2013山东淄博中考数学

2013山东省淄博市初中学业考试
数学试题
（满分120分，考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题4分，
错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分.
1.（2013山东淄博，1，4分）9的算术平方根是（ ） A.3 B.±3 C.3 D.±3
【答案】C.
2.（2013山东淄博，2，4分）下列运算错误的是（ ）
A.2
2)()(a b b a --=1 B.b a b a +--=-1 C.b a b a b a b a 321053.02.05.0-+=-+ D.a
b a b b a b a +-=+- 【答案】D .
3.（2013山东淄博，3，4分）把一根长100cm 的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少5cm,则锯出的木棍的长不可能为（ ） A. 70cm B. 65cm C.35cm D. 35cm 或65cm 【答案】A .
4.（2013山东淄博，4，4分）下面关于正六棱柱的视图（主视图、左视图、俯视图）中，画法错误的是（ ）
（第4题） 【答案】 A .
5.（2013山东淄博，5，4分）如果分式2
21
2+-x x 的值为0，则x 的值是（ ）
A.1
B.0
C.-1
D.±1 【答案】A .
6.（2013山东淄博，6，4分）如图，菱形纸片ABCD 中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE.则∠DEC 的大小为（ ）
（第6题） A. 78° B. 75° C. 60° D. 45° 【答案】B . 7.（2013山东淄博，7，4分）如图，Rt △OAB 的顶点A （-2,4）在抛物线y=ax 2上，将Rt △OAB 绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD ，边CD 与该抛物线交于点P ，则点P 的坐标为（ ） A.（2，2） B.（2,2） C.（2，2） D.（2，2）
（第7题） 【答案】C .
8.（2013山东淄博，8，4分）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=90°，∠BDA=90°，AB=a ，BD=b,CD=c,BC=d,AD=e,则下列等式成立的是（ ） A.b 2=ac B.b 2= ce C.be=ac D.bd=ae
（第8题） 【答案】A .
9.（2013山东淄博，9，4分）如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数y=x
k
的图象的一支经过矩形对角线的交点P,则该反比例函数的解析式是（ ）
A
B
C
D C
P
E
A B
C D
a
b
c
d
e
A.y=
4 B.y=2 C.y=1 D.y=x
21 （第9题）
【答案】C .
10.（2013山东淄博，10，4分）如果m 是任意实数，则点P （m-4,m+1）一定不在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D .
11.（2013山东淄博，11，4分）假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同.如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是（ ） A.
61 B. 83 C. 85 D. 3
2 【答案】B .
12.（2013山东淄博，12，4分）如图，△ABC 的周长为26，点D,E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P.若BC=10，则PQ 的长为（ ） A.
23 B.2
5
C.3
D.4
（第12题） 【答案】C .
第Ⅱ卷（非选择题 共72分）
二、填空题：本题共5小题，满分20分.只要求填写最后结果，每小题填对得4分. 13.（2013山东淄博，13，4分）当实数a ＜0时，6+a______6-a （填“＜”或“＞”）. 【答案】＜.
A
B
C
D E
P
Q
14.（2013山东淄博，14，4分）请写出一个概率小于
2
1
的随机事件：___________________. 【答案】在一个不透明的袋子里，有三个大小和形状完全相同的球，其中有二个红球和一个黄球，摸出黄球的概率是多少？
15.（2013山东淄博，15，4分）在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A ，B ），过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线.如图，∠A=36°，AB=AC,当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有__________条.
（第15题） 【答案】3.
16.（2013山东淄博，16，4分）如图，AB 是⊙O 的直径，⌒AD =⌒DE ，AB=5，BD=4，则sin ∠ECB=_______.
（第16题） 【答案】
5
4
.
17.（2013山东淄博，17，4分）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是_______.
【答案】-2.
