德阳市九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(含答案解析)

一、选择题
1．如图，已知在正方形ABCD 中，AD ＝4，E ，F 分别是CD ，BC 上的一点，且∠EAF ＝45°，EC ＝1，将△ADE 绕点A 沿顺时针方向旋转90°后与△ABG 重合，连接EF ，则以下结论：①DE +BF ＝EF ，②BF ＝47，③AF ＝307，④S △AEF ＝507中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②④ 2．如图，将△ABC 绕点A 旋转，得到△AEF ，下列结论正确的个数是（ ） ①△ABC ≌△AEF ；②AC=A
E ；③∠FAB=∠EAB ；④∠EAB=∠FAC ．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 3．如图，正方形ABCD 内一点P ，5AB =，2BP =，把ABP △绕点B 顺时针旋转90°得到CBP '，则PP '的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．3
D ．324．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到A B C ∆''，M 是BC 的中点，P 是A B ''的中点，连接PM ．若2BC =，30A ∠=︒，则线段PM 长的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．若点P(－m，m－3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m满足( )
A．m＞3 B．0＜m≤3C．m＜0 D．m＜0或m＞3 6．在一个无盖的正方体玻璃容器内装了一些水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内的水面的形状可能是（）
A．B．C．D．
7．下列命题的逆命题是真命题的是()
A．等边三角形是等腰三角形
B．若22
>，则a b
ac bc
>
C．成中心对称的两个图形全等
D．有两边相等的三角形是等腰三角形
8．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中Rt△ABC的斜边BC在x轴上，点B坐标为（1，0），
AC=2，∠ABC=30°，把Rt△ABC先绕B点顺时针旋转180°，然后再向下平移2个单位，则A点的对应点A′的坐标为（）
A．（﹣4，﹣23B．（﹣4，﹣3 C．（﹣2，﹣3）
D．（﹣2，﹣23）
10．把一副三角板按如图放置，其中∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边
AC=BD=10，若将三角板DEB绕点B逆时针旋转45°得到△D′E′B，则点A在△D′E′B的（）
A ．内部
B ．外部
C ．边上
D ．以上都有可能 11．已知点A （1，a ）、点B （b ，2）关于原点对称，则a+b 的值为（ ） A ．3
B ．-3
C ．-1
D ．1 12．若点A （3－m ，n+2）关于原点的对称点B 的坐标是（－3，2），则m ，n 的值为（ ）
A ．m=－6，n=－4
B ．m=O ，n=－4
C ．m=6，n=4
D ．m=6，n=－4
二、填空题
13．如图，将ABC 绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△．若B '落到BC 边上，50B ∠=︒，则CB C ''∠的度数为______．
14．点()1,2--A 绕点()10
B ,旋转180︒得到点
C ，则点C 坐标为_______________________．
15．如图，在ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝30°，将ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到11AB C △，连接BC 1，则BC 1的长为__________ ．
16．如图，已知ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，直角EPF ∠的顶点P 是BC 中点，两边PE ．PF 分别交AB ．AC 于点E ．F ，给出下列四个结论：①AE CF =；②EPF ∆是等腰直角三角形；③EF AB =；④四边形AEPF 的面积随着点E ．F 的位置不同发生变化，当EPF ∠在ABC ∆内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ．B 重合），上述结论中始终正确的有________（把你认为正确的结论的序号都填上）．
17．如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕30角的顶点B 顺时计旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则BCD ∠的度数为______．
18．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件_____，使四边形ABCD 为矩形．
19．如图，△ABC 中，∠BAC ＝20°，△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AED ，连接对应点C 、D ，AE 垂直平分CD 于点F ，则旋转角度是_____°．
20．如图，把ABC ∆绕顶点C 按顺时针方向旋转得到△A B C ''，当A B AC ''⊥，47A ∠=︒，128A CB ∠='︒时，B CA '∠的度数为_____.
