(全优试卷)版湖南师大附中高一下学期末考试 数学 Word版含答案

湖南师大附中2015－2016学年度高一第二学期期末考试数学试题－(这是边文，请据需
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湖南师大附中2015－2016学年度高一第二学期期末考试
数 学
命题：湖南师大附中高一数学备课组 时量：120分钟 满分：150分
得分：____________
第Ⅰ卷(必考部分：100分)
一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a>b>0，c>d>0，则 A .
a
d <b c B .a d ≤b c C .
a d
>b c
D .a d
≥b c
2．已知cos (π＋A)＝－1
2，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A 的值是
A ．－12
B .12
C ．－32
D .3
2
3．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若a －2b ＋3c ＝0，则c ＝ A.⎝⎛⎭⎫1，83 B.⎝⎛⎭⎫133，83 C.⎝⎛⎭⎫133，43 D.⎝⎛⎭⎫－133
，－43 4．已知数列{n 2
n 2＋1
}，则0.98是它的
A ．第7项
B ．第8项
C ．第9项
D ．第10项
5．△ABC 中， 角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c, 若c
b <cos A, 则△ABC 为
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
6．若将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π
12个单位长度，则平移后图象的对称轴为
A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z )
B ．x ＝k π2＋π
6(k ∈Z )
C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )
D ．x ＝k π2＋π
12
(k ∈Z )
7．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从M 点测得A 点的俯角∠NMA ＝30°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°；已知山高BC ＝200 m ，则山高MN ＝
A ．300 m
B ．200 2 m
C ．200 3 m
D ．300 2 m
8．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －2≥0，
x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0
表示的平面区域的面积为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
9．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝35，cos C ＝5
13，
a ＝1，则
b ＝
A.1321
B.21
13 C.1113 D.1311
10．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－x )<0的解集是
A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B ．(－3，1)
C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
D ．(－1，3)
11．正项数列{}a n 满足：a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n a n －1＝a n －a n ＋1a n a n ＋1
(n ≥2)，则此数列的第2 016
项为
A.122 015
B.122 016
C.12 016
D.1
1 008
答题卡
二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在对应题号的横线上． 12．若定义在()0，＋∞上的函数f (x )＝2x ＋a
x 在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．
13．已知a >0，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则
a ＝______．
三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14．(本小题满分11分)
已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝()1，－3，m ⊥n ，且A 为锐角． (1)求角A 的大小；
(2)求函数f (x )＝3(cos 2x －sin 2x )＋4cos A sin x cos x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
2的值域．
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a2＋b2－c2＝4S△ABC.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2，求a－
2
2b的取值范围．
已知等比数列{a n }满足a 2＋a 3＝43，a 1a 4＝1
3，公比q <1.
(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项和；
(2)设b n ＝1
2－log 3a n
，数列{b n b n ＋2}的前n 项和为T n ，若对于任意的正整数，都有T n <m 2
－m ＋3
4
成立，求实数m 的取值范围．
第Ⅱ卷(选考部分：50分)
一、选择题：本大题共1小题，每小题1分，共5分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
17．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 015＋a 2 016>0，a 2 015·a 2 016<0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是
A ．1 007
B ．1 008
C ．2 015
D ．2 016
答题卡
二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分，把答案填在对应题号的横线上． 18．已知cos ⎝⎛
⎭⎫π4－α＝35，sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋β＝－12
13，α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，β∈⎝
⎛⎭⎫0，π4，则sin(α
＋β)＝________．
19．设O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，点P 是线段AB 上的一个动点，AP →＝λAB →，若OP →·AB →
≥P A →·PB →，则实数λ的取值范围是______．
三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．(本小题满分11分)
已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，
⎭
⎫|φ|<π
2的部分图象如图所示．
(1)求函数的解析式； (2)设
112π<x <11
12
π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围和这两
个根的和．
某生产旅游纪念品的工厂，拟在2 017年度进行系列促销活动．经市场调查和测算，该纪念品的年销售量x(单位：万件)与年促销费用t(单位：万元)之间满足3－x与t＋1成反比例．若不搞促销活动，纪念品的年销售量只有1万件．已知工厂2 017年生产纪念品的固定投资为3万元，每生产1万件纪念品另外需要投资32万元．当工厂把每件纪念品的售价定为“年平均每件生产成本的1.5倍”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，则当年的产量和销量相等．(利润＝收入－生产成本－促销费用)
(1)请把该工厂2 017年的年利润y(单位：万元)表示成促销费t(单位：万元)的函数；
(2)试问：当2 017年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？
设T n 是数列{a n }(a n ≠1)的前n 项之积，满足T n ＝1－a n ，n ∈N *.
