量子自动机.

量子自动机及其应用
1 背景
当今,计算机技术日新月异,芯片的集成度不断提高,计算速度成指数式提高,据此,摩尔给出了一条不精确的经验性定律:计算机的计算速度每18个月就翻一翻按照此定律,鞋片上的集成电路最终会小到一个极限,此时微粒的波粒二象性将变得十分显著,电路不再服从经典力学规律,而服从量子力学规律.为此,人们提出了量子计算与量子计算机的思想。

20世纪80年代初，Benioff和Feynman首先提出了量子计算机的构想。

其后，Deutsch将他俩的思想形式化并引入了量子Turing机的概念，在1994年以后,量子计算的研究日益活跃。

并提出了量子并行操作技术。

在1936 年,Birkhoff 和von Neumann提出了量子逻辑.它源于量子力学的形式化。

由于量子力学系统可由Hilbert 空间的闭子空间来描述，而Hilbert 空间的所有闭子空间构成正交模格，有些文献定义量子逻辑为正交模格，将量子逻辑定义为完备的正交模格值逻辑，从而提出了基于量子逻辑的自动机理论，即l值自动机(量子自动机）。

量子自动机是量子计算机的数学模型，对研究量子计算机有理论义。

2 知识储备
2.1希尔伯特空间理论
定义1 设X是复线性空间,如果对X中任何两个向量x,y,有一复数<x,y>与之对应,并且满足下列条件:
因此，可以设X是一个内积空间，并且由内积导出的范数完备，则称X为希尔伯特(Hilbert)空间。

2.2 格论基础
定义2 设P是一个集合，P上的二元关系≤叫做一个偏序关系,如果满足:
自反性：a≤a，(∀a ∈P);
反对称性：a≤b，b≤a => a = b，( ∀a,b ∈P);
传递性：a≤b，b≤c => a ≤c，(∀a, b, c ∈P);
这时称(P, ≤）为一个偏序集。

给定一个偏序集P,则对于∀a, b∈p,只可能存在四种关系：
(1)a < b，(2) b < a；(3) a = b；(4)a与b不可比较。

定义3 若偏序集(P,≤)的最大元存在,叫做P的单位元,用I表示,若偏序集(P,≤)的最小元存在,叫做P的零元,用O表示,I O统称为P的泛界。

定义4 设(L,≤)是一个偏序集,如果任意两元x, y都有上确界xVy 和下确界x∧y,则称偏序集(L,≤) 为一个格。

定义5 设格(L,≤)具有泛界I和O，x，y∈L，x∧y = O，xVy = I，则称y是x的一个补元。

性质：在格(L,≤)中,对任意x，y，z∈L有：
例：图1为由四个元素构成的最简单的分配格：
2.3 量子计算机
量子计算机是以量子器件为硬件支持，能够实现量子计算的量子信息处理工具。

是进行量子计算的设备，其计算过程由算法决定，不同的算法有不同的酉变换。

量子计算机的计算过程与量子程序的执行过程一致，如图2所示，图中的U i（i=1,2，...，n）均为酉变换。

量子计算机具有经典计算机所无法比拟的高速并行计算能力
图2 量子计算机的计算过程
一般认为，量子计算机的物理实体应由两部分组成：量子部分和经典部分。

由于量子计算的效力主要表现在对数据的强大处理能力，一般倾向于由量子部分处理数据而由经典部分处理控制。

也就是用经典的计算机来控制量子设备对量子位进行操作。

这样的组织结构主要考虑到量子计算机实现的工程问题（多量子位联合参与控制与计算非让困难性）。

图3给出了一个简单的量子计算机的控制示意图。

由于量子计算的测量结果是概率性的，需要计算和测量多次，才能得到所需的结果。

图3 量子计算机的控制
由图3可知，经典计算机与量子计算机在计算开始之前和结束之后需要进行信息的交互，在这两个时刻由于量子计算机中的量子位的状态处于稳定的基态（或尚未形成叠加态，或已经过测量而处于坍缩），因此，这样的组织结构并不破坏量子计算机的封闭性。

