2018-2019数学苏教版必修2 第1章1.2.4第二课时 两平面垂直 作业

2018-2019数学苏教版必修2 第1章1.2.4第二课时两平面垂直作业
[学业水平训练]
1.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，
如图所示，图中互相垂直的平面有
________对．
解析：∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，
∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，
AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，
∴平面AC⊥平面PAD，平面AC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，共5对．
答案：5
2.如图，四面体P-ABC中，PA＝PB
＝13，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC
＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.
解析：取AB的中点E，连结PE，PA＝PB，∴PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，连结CE，所以PE⊥CE.
∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，
答案：面面垂直的判定定理
5.平面四边形ABCD ，其中AB ＝AD ＝1，BC ＝CD ＝2，AB ⊥AD ，沿
BD 将△ABD 折起，使得AC ＝1，则
二面角A -BD -C 的平面角的正弦值为________． 解析：取BD 中点E ，连结AE ，CE .
∵AB ＝AD ，BC ＝CD ，
∴AE ⊥BD ，CE ⊥BD ，
∴∠AEC 为二面角A -BD -C 的平面角． △DAB 中，AB ＝AD ＝1，AB ⊥
AD ，
∴AE ＝22
. △BCD 中，BC ＝CD ＝2， BD ＝2，
∴CE ＝62
.又AC ＝1， ∴△AEC 中，AE 2＋AC 2＝CE 2，∠EAC ＝90°.
∴sin ∠AEC ＝AC EC ＝26＝63
. 答案：63
6．如图，把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，这时顶点A 到BC 的距
离是________．
解析：在翻折后的图形中，∠BDC 为二面角B －AD －C 的平面角，即∠BDC ＝60°，AD ⊥平面BDC .
过D 作DE ⊥BC 于E ，连结AE ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC ，所以AE 即为点A 到BC 的距离．易知，AD ＝32a ，△BCD 是边长为a 2
的等边三角形，所以DE ＝34
a ，AE ＝AD 2＋DE 2＝154
a . 答案：154
a 7．如图所示，四边形ABCD 是平行
四边形，直线SC ⊥平面ABCD ，E 是
SA 的中点，求证：平面EDB ⊥平面
ABCD .
证明：连结AC ，交BD 于点F ，连结EF ， ∴EF 是△SAC 的中位
线，
∴EF ∥SC .
∵SC ⊥平面ABCD ，
∴EF⊥平面ABCD.
又EF⊂平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD.
8.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC
是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△
PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，
∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC.
又BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB.
∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
[高考水平训练]
1．如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE 将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE.则平面ABC与平面ACD
的关系是________．
解析：∵AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，且
平面ADE∩平面BCDE＝DE，
∴AD⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE，
∴AD⊥BC.又BC⊥CD，CD∩AD＝D，
∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ACD.
答案：垂直
2.如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．
解析：如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD
⊥β，垂足为D，连结CD、BD.
由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，
∠ABD即为AB与平面β所成的角．
设AC ＝a，则AB＝2a，AD＝3
2a，
∴sin∠ABD＝
3
2a
2a
＝3
4.
答案：
3 4
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．
(1)如果二面角A-DE-C是直二面角，求证：AB ＝AC；
(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE. 证明：(1)过点A作AM⊥DE于
点M，
则AM⊥平面BCDE，
∴AM⊥BC.又AD＝AE，
∴M是DE的中点，取BC中点N，连结MN，AN，
则MN⊥BC.
又AM⊥BC，AM∩MN＝M，
∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.
又∵N是BC的中点，∴AB＝AC.
(2)取BC的中点N，连结AN，
∵AB＝AC，∴AN⊥BC.
取DE的中点M，连结MN，AM，∴MN⊥BC.
又AN∩MN＝N，
∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.
又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.
又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，
∴AM⊥平面BCDE.
∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.
4.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD是边长为a的菱形，∠
DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．解：(1)证明：如图所示，设G为AD的中点，连接PG，BG，∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形ABCD中，∵∠BAD＝60°，
G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又∵BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
设F为PC的中点，则在△PBC中，FE∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE.
∵FE⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD.。