中考数学押题卷01(解析版)

中考数学押题卷01
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1． 32020
-的相反数是( ) A ．20203- B ．20203 C ．32020 D ．32020
- 【解答】解：32020-的相反数是：32020
． 故选：C ． 2． 2019年10月1日上午某时刻，在央视新闻观看70周年阅兵直播人数达到789，749，891人，用四舍五入法精确到百万位可以表示成( )
A ．87.9010⨯
B ．87.910⨯
C ．87.8910⨯
D ．779.010⨯
【解答】解：789 749 891按四舍五入法精确到百万位的近似值用科学记数法表示为87.9010⨯， 故选：A ．
3． 如图是由五个大小相同的正方体组成的几何体，从左面看这个几何体，看到的图形的( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：由图可得，从左面看几何体有2列，第一列有2块，第二列有1块，
∴该几何体的左视图是：
故选：D ．
4． 如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、看起来像轴对称图形但不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B ．
5． 一组数据4，5，6，4，4，7，x ，5的平均数是5.5，则该组数据的中位数和众数分别是(
)
A ．4，4
B ．5，4
C ．5，6
D ．6，7 【解答】解：数据4，5，6，4，4，7，x ，5的平均数是5.5，
(4564475)8 5.5x ∴+++++++÷=，
解得9x =，
按照从小到大的顺序排列为4，4，4，5，5，6，7，9排在正中间的是5，故中位数是5，
在这组数据中4出现了三次，次数最多，
∴众数是4．
故选：B ．
6． 下列计算正确的是( )
A B ．222a a a += C ．(1)x y x xy +=+ D ．236()mn mn =
【解答】解：A
B 、23a a a +=，故此选项错误；
C 、(1)x y x xy +=+，正确；
D 、2336()mn m n =，故此选项错误；
故选：C ．
7． 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12
BC 的长为半径作弧，两弧相
交于D 、E 两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连结CF ．若2AC =，CG =，则CF 的长为( )
A ．52
B ．2
C ．3
D ．7
2
【解答】解：由作图过程可知：
DE 是BC 的垂直平分线，
FG BC ∴⊥，CG BG =，
90FGC ∴∠=︒，
90ACB ∠=︒，
//FG AC ∴，
点G 是BC 的中点，
∴点F 是AB 的中点，
FG ∴是ABC ∆的中位线，
1
1
2122FG AC ∴==⨯=，
在Rt CFG ∆中，根据勾股定理，得
2CF ==．
答：CF 的长为2．
故选：B ．
8． 如图，//AB CD ，CP 交AB 于O ，AO PO =，若50C ∠=︒，则A ∠的度数为(
)
A ．25︒
B ．35︒
C ．15︒
D ．50︒
【解答】解：//AB CD ，CP 交AB 于O ，
POB C ∴∠=∠，
50C ∠=︒，
50POB ∴∠=︒，
AO PO =，
A P ∴∠=∠，
25A ∴∠=︒．
故选：A ．
9． 下列命题是真命题的是( )
A ．无限小数是无理数
B ．相反数等于它本身的数是0和1
C ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D ．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形
【解答】解：A 、无限小数不一定是无理数，故原命题是假命题；
B 、相反数等于它本身的数是0，故原命题是假命题；
C 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原命题是真命题；
D 、等边三角形是轴对称图形，故原命题是假命题；
故选：C ．
10． 把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本，如果每人分5本，则最后一个人分到的本数不足3本，则共有学生( )人．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．5或6
【解答】解：设学生有x 人，则本子共有(38)x +本，
根据题意得：0(38)5(1)3x x +--<， 解得：1562
x <， x 为正整数，
6x ∴=．即共有学生6人，
故选：C ．
11． 如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴是直线2x =-．关于下列结论：①0ab <；
②240b ac ->；③930a b c -+<；④40b a -=；⑤方程20ax bx +=的两个根为10x =，24x =-，其中正确
的结论有( )
A ．①③④
B ．②④⑤
C ．①②⑤
D ．②③⑤ 【解答】解：抛物线开口向下，
0a ∴<，
22b a
-=-， 4b a ∴=，0ab >， ∴①错误，④正确，
抛物线与x 轴交于4-，0处两点，
240b ac ∴->，方程20ax bx +=的两个根为10x =，24x =-，
∴②⑤正确，
当3x =-时0y >，即930a b c -+>，
∴③错误，
故正确的有②④⑤．