量子并行是量子计算机的特点，对于串行计算，量子计算机并不具有优势。

在通用的量子计算机出现之前，量子计算机适合于作为经典通用计算机的高速协处理器或者外围专用处理机，或专门为实现某种量子算法或模拟某种量子量子系统的专用计算机。

目前研究的量子计算机原则上都是连接在经典通用计算机上的专用处理机，它的程序设计语言是在通用计算机的程序设计语言中增加一些支持量子计算的成分。

量子计算机的构造：
通用量子图灵机是一个抽象的理论模型,那么如何实现这种通用量子计算机呢?经典计算机是由以与非门构成的电子网络来近似图灵机的。

因此构造量子计算机的任务自然也归结到建立一个由量子逻辑门构成的网络。

量子门网络由“源、线、门”三部分构成,如图4所示。

(a)源—能够提供处于标准态的量子比特,如两能级原子态,光子偏振态,自旋1/2粒子的量子态等。

(b)线—能够实现单位变换,把量子态|j i>从某处转移到另一处,这实际上是理想的量子通道。

(c)量子逻辑门—能够对输入的量子比特进行操作,这实际是具有某特定功能的量子信息处理器,其输出为|j>out=U|j>in,幺正变换U描述该逻辑门的功能。

图4 量子网络
Deutsch证明能够采用一种通用量子逻辑门来实现量子网络,我们称之为D门。

其后他发现几乎所有的三比特量子逻辑门都是通用逻辑门。

接着A.Barenco和D.Divincenzo各自独立地证明了可用两比特的量子逻辑门来构造D门。

后来,Deutsch和S.Leoyd又各自证明,几乎所有的两比特门都是通用的。

最近Barenco等人给出一个最新结果,他们用一个对两比特操作的受控非门和对单个比特进行任意操作的量子门构成了一个通用量子门集。

因此,为建造量子计算机,实验物理学家只需要寻找实现对一个量子比特进行任意操作和对两个量子比特的受控非(又称异或)操作。

前一类操作在量子光学中已经解决了:应用Ram-sy场可以将二能级原子制备到任意态上,或者利用其它量子态工程的方法将两能态体系制备到所需要的量子态上。

于是如何实现量子受控非门便成为量子计算机成功与否的关键。

3 量子自动机
3.1 量子自动机的概念
量子逻辑是指真值为完备正交模格的逻辑,也称为正交模格值逻辑。

定义6 正交格是七元组l = (L，≤，∧，∨，⊥，0，1)，其中：
1) l = (L，≤，∧，∨，0，1) 是完备格
2) 一元运算⊥是L 上的正交补，对任意的a, b ∈L，满足
如下条件：(i) a ∧a⊥= 0，a ∨a⊥= 1；
(ii) a⊥⊥= a；
(iii) a ≤b 蕴含b⊥≤a⊥。

定义7 设l = (L，≤，∧，∨，⊥，0，1)为正交格，a，b ∈L，若a = (a ∧b) ∨(a ∧b⊥)，则称a 和b 是可换的，记作aCb。

一个正交模格就是满足如下正交模律的正交格，对任意的a, b ∈L，有：
(iv) a ≤b 蕴含a ∨(a⊥∧b) = b。

定义8 设l = (L，≤，∧，∨，⊥，0，1)是一个完备的正交模格，Σ是一个有限字母表,定义在Σ上的量子自动机(l-自动机)是一个四元组R=<Q，I，T，δ>，其中:
1)Q是有限状态集；
2)I⊆Q是有限初始状态集；
3)T⊆Q是有限终止状态集；
4)δ是Q×Σ×Q的正交模格值子集，即从Q×Σ×Q到L中的映射,为R的正交模格值转移函数.∀p，q∈Q，σ∈Σ，
δ(p，σ，q)表示输入σ使得状态p转化为状态q这一命题的真值。

3.2 量子自动机的分类
经典自动机可以分为很多种，包括有限自动机、下推自动机、图灵机等等。

同样基于量子的自动机种类也有很多种，例如，量子有限自动机、量子Mealy自动机、量子Moore自动机、基于量子逻辑的下推自动机、基于量子逻辑的图灵机、基于量子逻辑的Biichi自动机、基于量子逻辑的Muller自动机等等。

量子有限自动机：基于量子逻辑的有穷自动机(也称正交模格值有穷自动机)，根据其转移关系δ是否为确定的，可分为两大类：（1）确定型量子自动机(l −DFA)，（2）非确定型量子自动机(l −NFA)。

