(浙江专版)高中数学课时跟踪检测(四)三角形中的几何计算新人教A版必修5

课时跟踪检测（四）
三角形中的几何计算
层级一学业水平达标
1
A .2
B .
7
B. 8
C
=1.又 0°<C <180°,
••• C = 45°.
A. 4 B . 3
1
2 2 2 2 2 * 2
解析：选 C 依题意得，c = 2a , b = a + c — 2ac cos B= a + (2 a ) — 2X aX2 a x ：= 4a , _____ \H 5
1 1 b
所以 _________________________________________________ b = c = 2a .因为 ___________________________________________________ B € (0 ,n )，所以 sin ________________________________________________ B =\； 1 — cos 2B = 4，又 _____________________________________________________ S A ABC = q ac sin
B= 2
X b^-15^-1-5，所以 b = 2,选 C.
4
4
5.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为
60°,另两边之比为 8 : 5，则这个三角
形的面积为（
）
A. 40 3 B . 20 ,3 C . 40 2 D . 20 2 解析：选A 设另两边长为8x, 5x , 则 cos 60 ° =
2 2 2
64x + 25x — 14 2 ，解得x 一 2或x = — 2(舍去).
故两边长分别为16与10,
1.在△ ABC 中，A = 60°, AB= 1， AC= 2，贝U & ABC 的值为(
)
解析：选B
S ^ABC = 2AB - AC- sin
2•如果等腰三角形的周长是底边长的
5倍，则它的顶角的余弦值为
解析：选
设等腰三角形的底边长为 a ,顶角为0 ,则腰长为2a ,
由余弦定理得，cos
4a 2 + 4 a 2 —
a
= 80^
f 7 "=8
.
3.在△ ABC 中，已知面积
1 2 2 2
s =4(a + b — c ), 则角C 的大小为
A. 135°
B . 45°
C . 60°
D . 120° 1 2 2 2 1
解析：选 B ■/ S = 4(a + b — c ) = q ab sin C
由余弦定理
sin C = cos
C,「.
4.在△ ABC 中，若 1 si n C 口
cos
B= 4，2，且
S A ABC
=
，则 4
b =(
1
所以三角形的面积是2x16X 10X sin 60 40 3.
1
6.在△ ABC中, a= 3 2, b= 2 3, cos C=卞则厶ABC的面积为
解析：T cos C= 3, 0<C< n,. sin C= 3 ,
1 1
•- ABC= ^ab sin C= ^3 2X2 3 X 晋=4.3.
答案：4 , 3
7.如图，在△ ABC中，已知B= 45°,D是BC边上一点，AD= 5, AC= 7, DC= 3」AB 解析：在厶ADC中,
A C+D C—A D 72+ 32—52 cos C= 11
2 • AC- DC 2X 7X
3 14
又
0°<C<180°，^ sin C=欝.
在 ABC中,丄CB=丄BC,
...AB=吟.AC 芳X. 2 X 7=竽
sin B 14 * 2
答案：号
&△ ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为*则其外接圆的半径为
1
解析：不妨设b= 2, c = 3, cos A= 3,
则a2= b2+ c2—2bc • cos A= 9,「. a= 3.
又T sin A= 1 —cos2 A= —3-,
3
•••外接圆半径为R=_^ =
3
=座2sin A 2\[28 '
2 •
3
答案：誓
8
2 2 2 2
求证：b cos 2 A—a cos 2 B= b —a .
9.在△ ABC中,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
证明：左边=b(1 —2sin A) —a(1 —2sin B) = b —a —2(b sin A-a sin B),由正弦定理一得b sin A= a sin B, sin A sin B
2 2 2 2 2 2
••• b sin A— a sin B = 0，二左边=b — a =右边,
2 2 2 2
• b cos 2 A — a cos 2 B = b — a .
AB AC
sin / BCA sin / ABC
解析：选A 因为b 2— bc — 2c 2 = 0,
10.如图所示，在梯形 ABCD 中, =30°,/ ADB= 45°,求 BD 的长.
解：在△ ABC 中, AB= 5, AC = 9, AD// BC, AB= 5, AC = 9, / BCA
/ BCA= 30°，由正弦定理，得
• sin / ABC=
AC- sin / BCA 9X sin 30
AB 5 •/ AD// BC •/ BAD= 180°—/ ABC
于是
sin / BAD= sin / AB(=為
10
在厶 ABD 中, AB= 5, sin / BAD=卷，/ ADB= 45°,
由正弦定理，得 AB ______ BD
sin / ADB sin / BAD
解得BD= 晳，故BD 的长为 晋.