故选：B ．
12． 如图，矩形ABCD ，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 为EF 的中点，连接BG ，DG ，CG ．以下结论：①BE CD =；②180ABG ADG ∠+∠=；③BG DG ⊥；④若:2:3AB AD =，则313BGD DGF S S ∆∆=，其中正确结论的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解答】解：AE 平分BAD ∠，
45BAE ∴∠=︒，
ABE ∴∆是等腰直角三角形，
AB BE ∴=，45AEB ∠=︒，
AB CD =，
BE CD ∴=，
故①正确；
45CEF AEB ∠=∠=︒，90ECF ∠=︒，
CEF ∴∆是等腰直角三角形，
点G 为EF 的中点，
CG EG ∴=，45FCG ∠=︒，
135BEG DCG ∴∠=∠=︒，
在DCG ∆和BEG ∆中，
BE CD BEG DCG CG EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DCG BEG SAS ∴∆≅∆．
BGE DGC ∴∠=∠，
BGE DGC ∠=∠，
180ABG ADG ABC CBG ADC CDG ABC ADC ∴∠+∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒，
故②正确；
360BAD ABG ADG BGD ∠+∠+∠+∠=︒，
90BGD ∴∠=︒，
BG DG ∴⊥
故③正确；
:2:3AB AD =，
∴设2AB a =，3AD a =，
DCG BEG ∆≅∆，
BGE DGC ∠=∠，BG DG =，
90BGD ∠=︒，且BD =，
BG DG ∴=， 2211324
BDG S BG a ∆∴== 23934BDG S a ∆∴=
， 过G 作GM CF ⊥于M ，
CE CF BC BE BC AB a ==-=-=，
1122
GM CF a ∴==， 2111332224
DGF S DF GM a a a ∆∴==⨯⨯=， 239134DGF S a ∆∴=
， 313BDG DGF S S ∆∆∴=，
故④正确；
故选：D ．
二、填空题(本大共4小题，每小题3分，满分12分)
13． 因式分解：2425m -= ．
【解答】解：原式(25)(25)m m =+-，
故答案为：(25)(25)m m +-．
14． 在一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各2个，这些球除颜色外，没有任何区别．现从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
【解答】解：在一个不透明的袋子里装有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球各2个，
∴从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：2122224
=+++， 故答案为：14
．
15． 如图，直线AB 与双曲线(0)k y k x
=<交于点A ，B ，点P 是直线AB 上一动点，且点P 在第二象限，连接PO 并延长交双曲线于点C ．过点P 作PD y ⊥轴，垂足为点D ．过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ．若点A 的坐标为(1,3)-，点B 的坐标为(,1)m ，设POD ∆的面积为1S ，COE ∆的面积为2S ．当12S S >时，点P 的横坐标x 的取值范围为 ．
【解答】解：(1,3)A -在双曲线(0)k y k x
=<上， 133k ∴=-⨯=-．
点(,1)B m 在3y x
=-上， 3m ∴=-，
观察图象可知：当点P 与A 或B 重合时，12S S =，
当点P 在点A 的上方或点B 的下方时，12S S <，
当点P 在线段AB 上时，12S S >，
∴点P 的横坐标x 的取值范围为31x -<<-．
故答案为31x -<<-．
16． 如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在AD 上，且DE CD =，连接OE ，
12
ABE ACB ∠=∠，若2AE =，则OE 的长为 ．
【解答】解：如图，作CH BE ⊥于H ，EF BD ⊥于F ．设BE 与AC 的交点为G ．
则90HBC BCH BHC ∠+∠=∠=︒，
四边形ABCD 为矩形，
AD BC ∴=，AB CD =，90ABC BAD ∠=∠=︒，//AD BC ，AC BD =
90ABE CBH ∴∠+∠=︒，
ABE BCH ∴∠=∠，
12
ABE ACB ∠=∠， BCH GCH ∴∠=∠，
BH GH ∴=，BC CG =，CBH CGH ∠=∠，
设AB x =，则ED CD AB x ===，
2AE =，所以2AD AE ED x =+=+，
2CG CB x ∴==+，
//AD BC ，
AEG CBH CGH AGE ∴∠=∠=∠=∠，
2AG AE ∴==，
4AC AG CG x ∴=+=+，
在Rt ABC ∆中：222AB BC AC +=，
222(2)(4)x x x ∴++=+，解得16x =，22x =-（舍)，
6AB CD ∴==，8AD AC ==，10AC BD ==， AC 与BD 交于点O ，
5AO BO CO DO ∴====，
3sin 5AB EF BDA BD DE ∠===，4cos 5
AD DF BDA BD ED ∠===， 31855EF ED ∴==，42455
