高三数学第一次诊断性考试试题文试题

卜人入州八九几市潮王学校高中2021届高三第一次诊断性考试数学试题〔文〕
说明：
1．试卷分第I 卷和第II 卷。

将第I 卷的正确选项填在答题卡上，第II 卷用铅笔或者圆珠笔直接答在试卷上。

2．本套试卷总分值是150分，120分钟完卷。

第I 卷〔选择题一共60分〕
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有
一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

〕 1．记集合22{|4},{|30}M x x N x x x =>=-≤，那么N M =
〔〕 A ．{|23}x x <
≤ B ．{|02}x x x ><-或
C ．{|23}x x -<≤
D ．{|02}x x <
<
2．向量(1,2),(,4)a b x ==，假设||2||b a =，那么x 的值是
〔〕
A ．4
B ．2
C ．4±
D ．2±
3．在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a ⋅=+=，那么
15
5
a a =
〔〕
A ．3
B ．
13
C ．3或者
13
D ．133
--
或 4．a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么2
6a
a b +⋅等于
〔〕
A
．1+
B ．4
C ．3
D ．7
5．函数
cos()sin()23
y x x ππ
=++-具有性质
〔〕 A
，图象关于直线6
x π=
对称
B ．最大值为1，图象关于直线6
x π=
对称
C
，图象关于(,0)6
π
对称
D ．最大值为1，图象关于(
,0)6
π对称
6．函数
(0.5)(1),1()log 1a a
a x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上为减函数，那么a 的取值范围是
〔〕
A ．01a <<
B ．00.5a <
< C ．0.5a < D ．0.51a <<
7．x R ∈，且“2
log 2sin x θ=+〞，那么|1||10|x x ++-等于
〔〕
A ．29x -
B ．92x -
C ．11
D ．9
2:
23p x ≤≤5
:[2,]2
q x ∈，那么以下说法正确的选项是
〔〕
A ．p 是q 的充要条件
B ．p 是q 的充分不必要条件
C ．p 是q 的必要不充分条件
D ．p 是q 的既不充分也不必要条件
9．六个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有
〔〕
A ．480
B ．720
C ．240
D ．360
10．四边形ABCD 上各点在映射
:(,)(1,2)f x y x y →+的作用下的象集为四边形''''A B C D ，假设四
边形
''''A B C D 的面积为12，那么四边形ABCD 的面积为
〔〕
A ．9
B ．6 C
D ．12
11．符号函数
1,0sgn()0,0
1,0x x x x >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
，那么
32sgn(31)
y x x x =-++的大致图象是
〔〕 12．设函数
()(1)1
x
f x ax x x =+
>-，假设a 是从1，2，3三数中任取一个，b 是从2，3，4，5四数中任取一个，那么()f x b >恒成立的概率为
〔〕
A ．
16
B ．
14
C ．
34
D ．
56
第二卷〔非选择题一共90分〕
二、填空题〔一共4小题，每一小题4分，一共16分。

将答案填在题中横线上〕
13．某校高三有1000个学生，高二有1200个学生，高一有1500个学生，现按年级分层抽样，调查学生的
视力情况，假设高一抽取了75人，那么全校一共抽取了人。

14．5
(12)x -的展开式中按x 的升幂排列的第3项等于。

①假设
()f x 是定义在[—1，1]上的偶函数，且在[—1，0]上是增函数，[,]42
ππ
θ∈，那么
(sin )(sin )f f θθ>
②假设锐角,αβ满足cos sin ,.2
παβαβ>+<
则
③假设
2
()2cos 1,2x
f x =-那么()()f x f x π+=对x R ∈恒成立。

④要得到函数sin()24x y π=-的图象，只需将sin 2x y =的图象向右平移4
π
个单位。

16．
()f x 是定义在[-1，1]上的奇函数，且在[0，1]
上是增函数，那么y =
的
值域是。

三、解答题〔本大题一一共6小题，总分值是74分〕解容许写出文字说明及演算步骤。

17．〔本小题总分值是12分〕
函数
2()cos cos 1.f x x x x =++
〔1〕求
()f x 的最小正周期及单调递减区间；
〔2〕在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，假设
()2,1,f A b ==△ABC 求a 的值。

18．〔本小题总分值是12分〕
有混在一起的质地均匀且粗细一样的长分别为1，2，3的钢管各2根〔每根钢管有不同的编号〕。

现随意抽取3根〔每根钢管被抽取的可能性是均等的〕。

再将抽取的三根钢管首尾相接焊成笔直的一根。

〔不考虑焊接顺序〕 〔1〕求抽取的3根钢管中恰有两根长度相等的概率；
〔2〕求新焊成的钢管长度不超过6的概率〔不计焊接误差。

〕
19．〔本小题总分值是12分〕 在直角坐标系中，有三个点列
{},{},{},*,(,),(,),(1,0)n n n n n n n n A B C n N A n a B n b C n ∈-其中，满足1//n n n n A A B C +，
且点列
{}n B 在方向向量为〔1，6〕的直线上，11,.a a b a ==-
〔1〕用a,n 表示b n ；
〔2〕用a,n 表示a n 。

20．〔本小题总分值是12分〕
函数
22(),()()(,.)f x ax g x x a a b R =-=-∈
〔1〕当b=0时，假设
()f x 在(],2-∞上单调递减，求a 的取值范围；
〔2〕求满足以下条件的所有整数对〔a ，b 〕：存在
0x ，使得0()()f x f x 是的最大值，同时
0()()g x g x 是的最小值。

21．〔本小题总分值是12分〕
数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为,n d S 为其前n 项和，且满足2
*21,n n a S n N -=∈，
数列{}n b 满足：*211223,,1, 2.n n n b b b n N b b ++=+∈==
〔1〕求n a ； 〔2〕判断数列1{}n n b b ++是否是等比数列？证明你的结论；
〔3〕求和1122231()()().n
n n n T a b b a b b a b b +=++++
++
22．〔本小题总分值是14分〕 函数
32()6(1)11(0).'(1)0.f x ax bx a x a f =+--->-=又
〔1〕用a 表示b ； 〔2〕求()f x 的单调区间；
〔3〕
()f x 的图象上是否存在不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，使()f x 有过点00(,())M x f x 的
切线,//l l
AB 且？其中12
02
x x x +=。

假设存在，求出A ，B 的坐标；否那么，说明理由。