三、解答题：本大题共7小题，共52分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或运算步骤. 18.（2013山东淄博，18，5分）解方程组
⎩
⎨
⎧-=+=-.22,
332y x y x B
A B
解：⎩⎨
⎧-=+=-②
①
22332y x y x
方法1（代入消元法）：由②得，x=-2-2y ③；将③代入①得2(-2-2y)-3y=3，整理得-7y=7，解得y=-1.将y=-1代入③得x=-2-2×（-1），即x=0，所以原方程组的解为⎩
⎨
⎧-==10
y x .
方法2（加减消元法）：②×2-①得，7y=-7，解得y=-1.将y=-1代入②得x+2×（-1）=-2，解得x=0，所以原方程组的解为⎩⎨
⎧-==1
y x .
19.（2013山东淄博，19，8分）如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC.求证：AB=AD.
（第19题）
证明：∵AD ∥BC ，∴∠DBC=∠ADB.又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠DBC. ∴∠ABD=∠ADB ，∴AB=AD.
20.（2013山东淄博，20，8分）某中学积极开展跳绳活动，体育委员统计了全班同学1分
（1）跳绳次数x 在120≤x<140范围内的同学占全班同学的20%，在答题卡中完成上表； （2）画出适当的统计图，表示上面的信息. 解：（1）全班总人数为9÷20%=45（人），所以跳绳次数x 在140≤x<160范围内的同学有
（2）将全班同学1分钟跳绳的次数绘制成条形统计图如下： 全班同学1分钟跳绳的次数条形统计图
21.（2013山东淄博，21，8分）关于x 的一元二次方程（a-6）x 2-8x+9=0有实根. ⑴求a 的最大整数值；
⑵当a 取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x 2-
11
87
322+--x x x 的值.
解：⑴∵关于x 的一元二次方程（a-6）x 2-8x+9=0有实根，∴a-6≠0，△=（-8）2-4×（a-6）×9≥0，解得a≤
9
70
且a≠6. ∴a 的最大整数值为7. ⑵①当a=7时，原一元二次方程变为x 2-8x+9=0.∵a=1,b=-8,c=9，∴△=（-8）2-4×1×9=28，∴x=
2
28
)8(±--，即x=4±27，∴x 1=4+27，x 2=4-27.
②∵x 是一元二次方程x 2-8x+9=0的根，∴x 2-8x=-9. ∴2x 2-11
87322
+--x x x =2x 2-119732+--x =2x 2-16x+
27=2（x 2-8x ）+27=2×（-9）+27=-2
29
.
22.（2013山东淄博，22，8分）分别以□ABCD （∠CDA≠90°）的三边AB,CD,DA 为斜边作等腰直角三角形，△ABE,△CDG ,△ADF.
⑴如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接CF,EF.请判断CF 与EF 的关系（只写结论，不需证明）；
⑵如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接CF,EF, ⑴中结论还成立吗？若成立，给出证明：若不成立，说明理由.
图1 图2
D
解：（1）GF=EF.理由如下：∵ABCD 是平行四边形，∴CD=BA.∵△CDG 和△BAE 分别是以CD 和BA 为斜边的等腰直角三角形，∴DG=AE=
22CD=2
2
AB.在△GDF 中，∠GDF=∠GDC+∠FDE+∠CDA=90°+∠CDA.在△EAF 中，
∠EAF=360°-∠BAD-∠BAE-∠DAF==360°-（180°-∠CDA ）-90°=90°+∠CDA.在△GDF 和
△EAF 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=FA DF EAF GDF AE
DG ，∴△GDF ≌△EAF ，∴GF=EF.
（2）成立，理由如下： ∵ABCD 是平行四边形，∴CD=BA.∵△CDG 和△BAE 分别是以CD 和BA 为斜边的等腰直角
三
角
形
，
∴DG=AE=
2
2
CD=
2
2AB.在△GDF 中，
∠GDF=∠GDC+∠FDA-∠CDA=90°-∠CDA.在△EAF 中，∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF==180°-∠CDA --90°=90°-∠CDA.在△GDF 和△EAF 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=FA DF EAF GDF AE DG ，∴△GDF ≌△EAF ，∴GF=EF.