再根据初始状态和终状态是否为分明的，l −DFA可分为三类，l −NFA可分为四类。

根据I 和T 是否为分明的，l −NFA R = (Q,Σ,δ,I,T)可分为以下四类：1) l −NF A1，初始状态I 和终状态T 都是l-值子集；2) l −NF A2，初始状态I = q0∈Q，终状态T 是l-值子集；3) l −NF A3，初态I 是l-值子集，终状态T = F ⊆Q是分明集合；4) l −NF A4，初始状态I = q0
∈Q 和终状态T = F ⊆Q 都是分明集合。

设R = (Q，Σ，δ，I，T) ∈A(Σ，l)，若对任意的q ∈Q，σ∈Σ，存在唯一的p ∈Q，使得δ(q，σ，p) = 1，则称R为确定型量子有穷自动机，简记为l −DFA。

根据I 和T 是否为分明的，l −DFA R = (Q，Σ，δ，I，T)可分为以下三类：1) l −DF A1，初始状态I = q0∈Q，终状态T 是l-值子集；2) l −DF A2，初始状态I 是l-值子集，终状态T = F ⊆Q 是分明集合；3) l −DF A3，初始状态I 和终状态T 都是l-值子集。

与传统有限自动机的区别：定义：有限自动机M=(Q，Σ，δ，q0，F，)，其中，
Q 是状态的非空有穷集合。

∑输入字母表δ是状态转移函数，δ：Q×Σ→Q，q0 初始状态F终止状态集合。

性质：量子力学中的Hilbert 空间的所有闭子空间以及投影本身可能不满足分配律,而是满足正交模律。

量子自动机中状态转移的可能性的大小是Hilbert空间的一个闭子空间。

识别语言：经典有限自动机只能识别正则语言。

经典的有穷自动机一般由状态集、输入字母表和一个转移关系构成，当输入一个字符之后,由转移关系决定状态的转移。

量子有穷自动机的状态集一般由有穷个状态的任意次叠加构成,而每次状态的转移有一个转移幅度(amplitude)。

下面对量子图灵机进行介绍：
定义9一个基于量子逻辑的图灵机(简称为量子图灵机，记为l-VTM)是一个七元组：
M=(Q，Σ，Γ，δ，I，B，F)，其中，Q为有限状态集合；I，
F:Q→l为Q的l-值子集，代表初始状态与接受状态，任意q∈Q,I(q)表示命题“q为初始状态”的真值，F(q)表示命题“q为终状态”的真值；Γ为有限带符号表；B∈Γ称为空白符；Σ⊆Γ-{B}为有限输入字母表，除了空白符B之外，只有Σ中的符号才能在M启动时出现在输入带上；δ是Q×Γ×Q×Γ×{L，R}上的一个l-值子集，即δ：Q×Γ×Q×Γ×{L，R}→l，称δ为l-值转移函数或量子转移函数, p，q∈Q，x，x′∈Γ,δ(q,x,q′,x′,d)表示命题“M在状态q读入符号x，状态改为q′，并在x所在的带方格中印刷符号x′然后将读头向左(当d=L)或向右(当d=R)移动一格”的真值。

一些符号与说明：
(1)描述l-VTMM所识别的逻辑语言的原子命题有如下3类:
“q为初始状态”,记为“q∈I”；
“q为终状态”,记为“q∈F”；
“M在状态q读入符号x,状态改为q′，并在x所在的带方格中印刷符号x′然后将读头向左(当d=L)或向右(当d=R)移动一格”,记为“(q，x，q′，x′，d)∈δ”。

上述命题的真值分别为I(q)，F(q)，δ(q，x，q′，x′，d)。

我们把描述l-VTMM所识别的逻辑语言的原子命题全体之集记作atom(M)，即atom(M)={“q∈I”：q∈Q}∪{“q∈F”：q∈Q}∪{“(q,x,q′,x′,d)∈δ”：p，q∈Q，x，x′∈Γ}。

(2)设Σ= ∪∞n=0Σn表示Σ上所有长度有限的串的集合.则Σ是由Σ通过连接运算生成的自由幺半群. 任意ω∈Σ*，用ω
表示ω的长度，空串ε的长度为0。

(3)一个Σ上的l-值语言(也称为量子语言)是Σ*的一个l-值子集.΢上的所有l-值语言之集记作lΣ*={A |A:Σ*→l}。

设A，B∈lΣ*为两个Σ*上的l-值子集，下面定义两个语言A和B的并运算A∪B∈l΢＊，交运算A∩B∈lΣ*，连接运算A B∈lΣ＊和λ∈l与语言A的数乘运算λA: s∈Σ*,
s∈A∪B=def(s∈A∨s∈B)；
s∈A∩B=def(s∈A∧s∈B)；
s∈A B=def( u,v∈Σ*)(s=uv∧u∈A∧v∈B)；
s∈λA=defλ∧(s∈A)。