DF ED ==
241555
OF OD DF ∴=-=-= 在Rt EFO ∆中：
22222118325()()135525
OE OF EF =+=+==，
OE ∴=
三、解答题（本大题共7小题，共52分）
17． （5分）计算011|1|(3)()2cos602
π-----+︒ 【解答】解：原式1114(2)22
=-++-+⨯
3=． 18． （6分）先化简，再求值：222221(2)24x x x x x +++÷+-，其中x 的值从不等式组40210x x +>⎧⎨-⎩
的整数解中选取． 【解答】解：原式2222(2)(2)(2)(2)(1)x x x x x x x ++-+=++ 22
2(1)(2)(2)(2)(1)x x x x x x +-+=++ 2(2)x x
-=， 40210x x +>⎧⎨-⎩①②， 解①得：4x >-，
解②得：12
x ， 故不等式组的解集为：142x
-<， 当2x =-，1-，0时，分式无意义，
故当3x =-时，原式2(32)1033
⨯--==-． 19． （7分）随着生活水平的日益提高，人们越来越喜欢过节，节日的仪式感日渐浓烈，某校举行了“母亲节暖心特别行动”，从中随机调查了部分同学的暖心行动，并将其分为A ，B ，C ，D 四种类型（分别对应送服务、送鲜花、送红包、送话语）．现根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图．
请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）该校共抽查了多少名同学的暖心行动？
（2）求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数？
（3）若该校共有2400名同学，请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名？
【解答】解：（1）2025%80
÷=（人)，
答：该校共抽查了80名同学的暖心行动．
（2）
32 360144
80
︒⨯=︒，
答：扇形统计图中扇形B的圆心角度数为144︒．
（3）
32
2400960
80
⨯=（人)，
答：该校2400名同学中进行送鲜花行动的约有960名．
20．（8分）某超市购进一批水杯，其中A种水杯进价为每个15元，售价为每个25元；B种水杯进价为每个12元，售价为每个20元
（1）该超市平均每天可售出60个A种水杯，后来经过市场调查发现，A种水杯单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10个．为了尽量让顾客得到更多的优惠，该超市将A种水杯售价调整为每个m元，结果当天销售A种水杯获利630元，求m的值．
（2）该超市准备花费不超过1600元的资金购进A、B两种水杯共120个，其中B种水杯的数量不多于A 种水杯数量的两倍．请设计获利最大的进货方案，并求出最大利润．
【解答】解：（1）超市将A种水杯售价调整为每个m元，则单件利润为(15)
m-元，销量为[6010(25)](31010)
m m
+-=-个，依题意得：
(15)(31010)630
m m
--=，
解得：
122
m=，
224
m=，
答：为了尽量让顾客得到更多的优惠，22
m=．
（2）设购进A种水杯x个，则B种水杯(120)x
-个．设获利y元，
依题意得：
1512(120)1600 1202
x x
x x
+-
⎧
⎨
-
⎩
，
解不等式组得：
1 4053
3
x，
利润(2515)(120)(2012)2960
y x x x
=-+--=+．
20
>，
y
∴随x增大而增大，
当53
x=时，最大利润为：2539601066
⨯+=（元)．
答：购进A种水杯53个，B种水杯67个时获利最大，最大利润为1066元．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，点C坐标为(1,0)
-，
点A坐标为(0,2)．一次函数y kx b
=+的图象经过点B、C，反比例函数
m
y
x
=的图象经过点B．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）在x轴上找一点M，使得AM BM
+的值最小，求出点M的坐标和AM BM
+的最小值．
【解答】解：（1）过点B作BF x
⊥轴于点F，
点C坐标为(1,0)
-，点A坐标为(0,2)．
2
OA
∴=，1
OC=，
90
BCA
∠=︒，
90BCF ACO ∴∠+∠=︒，
又90CAO ACO ∠+∠=︒，
BCF CAO ∴∠=∠，
在AOC ∆和CFB ∆中
90CAO BCF AOC CFB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
()AOC CFB AAS ∴∆≅∆，
2FC OA ∴==，1BF OC ==，
∴点B 的坐标为(3,1)-，
将点B 的坐标代入反比例函数解析式可得：13
k =-， 解得：3k =-， 故可得反比例函数解析式为3y x =-； 将点B 、C 的坐标代入一次函数解析式可得：310k b k b -+=⎧⎨-+=⎩
， 解得：1212
k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 故可得一次函数解析式为1122
y x =--． （2）作点A 关于x 轴的对称点A '，连接B A '与x 轴 的交点即为点M ，
(0,2)A ，
(0,2)A ∴'-，
设直线BA'的解析式为y ax b
=+，将点A'及点B的坐标代入可得：
31
2
a b
b
-+=
⎧
⎨
=-