23.（2013山东淄博，23，9分）△ABC 是等边三角形，点A 与D 的坐标分别是A （4,0）D(10,0).
⑴如图1，当点C 与点O 重合时，求直线BD 的解析式； ⑵如图2，点C 从点O 沿y 轴向下移动，当以点B 为圆心，AB 为半径的⊙B 与y 轴相切（切点为C ）时，求点B 的坐标；
⑶如图3，点C 从点O 沿y 轴向下移动，当点C 的坐标为C （0，-23）时，求∠ODB 的正切值.
图1 图2 图3
解：（1）过点B 作BE ⊥OA ，∵△OBA 为等边三角形，∴OE=2
1
OA=2，BE=OB·sin60°=4×
2
3
=23.又∵点B 在第四象限，∴B
点的坐标为(2,-.又D 点的坐标为()10,0，设直线BD 的解析式为y kx b =+
，则有100
2k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩
4
k b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪，∴直线BD
的解析式为42y x =-. （2）∵以点B 为圆心，AB 为半径的⊙B 与y 轴相切（切点为C ），∴BC ⊥y 轴，即BC ∥x 轴，∴∠DAB=∠ABC=60°.过点A 作AE ⊥BC ，过点B 作BF ⊥x 轴，则四边形OCEA 和四边形AEBF 是两个矩形.∴CE=OA=4.又∵△ACB 是等边三角形，AE ⊥BC ，∴BE=CE=AF=4，∴OF=BC=AB=8.在Rt △ABF 中，BF=AB·sin60°=8×2
3
=43.∵点B 在第四象限，∴B 点的坐标为
(8,-.又知
D 点的坐标为()10,0，设直线BD 的解析式为y kx b =+，则有
1008k b k b +=⎧⎪
⎨
+=-⎪⎩k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩BD 的解析式为y =-. （3）∵OA=4,OC=∴AC=72)32(42222=+=
+OC OA .连结OB 交AC 于G ，
作OE ⊥AC 于E,BF ⊥AC 于 F.在Rt △BFA 中，BF=AB·sin60°=72×
2
3
=21.在Rt △OAC
中，OC·OA=AC·OE,∴OE=
721
47
2432=
⨯=⋅AC OA OC .在Rt △OCE 中，CE= 7
7
6)7214(
)32(2222=
-=-OE OC . EF=CF —CE=AC 21
=. ∵△OEG ∽△BFG ,∴
BF OE GF GE =，即BF
OE
GE EF GE =
-，∴21
721
47
7
=-GE GE
，解得
GE=
77
74.∴OG=
11
13
8)7774()7214(
2222=+=+EG OE .又
∵△OEG ∽△BFG ,∴BF OE GB OG =
，即21
72141113
8=GB ，∴GB=111314，所以OB=OG+GB=
11
138+1113
14
=在Rt △OBH 中，OB 2-OH 2=AB 2-AH 2，即2
222)72()4()132(AH AH -=+-，解得AH=1.
在Rt △ABH 中，BH=
331)72(2222=-=-AH AB .
在Rt △BDH 中，又∵HD=OD-OA-AH=10-4-1=5，∴tan ∠ADB=
5
3
3=AD BH .
24.（2013山东淄博，24，9分）矩形纸片ABCD 中，AB=5,AD=4.
⑴如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形，你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由;
⑵请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形.要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪纸，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）.
图1 图2
解：⑴能.要在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形，则所裁剪的正方形的边长最大只能等于原长方形的宽，即4，所以最大面积是16.
⑵由剪拼前后所得正方形的面积和原长方形的面积相等可知剪拼成的面积最大的正方形的边长是5254=⨯.
所以先将长方形的长边分为4和1两部分，然后将4×4的大正方形部分剪成4个斜边为52的直角三角形，将1×4的长方形剪成4个边长为1的小正方形，具体剪法如下图：
A B
C
D
A
M。