例如，如果两条 平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条直线也 垂直于这个平面。如果一条直线垂直于两个平行平
面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面。
知识小结
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线 与平面垂直的方法？
问题1：在转动过程中，BC边与桌面是什么位置 关系？
问题2：在转动过程中，BC边一直在移动，而AC 边与BC边所成角度是否会发生改变呢？
问题3：AC边与桌面任意一条不过C点的直线又 是什么位置关系？
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
K是AC的中点．
V
（2）求证：VB⊥AC；
证明： AC 平面VKB, VB 平面VKB VB AC
K A
E
C F B
变式训练：
如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，
K是AC的中点．
（3）若E、F分别是ABห้องสมุดไป่ตู้BC的中点，试判断EF
与平面VKB的位置关系.
V
解: 判断EF 平面VKB
V
（1）求证：AC⊥平面VKB；
证明： K是AC的中点，AB BC
AC BK K是AC的中点，VA VC AC VK
K A
E
C F B
AC BK , AC VK , BK VK K ,
BK 平面VKB,VK 平面VKB
AC 平面VKB
变式训练：
如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，
思考1 : l , a ,那么l a是否成立？
平面 的垂线
垂足
l
直线 l 的垂面
P
线面垂直的定义常这样使用
l
a
l
l a
a
简记：线面垂直，则线线垂直
1.直线与平面垂直的定义
如果一条直线l与平面内的任意一条直线都垂直,
则称这条直线与这个平面垂直. 记作l .
思考2 : 定义中的"任意一条"能否替换成"无数条"？
垂直，则该直线与此平面垂直。
l
即：m α
n α m∩n=B l⊥m l⊥n
5个条件
B
m
l ⊥α
nA
简记：线线垂直，则线面垂直
关键：线不在多，相交则行
例题示范,巩固新知
例1.如图，已知a∥b、a⊥α.
求证：b⊥α.
a
b
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n． 因为直线 a ，
n
m
根据直线与平面垂直的定义知
普通高中课程标准实验教科书人教社A版
必修2、 2.3.1
《直线与平面垂直的判定》
学 校：xx一中 授课教师：xxx 指导老师：xxx
旗杆与地面的关系， 给人以直线与平面
垂直的形象。
大桥的桥柱与水面的位置关 系，给人以直线与平面垂直
的形象。
知识探究（一）：直线与平面垂直的概念
实验1：拿一块直角三角板，放在桌面上，使三 角板的直角顶点C与桌面内的某个点重合，将三 角纸片绕AC转动，在转动过程中，直角边CB与桌 面紧贴，这就表示，AC与桌面垂直，并回答下列 问题。
——————————————
B1O AC
OB12 OB2 BB12
2
2
22
6
OP2 OD2 PD2 2 2 12 3
PB12 PD12 B1D12 1 2 2
2
2 9
OB12 OP 2 PB12
B1O PO
B1O AC, B1O PO, AC PO O, AC 平面PAC , PO 平面PAC B1O 平面PAC
（2）上述判断直线与平面垂直的方法体现的什么 数学思想？
• 1、P41 习题1-6 A组：1,2,4,5,7. • 2、优化设计：直线与平面垂直的判定 • 3、预学第三章的内容
动画演示
A1
AA1
A
AD作为BC边上的高时，AD α，这时
AD BC，即AD BD，AD CD，BD∩CD=D.
结论：AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD=D，
有AD⊥α.
A1
B1
D1
A
BB1
D1D
B
CC1D
C1
C
B1
D1 B
D
C
C1
A
B D
C
C
l
m
α
B
n
线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都
b
a
知识探究（二）：直线与平面垂直的判定定理
思考：是否把平面中的直线一一找出，才能 证明直线与平面垂直？
l
P
探究活动：做以下试验：
请准备一块三角形的纸片，沿△ABC的高AD翻折 纸片，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、 DC与桌面接触）.
(1)此时折痕AD与桌面垂直吗？ (2)如果AD不是△ABC的高,此时折痕AD与桌面垂 直吗？ （3）由折痕 AD ,B翻C折之后垂直关系变化不变 (即 AD BD, A)D，由DC此你能得出什么结论？
如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC， K是AC的中点． （1）求证：AC⊥平面VKB； （2）求证：VB⊥AC； （3）若E、F分别是AB、BC的中点，试判断EF 与平面VKB的位置关系.
V
K A
E
C F B
变式训练：
如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，
K是AC的中点．
证明：若E、F分别是AB、BC的中点，
K
EF//AC
A
C
AC 平面VKB
E
F
EF 平面VKB
B
例2:如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，P 为 DD1 的中点，O为底面 ABCD 的中心。 求证：B1O 平面PAC
. 证明：设AB 2
则AB1 CB1 2 2,又AO CO,
AA1//BB1, BB1//CC1, AA1//CC1, 四 边 形AA1C1C为 平 行 四 边 形 ， O,O1分别为AC, A1C1的中点， OO1//AA1,OO1 平面AC.
直线与平面垂直的判定方法：
1、利用定义：要证明一条直线垂直于平面，转化为 证明直线垂直于平面内的任意一条直线。
随堂检测
如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中， AC BD O, A1C1 B1D1 O.1 求证：OO1 平面AC
证明：在正方体ABCD A1B1C1D1中， AA1 AB, AA1 AD, AB AD A AB 平面AC, AD 平面AC, AA1 平面AC.