其对应的真值分别为
(A∪B)(s)=A(s)∨B(s)；
(A∩B)(s)=A(s)∧B(s)；
(A 。

B)(s)= ∨{A(u)∧B(v):u,v∈Σ*且s=uv}；
(λA)(s)=λ∧A(s)。

定义10设M是一个l-VTM，若I=q0∈Q，
l-值转移函数δ为从Q×Γ到P(Q×Γ×{L,R})的函数，即δ:Q ×Γ※P(Q×Γ×{L,R})，其中，P(X)表示集合X的所有子集构成的集合，也记为2X,F为Q的l-值子集，则称M为一个具有分明转移函
数的量子图灵机(简记为l-VTMc)。

进一步,若δ为Q×Γ到Q×Γ×{L,R}的一个部分函数,则称M为一个确定型量子图灵机(简记为l-VDTM)。

注意到这两种类型的量子图灵机只有接受状态是l-值子集。

和经典图灵机一样,我们定义l-VTMM的即时描述(ID)α1qα2,其中,α1,α2∈Γ＊,q∈Q.该即时描述表示:q为M的当前状态,α1和α2为M的输入带上的字符串,当α2≠ε时M的读头注视着α2的最左字符,当α2=ε时M的读头注视着空白符B。

令ID(M)=Γ＊×Q×Γ＊表示M的所有ID之集,我们定义ID(M)×ID(M)上的二元l-值关系(记作M)如下: D1,D2∈ID(M)，α，β∈Γ＊，x，y，z∈Γ，p，q∈Q，
例：设l是一个正交模格MO6(如图5),l-VTMc M=({q1,q2,q3,q4},{X1,X4},{X1,X2,X3,X4},δ,q1,B,{(q3,a2),(q4,1)}),其中,δ定义为:δ(q1,X1)={(q2,X2,D1),(q3,X1,D2)},δ(q2,X2)={(q3,X1,D1),(q4,X1,D1)},其它情况δ取值为0.则M的编码如下:
1110101021021011010103101021102102103
101011021021041010111.
输入X21X4=X1X1X4的编码如下:01010000。

编码〈M,ω〉为
111010102102101101010310102110210210310101102
102104101011101010000。

图6 正交模格MO6
4 量子自动机的应用
经典自动机的应用领域很广泛，在很多方面都有应用。

例如：有穷自动机在设备管理系统开发中的应用。

设备管理系统是对设备从购入到报废整个过程进行全面管理的计算机信息管理里系统。

设备在其使用过程的现状不断发生改变，因而使用设备管理具有很强的动态化特性。

如果在系统分析阶段不能对设备生命周期的状态变换过程做出准确、清晰的描述，将会导致运行阶段非法操作的出现，甚至会引起管理过程的混乱，造成同时设备信息的破坏。

因此，成功开发设备管理系统的关键在于对设备管理的全过程做出正确的分析和描述。

再如，图灵机可以应用到云计算中。

量子自动机在很多方面也有一定的
应用。

例如：量子自动机与元胞自动机自动机进行结合形成量子元胞自动机，从而产生量子元胞自动机器件，并根据其特点可以应用在很多电路上，尤其是存储单元结构。

5 总结
本文主要是在经典自动机的基础上研究了量子自动机相关的一些理论，并介绍了与量子自动机相关的一些知识。

从量子自动机的概念逐步向上追溯，由量子自动机的概念是一个七元格一级一级追溯到格的定义、离散数学中的偏序关系、希尔伯特空间理论以及量子计算机等。

加上对经典自动机的了解，可以清楚的看出量子自动机与经典自动机的区别与联系。

从而可以清晰的了解什么是量子自动机。

量子自动机是近十年研究比较多的一种自动机，是量子计算机的数学模型，对研究量子计算机有理论义。

是在物理和数学方面研究发明的。

量子自动机的分类有很多种，本文只简单的介绍了量子有限自动机和量子图灵机。

并简要说明了一些应用。

量子自动机是近些年比较热门的话题，相信后来会有更深入系统的研究。