矩阵的概念和运算
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7.2 矩阵的概念和运算
课题: 矩阵的概念和运算
目的要求: 1.知道零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵。
2.掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法及转置等概念。
3.会利用矩阵表示线性方程组
重点: 矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法 难点: 矩阵乘法 教学方法: 讲练结合 教学时数: 4课时 教学进程:
一、矩阵的概念
定义1 由m ×n 个数排成的m 行n 列数表⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛mn m m n n a a a
a a a a a a 2
1222
2111211称为一个m 行n 列矩阵,简称为m ×n 矩阵.其中a ij 表示第i 行第j 列处的元素,i 称为a ij 的行指标,j 称为a ij
的列指标.
矩阵通常用A ,B ,C …大写字母表示,若需指明矩阵的行数和列数常写为n m ⨯A 或
n m ij a A ⨯=)( .例如:⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=321210A 为一个2×3矩阵.
在以后的讨论中,还会经常用到一些特殊的矩阵,下面分别给出他们的名称:
元素全为零的矩阵称为零矩阵,记作n m 0⨯或0,如:
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⨯000002
2 ,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⨯00000003
2 . 当m =n 时,称A 为n 阶矩阵(或n 阶方阵).
只有1行(1×n )或1列(m ×1)的矩阵,分别称为行矩阵和列矩阵,
如:()n a a a 112
11 ,⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛12111n a a a .
若方阵n n ij a A ⨯=)(的元素a ij =0(i ≠j ),则称A 为对角矩阵,a ii (i =1,2,…,n )称为A 的对角元,如⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=5001A 为二阶对角矩阵. 对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵,n 阶单位矩阵记为I n .
形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛nn n n a a a a a a 000222
112
11、
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛nn n n a a a a a a
2
122
2111000
的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角
矩阵.
把矩阵A 的行与列依次互换,得到的矩阵T
A 称为矩阵A 的转置矩阵.即矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 2
1
2222111211的转置矩阵⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mn n n m m T
a a a a a a a a a A
212221212111
.一个m 行n 列矩阵
A 的转置矩阵T
A 是一个n 行m 列的矩阵.
定义2 如果两个m 行n 列的矩阵n m ij a A ⨯=)(,n m ij b B ⨯=)(的对应元素分别相等,即),,2,1;,2,1(n j m i b a ij ij ===那么就称这两个矩阵相等.
例1 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b a b a A 33,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=327d c d c B 而且A =B ,求a , b , c , d . 解 根据矩阵相等的定义,可得方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=--=+==+3
3237b a d c d c b a
解得a =5, b =2, c =2, d =-1,即当a =5, b =2, c =2, d =-1时A =B .
应当注意的是:矩阵与行列式是两个不同的概念,行列式是一个算式,计算结果是一个数,而矩阵是有数构成的一个数表;记法也不同,行列式用的是两条竖线,而矩阵用的是一对圆括号或中括号.
二、 矩阵的加法和减法
定义 两个m 行n 列的矩阵)(ij a A =与)(ij b B =相加(减),它们的和(差)为
)(ij ij b a B A ±=±.
显然,两个m 行n 列的矩阵相加(减)得到的和(差)仍是一个m 行n 列的矩阵.应注意,只有当两个矩阵的行数与列数分别相同时,它们才能作加减运算.
容易验证,矩阵的加法运算满足以下规律: (1)交换律:A +B =B +A ;
(2)结合律:(A +B )+C =A +(B +C ).
例2 已知⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛---=123214
42
0A 求A +A T 和A -A T . 解 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=+201026160124212340123214
42
0T
A A ;
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-047402720124212340123214420T
A A .
三、 数与矩阵相乘
定义 一个数k 与一个m 行n 列矩阵)(ij a A =相乘,它们的乘积为)(ij ka kA =,并且
规定Ak =kA .
