2021高考北师版(理科)数学一轮复习讲义： 第10章 第4节 随机事件的概率

第四节随机事件的概率
[考纲] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．
1．概率
(1)定义：在一样的条件下，大量重复进展同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)，有0≤P(A)≤1.
(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．
2．互斥事件与对立事件
(1)互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．
(2)对立事件：在每一次试验中，两个事件不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A和A称为对立事件．
3．概率的几个根本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率：P(A)＝1.
(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.
(4)互斥事件的概率加法公式：
①P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(A，B互斥)．
②P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)(A1，A2，…，A n彼此互斥)．
(5)对立事件的概率：P(A)＝1－P(A)．
1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)事件发生的频率与概率是一样的．( )
(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．( )
(3)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( ) (4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，那么甲中奖的概率小于乙中奖的概率．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，那么①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是对立事件的为( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
B [至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生，∴②中两事件是对立事件．]
3．(2021·天津高考)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是1
3，那么甲不输的概率为( )
A.56
B.25
C.16
D.13
A [事件“甲不输〞包含“和棋〞和“甲获胜〞这两个互斥事件，所以甲不输的概率为12＋13＝56.]
4．(2021·郑州调研)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，那么这两数之和等于4的概率是________.
【导学号：57962459】
1
3 [从A ，B 中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况，
其中和为4的有两种情况(2,2)，(3,1)， 故所求事件的概率P ＝26＝1
3.]
5．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶〞的经斥事件是________．(填序号)
①至多有一次中靶；②两次都中靶；③只有一次中靶；
④两次都不中靶
④
随机事件间的关系
(2021·中山模拟)从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是()
A．①B．②④C．③D．①③
C[从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数，
其中“至少有一个是奇数〞包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．
又①②④中的事件可以同时发生，不是对立事件．]
[规律方法] 1.此题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
2．准确把握互斥事件与对立事件的概念．
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件有且仅有一个发生．
[变式训练1]口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状一样的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的2球同色〞，B＝“取出的2球中至少有1个黄球〞，C＝“取出的2球至少有1个白球〞，D＝“取出的2球不同色〞，E＝“取出的2球中至多有1个白球〞．以下判断中正确的序号为________．
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C
＋E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．
①④[当取出的2个球中一黄一白时，B与C都发生，②不正确．当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，那么③不正确．显然A与D 是对立事件，①正确；C＋E为必然事件，④正确．由于B≠C，故P(B)≠P(C)，所以⑤不正确．]
随机事件的频率与概率
(2021·全国卷Ⅱ)某险种的根本保费为a(单位：元)，继续购置该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出
险次数
01234≥5保费 a a a a a 2a 出险
次数
01234≥5
频数605030302010
)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于根本保费但不高于根本保费的160%〞，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解](1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内
出险次数小于2的频率为60＋50
200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55. 4分
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一
年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30
200＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
8分
(3)由所给数据得
保费 a a a a a 2a 频率
10分a×0.30＋a×a×a×a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 12分[规律方法] 1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．
2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
[变式训练2](2021·西安质检)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进展统计，结果如下：
日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨
(1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨
．．．的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天
．．开场举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
[解](1)由4月份天气统计表知，在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，2分
以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率为26
30＝
13
15. 5
分
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对〞(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有
14个，所以晴天的次日不下雨的频率f＝14
16＝
7
8. 10分
以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为7
8. 12分
互斥事件与对立事件的概率
某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机
收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)． [解] (1)由题意，得⎩⎨⎧
25＋y ＋10＝100×55%，x ＋30＝45，
解得⎩⎨⎧
x ＝15，y ＝20.
2分
该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体，100位顾客一次购物的结算时间视为总体的一个容量为100的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计．
又x ＝
1××30＋2×25＋20×2.5＋10×3
100
＝1.9，
∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为1.9分钟.
5分
(2)设B ，C 分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为2. 5
分
钟、3分钟〞．设A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．〞
7分
将频率视为概率，得P (B )＝20100＝1
5， P (C )＝10100＝1
10.
∵B ，C 互斥，且A ＝B ＋C ，
∴P (A )＝P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝15＋110＝3
10， 10分
因此P (A )＝1－P (A )＝1－310＝7
10，
∴一位顾客一次购物结算时间不超过2分钟的概率为0.7.
12分
[规律方法] 1.(1)求解此题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用概率的事件表示出来．
(2)结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否那么会计算错误．
2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多〞“至少〞型问题，多考虑间接法．
[变式训练3]某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)P(A)，P(B)，P(C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解](1)P(A)＝
1
1 000，
P(B)＝
10
1 000＝
1
100，2分
P(C)＝
50
1 000＝
1
20.
故事件A，B，C的概率分别为
1
1 000，
1
100，
1
20. 5分
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖〞这个事件为M，那么M＝A＋B＋C.
∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝1＋10＋50
1 000＝
61
1 000，8分
故1张奖券的中奖概率约为
61 1 000.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖〞为事件N，那么事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖〞为对立事件，
∴P (N )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1
1 000＋1100＝9891 000，
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为989
1 000.
12分
[思想与方法]
1．对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．
2．对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生． 3．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难那么反)．
[易错与防范]
1．易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
2．正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是特殊的互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥〞是“对立〞的必要不充分条件．
3．需准确理解题意，特别留心“至多……〞“至少……〞“不少于……〞等语句的含义．。