(1)求证：数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
11－a n 是等差数列；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)设S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2
n ，求证：a n ＋1－12<S n <a n ＋1－13.
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湖南师大附中2015－2016学年度高一第二学期期末考试
数学参考答案 第Ⅰ卷(必考部分：100分)
一、选择题
5.A 【解析】依题意得sin C sin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，
即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0. 又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形.
6．C 【解析】由题意， 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π12个单位得y ＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π
12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6，则平移后函数的对称轴为2x ＋π6＝k π，k ∈Z, 即x ＝k π2－π12，k ∈Z, 故选
C.
7．A 【解析】在△ABC 中，∵∠BAC ＝45°，∠ABC ＝90°，BC ＝200 m ， ∴AC ＝200
sin 45°
＝200 2 m ，在△AMC 中，∵∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，
∴∠AMC ＝45°，由正弦定理可得AM sin ∠ACM ＝AC
sin ∠AMC ，
即
AM sin 60°＝2002
sin 45°
，
解得AM ＝200 3 m ，在Rt △AMN 中，MN ＝AM ·sin ∠MAN ＝2003× sin 60°＝300(m)．
8
．B 【解析】画出不等式组表示的平面区域如下： 易求得面积为4.
9．B 【解析】因为△ABC 为锐角三角形， sin A ＝35， cos C ＝513， 所以cos A ＝45，
sin C ＝1213， 于是： sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝63
65
.
又由a sin A ＝b sin B ， 知b ＝a sin B sin A ＝2113
.选B.
10．C 【解析】由题意， 不等式f (x )>0的解集是(－1，3), 所以f (x )<0的解是： x >3或x <－1, 于是由f (－x )<0得： －x >3或－x <－1，
∴x <－3或x >1.选C.
11．D 【解析】由a n －1－a n a n a n －1＝a n －a n ＋1a n a n ＋1
知， 1a n －1a n －1＝1a n ＋1－1a n ， 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数
列， 于是1a n ＝12＋(n －1)×12＝n 2， 所以a n ＝2n ， 于是a 2 016＝1
1 008
，选D.
二、填空题
12．18 【解析】易知a >0，所以f (x )＝2x ＋a x
＝2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x ＋a 2x ≥4
a
2
，当x ＝a
2
时取最小值，所以
a
2
＝3⇒a ＝18.
13.1
2 【解析】画出可行域如图，由于z ＝2x ＋y 与x 、y 均正相关，因此直线2x ＋y ＝z 在x 轴上截距最小时，z 取得最小值为1，此时，直线2x ＋y ＝1应经过x ＝1与y ＝a (x －3)的公共点A ，该点坐标为A (1，－1)，故a ＝1
2
.
三、解答题
14．【解析】(1)由m ⊥n 可得，m ·n ＝0, 即sin A －3cos A ＝0, 从而有 tan A ＝ 3.
又因为A 为锐角， 所以∠A ＝60°. (5分) (2)f (x )＝3cos 2x ＋2sin x cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3，
因为0≤x ≤π2， 所以π3≤2x ＋π3≤4π3， 于是－3
2≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1,
从而－3≤f (x )≤2，故函数f (x )的值域为[]－3，2. (11分)
15．【解析】(1)由a 2＋b 2－c 2＝4S △ABC 得： a 2＋b 2－c 2＝4×1
2ab sin C ＝2ab sin C .
即a 2＋b 2－c 22ab ＝sin C, 从而有： tan C ＝1, 又因为角C 为△ABC 的内角，所以∠C ＝45°.