三、解答题
21．如图，等腰Rt △ABC 中，∠A ＝45°，∠ABC ＝90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE ．
（1）求∠DCE 的度数；
（2）若AB ＝4，CD ＝3AD ，求DE 的长．
22．（1）（操作发现）
如图1，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得°到△ADE ，连接BD ，则∠ABD=_______度． （2）（类比探究）
如图2，在边长为7的等边三角形ABC 内有一点P ，∠APC=90°°，∠BPC=120°，求△APC 的面积．
23．（问题背景）（1）如图1，Р是正三角形ABC 外一点，30APB ∠=，则222PA PB PC +=？小明为了证明这个结论，将PAB ∆绕点A 逆时针旋转60,请帮助小明完成他的作图；
（迁移应用）（2）如图2，在等腰Rt ABC ∆中，,90BA BC ABC =∠=，点P 在ABC ∆外部，使得45BPC ∠=，若 4.5PAC S =，求PC ；
（拓展创新）（3）如图3，在四边形ABCD 中，//,AD BC 点E 在四边形ABCD 内部．且,DE EC =90,DEC ∠=135AEB ∠=︒，3,4,AD BC ==直接写出AB 的长． 24．如图：在ABC 中，90ACB ︒∠=，AC BC =，45PCQ ︒∠=，把PCQ ∠绕点C 旋转，在整个旋转过程中，过点A 作AD CP ⊥，垂足为D ，直线AD 交CQ 于E
（1）如图①，当PCQ ∠在ACB ∠内部时，求证：AD BE DE +=；
（2）如图②，当 CQ 在ACB ∠外部时，则线段AD BE 、与DE 的关系为________； （3）在（1）的条件下，若12CD =，2BCE ACD S S =△△，求AE 的长．
25．如图1，在菱形ABCD 和菱形AEFG 中，60DAB GAE ∠=∠=︒，且4AE =，连接DG 和BE ．
（1）求证：DG BE =；
（2）如图2，将菱形AEFG 绕着点A 旋转，当菱形AEFG 旋转到使点C 落在线段AE 上时（AC AE <），求点F 到AB 的距离．
26．如图，△ABC 各顶点的坐标分别为A （4、4），B （－2，2），C （3，0）， （1）画出它的以原点O 为对称中心的△A'B'C'
（2）写出 A'，B'，C'三点的坐标．
（3）把每个小正方形的边长看作1，试求△ABC 的周长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
利用全等三角形的性质及勾股定理求出BF的长，再利用勾股定理求出AF的长，从而求得GF，即可求解出△AEF的面积，最终即可判断出所有选项．
【详解】
∵将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转90°后与△ABG重合，
∴AG＝AE，∠DAE＝∠BAG，DE＝BG，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠BAF＝45°＝∠GAB+∠BAF＝∠GAF＝45°，
∵AG＝AE，∠FAE＝∠FAG＝45°，AF＝AF，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF＝FG，
∵DE＝BG，
∴EF＝FG＝BG+FB＝DE+BF，故①正确，
∵BC＝CD＝AD＝4，EC＝1，
∴DE＝3，
设BF＝x，则EF＝x+3，CF＝4﹣x，
在Rt△ECF中，（x+3）2＝（4﹣x）2+12，
解得x＝4
7
，
∴BF＝4
7
，AF22
16202
=16+=
497
AB BF
，故②正确，③错误，
∴GF＝3+4
7＝
25
7
，
∴S△AEF＝S△AGF＝1
2AB×GF＝
50
7
，
故④正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
2．B
解析：B
【分析】
由旋转的性质得到△ABC≌△AEF，再由全等三角形的性质逐项判断即可．
【详解】
∵△ABC绕点A旋转得到△AEF，
∴△ABC≌△AEF，
∴AC=AF ，不能确定AC=AE，故①正确，②错误；
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF-∠BAF=∠BAC-∠BAF，
∴即∠EAB=∠FAC，
但不能确定∠EAB等于∠FAB，故③错误，④正确；
综上所述，结论正确的是①④，共2个．
故选：B.
【点睛】
此题考查了旋转的性质.掌握旋转前后的图形全等是解答此题的关键.
3．A
解析：A
【分析】
由△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，根据旋转的性质得BP=BP′，∠PBP′=90，则
△BPP′为等腰直角三角形，由此得到BP，即可得到答案．．
【详解】
解：解：∵△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP'，
而四边形ABCD为正方形，BA=BC，
∴BP=BP′，∠PBP′=90，
∴△BPP′为等腰直角三角形，而BP=2，
∴
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性质． 4．B
解析：B
【分析】
连接PC ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出PC ，利用中点求出CM ，再根据三角形两边之和大于第三边即可求得PM 的最大值．
【详解】
解：如图连接PC ．
在Rt △ABC 中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，''90A CB ACB ∠=∠=︒，
∵P 是A B ''的中点，M 是BC 的中点，
∴CM=BM=1，PC=12
A′B′=2 又∵PM≤PC+CM ，即PM≤3，
∴PM 的最大值为3（此时P 、C 、M 共线）．
故选：B ．
【点睛】
本题考查旋转变换、直角三角形30度角的性质、直角三角形斜边中线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考常考题型．
5．C
解析：C
【分析】