ABC 的周长为20，面积为10 3,
A. 5
B. 6
C. 7
解析：选C 如图，由题意得
a +
b +
c = 20,
1
q bc sin 60 ° = 10 3,
a 2=
b 2 +
c 2— 2bc cos 60 ° ,
则 bc = 40,
a 2=
b 2 +
c 2 — bc = ( b + c )2— 3bc = (20 — a )2— 3x 40,
• a = 7.
2.在厶ABC 中,已知b 2— bc — 2c 2 = 0,且a = 6, cos A = 7,则厶ABC 的面积等于（
A. B. 15 C . 2 D . 3
所以(b—2c)( b+ c) = 0,所以b= 2c.
222
由a = b + c —2bc cos A,解得c = 2, b= 4,
因为cos A = 8所以sin A =冷5
3.在△ ABC 中，若 b = 2, A = 120°,其面积 S = .3,则厶ABC 外接圆的半径为( )
A. 3 B .
C . 2 3
D . 4
1 厂 1
解析：选 B T S = ^bc sin A ,「. 3= X2 c sin 120 ° ,
••• c = 2,「. a = b + c - 2bc cos A
4 + 4-2X 2X 2X
a 2占
• - 2R=
= :- = 4,
si n
A (3
'
~2
• R= 2.
4•在△ ABC 中, sin A = |, a = 10，则边长c 的取值范围是（
）
15
A. — ,+R
B . (10 ,+s C. (0,10)
40
D . 0, 7
解析：选D
c a 40
sin C sin A = 3 ,
40 • c = —si n 3
厂 40
C..・.0<c < —.
厂 n
uuir ujur
5.已知△ ABC 的面积 S =p 3, A =§，则 AB • AC = ___________
1
UJU uuur
解析：S x AB = 2 •I AB | •I AC | • sin A,
厂 1
uuir uuur
即,3= •I AB | •I AC | •宁,
uuir uuur 所以 I AB | • AC | = 4,
unr uuur uuir uuur
1
于是 AB • AC = | AB | •I AC | • cos A = 4 x ?= 2.
答案：2
b a
tan C 6.在锐角三角形 ABC 中,角A , B, C 的对边分别是a , b , c ,若-+二=6cos C,则——A
a b
tan A
所以SxAB K 1
q bc sin
A =1
x 4X 2X
~8~ =
""2-
设厶ABC 外接圆的半径为
R,
sin C sin B + A
sin 2C
sin A sin B cos C~ sin A sin
B cos C
c 2 _ 2c 2 ab cos C
a 2+
b 2—
c 2 a 2+ b 2— c 2 ab
^o^
=4. 答案：4
7.在△ ABC 中，内角代B , C 所对的边分别是 a , b , c .已知sin
A sin
B = sin
C tan C
求呼的值； (1)
若a =-^c ,且厶ABC 的面积为4,求c 的值.
解:
2
c
(1)由已知 sin A sin B = sin C tan C 得 cos C =品
2 . 2 2
十 a + b — c 又 cos C =
2ab
•4值为3.
c
(2)由 a = -^c, a 2 + b 2 = 3c 2得 b =
10
亍c .
由余弦定理得
cos
C =
255
，故
sin
卡.
所以寸乂乎。

x 弓0
c x¥= 4，解得c = 4. 2 2 2 5
2 B + C
4
&在△ ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,且 a = 2,2cos
q + sin A = 5.
tan C + tan B =
b a 解析：a +b =6cos
C
2 . 2 2 . 2 2
a +
b a + b — c
=6 x ab 2ab
••• 2a 2+ 2b 2— 2c 2= c 2,
又凹$ 空
£= sin Sos A * sin C eos B tan A tan B
sin A cos C sin B cos C
sin C sin B cos A + cos B sin A
sin A sin
B cos C
(1)若满足条件的△ ABC 有且只有一个，求 b 的取值范围；
⑵当厶ABC 的周长取最大值时，求 b 的值•
2 B + C
4 4
1
解：2cos 2 + sin A = 5? 1 + cos( B +
C + sin
A = 5? sin A — cos A = — 5. sin
_ 2 2
又 0<A < n,且 sin A + cos A= 1,有
cos
3 A= 5，
⑴若满足条件的△ ABC 有且只有一个，则有a = b sin A 或a > b,则b 的取值范围为 10 u 亍.
I — a + b + c = a + .
A
(sin
10 sin
—2+ y[s in B+ sin( A +
B )]
10
—2+ [sin
3
B+ sin A cos
1
—2+ 2(3s in B+ cos B ) ⑵设厶ABC 的周长为I ，由正弦定理得
a
B + sin
C )
e ),
cos A sin B ]
=2+ 2 10sin( B +
sin
e=T 0°，
10 '
其中e 为锐角，且
cos
I max = 2+ 2\； 10 ,当 cos B = 10 , sin B
=甘时取到•此时b =
s^sin
B= ,10.
(0,2]。