(6分)
(2)由正弦定理得：
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C ＝22
2
＝2， 所以a －
22
b ＝2sin A －2sin B ＝2sin A －2sin ⎝⎛⎭⎫34π－A ＝sin A －cos A ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫A －π4， 又因为0<A <3
4π， 所以－π4<A －π4<π2，
所以－1<2sin ⎝
⎛⎭⎫A －π4<2，故a －2
2b 的取值范围是()－1，2.(12分)
16．【解析】(1)由题设知， a 2a 3＝a 1a 4＝13，又因为a 2＋a 3＝4
3，q <1, 解得： a 2＝1，a 3
＝13， 故a n ＝3⎝⎛⎭⎫13n －1＝32－n, 前n 项和S n ＝92－12·3
n －2. (6分)
(2)因为b n ＝12－log 3a n ＝12－（2－n ）＝1n ，
所以b n b n ＋2＝1n （n ＋2）＝12⎝⎛⎭⎫1
n －1n ＋2，
所以T n ＝b 1b 3＋b 2b 4＋b 3b 5＋…＋b n b n ＋2
＝1
2⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1 ＋
⎦⎤⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2＝
12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<34，
故要使T n <m 2－m ＋34恒成立， 只需34≤m 2－m ＋3
4
， 解得m ≤0或m ≥1.(12分)
第Ⅱ卷(选考部分：50分)
一、选择题 17．C 二、填空题 18.56
65 19．1－
2
2
≤λ≤1 三、解答题
20．【解析】 (1) 显然A ＝2, 又图象过(0, 1)点， ∴f (0)＝1, ∴sin φ＝1
2， ∵|φ|<π2， ∴φ＝π6；
由图象结合“五点法”可知，⎝⎛
⎭⎫
11π12，0对应函数y ＝sin x 图象的点(2π，0)，
∴ω·11π12＋π6
＝2π， 得ω＝2.
所以所求的函数的解析式为： f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6.(5分)
(2)如图所示， 在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6和y ＝m (m ∈R )的图象，
由图可知， 当－2<m <0或3<m <2时， 直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点， 即原方程有两个不同的实数根. ∴m 的取值范围为： －2<m <0或3<m <2;
当－2<m <0时， 两根和为4π3； 当3<m <2时， 两根和为π
3.(11分)
21．【解析】(1)设反比例系数为k (k ≠0)．由题意有3－x ＝k
t ＋1.
又t ＝0时， x ＝1, 所以 3－1＝k
0＋1， k ＝2,
则x 与t 的关系是x ＝3－2
t ＋1
(t ≥0),
依据题意， 可知工厂生产x 万件纪念品的生产成本为(3＋32x )万元， 促销费用为t 万元，
则每件纪念品的定价为⎝⎛
⎭⎫3＋32x x
×1.5＋t
2x 元/件，
于是y ＝x ·
⎝⎛⎭⎫3＋32x x
×1.5＋t 2x －(3＋32x )－t, 进一步化简， 得 y ＝992－32t ＋1－t
2
(t ≥0).
因此工厂2017年的年利润为y ＝992－32t ＋1－t
2 (t ≥0). (6分)
(2)由(1)知， y ＝992－32t ＋1－t 2 (t ≥0)＝50－⎝ ⎛⎭
⎪⎫32t ＋1＋t ＋12≤50－
2
32t ＋1·t ＋1
2
＝42, 当且仅当32t ＋1
＝t ＋1
2， 即t ＝7时取等号，
所以当2017年的促销费用投入7万元时， 工厂的年利润最大， 最大利润为42万元．(12分)
22．【解析】(1)易知T 1＝a 1＝1
2，T n ≠0，a n ≠1，
且由T n ＋1＝1－a n ＋1，T n ＝1－a n ，得：
a n ＋1＝T n ＋1T n ＝1－a n ＋11－a n ，即a n ＋11－a n ＋1＝11－a n ，即11－a n ＋1－11－a n
＝1.
∴数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
11－a n 是首项为2，公差为1的等差数列．(4分)
(2)由(1)得：
11－a n ＝11－a 1
＋n －1＝11－
12
＋n －1＝n ＋1，
故a n ＝1－1n ＋1＝n
n ＋1.(8分)
(3)由(2)得T n ＝a 1a 2…a n ＝1
n ＋1.
一方面，
S n ＝122＋132＋…＋1（n ＋1）2>12·3＋13·4＋…＋1（n ＋1）（n ＋2）＝12－1n ＋2＝a n ＋1－12； 另一方面，
S n <122－14＋132－14＋…＋1（n ＋1）2－14＝132·52＋152·72＋…＋1（n ＋12）（n ＋32）＝23－1n ＋32.
又23－1n ＋32<23－1n ＋2＝n ＋1n ＋2－13＝a n ＋1－1
3. 所以a n ＋1－12<S n <a n ＋1－1
3.(12分)。