贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学(含解析)3

【题文】(本小题满分12分)
已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为
12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2
． （I ）求椭圆E 的方程；
（II ）直线2y kx =-与椭圆E 相交于A 、B 两点， O 为原点，在OA 、OB 上分别存在异于O 点的点M 、N ，使得O 在以MN 为直径的圆外，求直线斜率k 的取值范围． 【答案】（I ）依题意，可设椭圆E 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>． 由
222212,32
c a c b a c c a =⇒==-= ∵ 椭圆经过点3(1,)2，则22191412c c +=，解得21c = ∴ 椭圆的方程为22
143
x y += ··········································································································· 4' （II ）联立方程组222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩
，消去y 整理得22(43)1640k x kx +-+= ······························ 5' ∵ 直线与椭圆有两个交点，
∴ 22(16)16(43)0k k ∆=--+>，解得214
k >
① ················································· 6' ∵ 原点O 在以MN 为直径的圆外， ∴MON ∠为锐角，即0OM ON ⋅>u u u u r u u u r ．
而M 、N 分别在OA 、OB 上且异于O 点，即0OA OB ⋅>u u u r u u u r ······················································ 8'
设,A B 两点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，
则11221212(,)(,)OA OB x y x y x x y y ==+u u u r u u u r g g 21212(1)2()4k x x k x x =+-++
222416(1)
2404343k k k k k ==+-+>++ 解得243k <
， ② ························································· 11'
综合①②可知：11,,3223k ⎛⎫⎛∈-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
U 12'
【解析】
【标题】贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学（含解析）【结束】。