⎩
，
解得：
1
2
a
b
=-
⎧
⎨
=-
⎩
．
故直线BA'的解析式为2
y x
=--，
令0
y=，可得20
x
--=，
解得：2
x=-，
故点M的坐标为(2,0)
-，
AM BM BM MA BA
+=+'='
综上可得：点M的坐标为(2,0)
-，AM BM
+的最小值为．
22．（9分）四边形ABCD是O的内接四边形，AB AC
=，BD AC
⊥，垂足为E．（1）如图1，求证：2
BAC DAC
∠=∠；
（2）如图2，点F在BD的延长线上，且DF DC
=，连接AF、CF，求证：CF CB
=；
（3）如图3，在（2）的条件下，若10
AF=，BC=，求sin BAD
∠的值．
【解答】（1）证明：由圆周角定理得：DAC CBD
∠=∠，
BD AC
⊥，
90
AEB BEC
∴∠=∠=︒，
90
ACB CBD
∴∠=︒-∠，
AB AC
=，
90
ABC ACB CBD
∴∠=∠=︒-∠，
18022
BAC ABC CBD
∴∠=︒-∠=∠，
2BAC DAC ∴∠=∠；
（2）证明：DF DC =，
FCD CFD ∴∠=∠，
BDC FCD CFD ∴∠=∠+∠，
2BDC CFD ∴∠=∠，
BDC BAC ∠=∠，2BAC CAD ∠=∠， CFD CAD ∴∠=∠，
CAD CBD ∠=∠，
CFD CBD ∴∠=∠，
CF CB ∴=；
（3）解：AC BF ⊥，CF CB =， BE EF ∴=，
CA ∴垂直平分BF ，
10AB AF AC ∴===
设AE x =，10CE x =-，
在Rt AEB ∆中，222AB AE BE -=， 在Rt BEC ∆中，222BE BC CE =-， 2222AB AE BC CE ∴-=-， 4BC =
222210(10)x x ∴-=--，
解得6x =，
6AE ∴=，4CE =，
8BE ∴==， DAE CBE ∠=∠，
tan tan DAE CBE ∴∠=∠，
∴DE CE AE BE =，即4
68DE
=，
3DE ∴=，
在Rt AED ∆中，222AD AE DE =+
AD ∴，
过点D 作DH AB ⊥，垂足为H ，如图3所示：
ABD ∴∆的面积1122
AB DH BD AE ==， 11BD BE DE =+=， 11633105
BD AE DH AB ⨯∴===，
在Rt AHD ∆中，33
sin
DH BAD AD ∠=== 23． （9分）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，其中(3,0)A ，(1,0)B -，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，直线1y kx b =+经过点A ，C ，连接CD ．
（1）求抛物线和直线AC 的解析式：
（2）若抛物线上存在一点P ，使ACP ∆的面积是ACD ∆面积的2倍，求点P 的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使线段AQ 绕Q 点顺时针旋转90︒得到线段1QA ，且1A 好落在抛物线上？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把(3,0)A ，(1,0)B -代入2y x bc c =-++中，得93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩
，
∴23b c =⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为223y x x =-++； 当0x =时，3y =，
∴点C 的坐标是(0,3)，
把(3,0)A 和(0,3)C 代入1y kx b =+中，得11
303k b b +=⎧⎨=⎩ ∴113
k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线AC 的解析式为3y x =-+；
（2）如图1，连接BC ，
点D 是抛物线与x 轴的交点， AD BD ∴=，
2ABC ACD S S ∆∆∴=，
2ACP ACD S S ∆∆=，
ACP ABC S S ∆∆∴=，此时，点P 与点B 重合，
即：(1,0)P -，
过B 点作//PB AC 交抛物线于点P ，则直线BP 的解析式为1y x =--①， 抛物线的解析式为223y x x =-++②，
联立①②解得，10x y =-⎧⎨=⎩（是点B 的纵横坐标）或45x y =⎧⎨=-⎩
(4,5)P ∴-，
∴即点P 的坐标为(1,0)-或(4,5)-；
（3）如图2，①当点Q 在x 轴上方时，设AC 与对称轴交点为Q '，
由（1）知，直线AC 的解析式为3y x =-+， 当1x =时，2y =，
Q '∴坐标为(1,2)，
2Q D AD BD '===，
45Q AB Q BA ''∴∠=∠=︒，
90AQ B '∴∠=︒，
∴点Q '为所求，
②当点Q 在x 轴下方时，设点(1,)Q m ， 过点1A '作1A E DQ '⊥于E ， 190A EQ QDA '∴∠=∠=︒，
90DAQ AQD ∴∠+∠=︒，
由旋转知，1AQ A Q '=，190AQA '∠=︒， 190AQD A QE '∴∠+∠=︒，
1DAQ A QE '∴∠=∠，
1()ADQ QEA AAS '∴∆≅∆，
2AD QE ∴==，1DQ A E m '==-，
∴点1A '的坐标为(1,2)m m -+-+， 代入223y x x =-++中， 解得（舍)3m =-或0m =（舍)， 3DQ ∴=，
Q ∴的坐标为(1,3)， ∴点Q 的坐标为(1,2)和(1,3)-．。