例如,设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=134765A ,那么⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=268141210123242)7(262522A 四 矩阵与矩阵相乘
设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的计算机,月产量(单位:台)为
乙甲⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛271624182025III
II I ,如果生产这三种型号的计算机的每台的利润(单位:万元/台)为III II I ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛7.02.05.0,则这两家公司的月利润(单位:万元)应为乙甲⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯1.341.297.0272.0165.0247.0182.0205.025,可见,甲公司每月的利润为29.1万元,乙公司的利润为34.1万元.
矩阵与矩阵乘法的一般定义如下:
定义 设m ×p 矩阵p m ij a A ⨯=)(,p ×n 矩阵n p ij b B ⨯=)(,则由元素
),,2,1;,2,1(1
2211n j m i b a b a b a b a c p
K Kj iK pj ip j i j i ij ===+++=∑=构成的
m ×
n 矩阵n m ij c C ⨯=)(称为矩阵A 与B 的乘积,记为C =AB .
由定义可知:
⑴A 的列数必须等于B 的行数,A 与B 才能相乘;
⑵乘积C 的行数等于A 的行数,C 的列数等于B 的列数;
⑶乘积C 中第i 行第j 列元素C ij 等于A 的第i 行元素与B 的第j 列元素对应乘积之和,即pj ip j i j i ij b a b a b a c +++= 2211.
例3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123321A ,⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=221331B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2301D ,求AB ,AD .
解 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=2660211233213213231231233211AB ;
AD 无意义.
例4 已知⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=100010001,3332
31
232221
131211
I a a a a a a a a a A ,求AI 和IA .
解 ;1000100013332
31
2322
21
131211
3332
31
232221
131211A a a a a a a a a a a a a a a a a a a AI =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=
.1000100013332
31
2322
21
131211
3332
31
2322
21
131211A a a a a a a a a a a a a a a a a a a IA =⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 由上例可知,单位矩阵I 在矩阵的乘法中与数1在数中的乘法中所起的作用相似.
若两个矩阵A 与B 满足AB =BA ,则称A 与B 是可交换的. 由于矩阵乘法不满足交换律,所以在进行运算时,千万要注意,不能把左、右次序颠倒. 矩阵乘法满足如下运算规律: (1)结合律:(AB )C =A (BC );
(2)分配律:A (B +C ) =AB + AC ,(B +C ) A = BA + CA ; (3)k (AB )= (kA ) B =A (kB ),k 为任意常数.
例5 设⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=2141,3140B A ,验证A 与B 可交换. 证 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1028421413140AB ;
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1028431402141BA ,
因为AB =BA ,所以A 与B 可交换.
设A 为n 阶矩阵,则 个
k k
A A A =(k 为正整数)称为矩阵A 的k 次幂.矩阵A 的运算满足kl l k l k l k A A A A A ==+)(,(k ,l 为正整数),由于矩阵乘法一般不满足交换律,因此一般来说k k k
B A AB ≠)(.
例6 已知
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1331A ,求A 3. 解
;232322133113312
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=A .800813312323222
3⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==A A A 五、 利用矩阵表示线性方程组
对于线性方程组,22112222212111212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211,,,2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m n b b b B x x x X 根据矩阵乘法⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n mn m m n n x x x a a a a a a a a a AX 21212222111211,它是一个m 行一
列的矩阵,根据矩阵相等的定义可得,21221122221211212111⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++m n mn m m n n n n b b b x a x a x a x a x a x a x a x a x a 所以方程组可以用矩阵的乘法B AX =来表示.方程组中系数组成的矩阵A 称为系数矩阵,方程组中系
数与常数组成的矩阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211称为增广矩阵,记为A ~.
例7 利用矩阵表示线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++1432224323241432432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x .
解 设,1221,,14322143321443214321⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B x x x x X A 因为B AX =,所以方程组可表示为⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛1221143221433214
4321
4321x x x x .
小结本讲内容:强调1.矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法。
2.利用矩阵表示线性方程组。
作业: P221 1;2;3;4;5;6;7;8。