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （-m ，m-3）关于原点O 的对称点是P′（m ，3-m ），再由第二象限内的点横坐标为负数，纵坐标为正数，可得m 的取值范围．
【详解】
解：点P （-m ，m-3）关于原点O 的对称点是P′（m ，3-m ），
∵P′（m ，3-m ），在第二象限，
∴030m m <⎧⎨->⎩
，
∴m＜0．
故选：C．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，注意掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
6．A
解析：A
【分析】
结合题意，相当于把正方体一个面，即正方形截去一个角，可以得到三角形、四边形、五边形．
【详解】
解：根据题意，结合实际，容器内水面的形状不可能是正方形、六边形、七边形．
故选A．
【点睛】
此类问题也可以亲自动手操作一下，培养空间想象力．
7．D
解析：D
【分析】
先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、不等式的性质、中心对称的性质等进行判断．
【详解】
A、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误；
B、逆命题是：如果a＞b，则ac2＞bc2，是假命题，故本选项错误；
C、逆命题为：全等的两个图形成中心对称，是假命题，故本选项错误；
D、逆命题为：等腰三角形是有两边相等的三角形，故本选项正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，并熟悉课本中的性质定理．
8．A
解析：A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选A．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 9．D
解析：D
【解析】
解：作AD ⊥BC ，并作出把Rt △ABC 先绕B 点顺时针旋转180°后所得△A 1BC 1，如图所示．∵AC =2，∠ABC =30°，∴BC =4，∴AB =23，∴AD =AB AC BC ⋅=232⨯=3，∴BD =2AB BC =223（）=3．∵点B 坐标为（1，0），∴A 点的坐标为（4，3）．∵BD =3，∴BD 1=3，∴D 1坐标为（﹣2，0），∴A 1坐标为（﹣2，﹣3）．∵再向下平移2个单位，∴A ′的坐标为（﹣2，﹣3﹣2）．故选D ．
点睛：本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
先根据勾股定理求出两直角三角形的各边长，再由旋转的性质得：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，求出E′D′与直线AB 的交点到B 的距离也是2，与AB 的值相等，从而可以得出点A 在△D′E′B 的边上．
【详解】
∵AC=BD=10， 又∵∠ABC=∠DEB=90°，∠A=45°，∠D=30°，
∴BE=5，2，
由三角板DEB 绕点B 逆时针旋转45°得到△D′E′B ，设△D′E′B 与直线AB 交于G ， 可知：∠EBE′=45°，∠E′=∠DEB=90°，
∴△GE′B 是等腰直角三角形，且BE′=BE=5，
∴2，
∴BG=AB ，
∴点A 在△D′E′B 的边上，
11．B
解析：B
【分析】
由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出a、b的值即可.
【详解】
∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，
∴a=﹣2，b=﹣1，
∴a+b=﹣3.
故选B.
【点睛】
关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数.
12．B
解析：B
【解析】
试题分析：关于原点对称的两点的横纵坐标分别互为相反数，则3－m=3，n+2=－2，解得：m=0，n=－4.
考点：原点对称
二、填空题
13．80【分析】由旋转的性质可得AB=AB∠ABC=50°再根据据等腰三角形的性质得到∠B=∠BBA=50°最后根据平角的定义即可解答【详解】解：由旋转的性质可得：AB=AB∠ABC=50°∵AB=AB
解析：80
【分析】
由旋转的性质可得AB=AB',∠AB' C'=50°，再根据据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'A=50°，最后根据平角的定义即可解答．
【详解】
解：由旋转的性质可得：AB=AB',∠AB' C'=50°.
∵AB=AB'，
∴∠B=∠BB'A=50°.
∵∠BB'A+∠AB' C'+∠CB' C' =180°.
∴∠CB'C'=180°-（∠BB'A+∠AB' C'）=80°．
故答案为80°．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．
14．【分析】过AC两点向x轴作垂线构造全等三角形得到CF和AE相等BF和BE相等即可得到结果【详解】解：过点A作AE⊥x轴过点C作CF⊥x轴
∴∠AEB=∠CFB=90°由旋转性质可得AB=BC∵∠CBF
32，
解析：()
【分析】
过A、C两点向x轴作垂线，构造全等三角形，得到CF和AE相等，BF和BE相等，即可得到结果．
【详解】
解：过点A作AE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
由旋转性质可得AB=BC，
∵∠CBF=∠EBA，
∴△ABE≌△CFB
∴CF=AE，BF=EB，
又∵EB=2，
∴BF=2，CF=2，
∴OF=2+1=3，
∴C（3，2）
故答案为：（3，2）．
【点睛】
本题考查旋转变换和三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线证明全等是解题的关键．15．【分析】先根据旋转的定义和性质可得从而可得再利用勾股定理即可得【详解】由旋转的定义和性质得：在中故答案为：【点睛】本题考查了旋转的定义和性质勾股定理熟练掌握旋转的性质是解题关键
5
【分析】
先根据旋转的定义和性质可得111,60A AC C CAC ==∠=︒，从而可得190BAC ∠=︒，再利用勾股定理即可得．
【详解】
由旋转的定义和性质得：111,60A AC C CAC ==∠=︒，
30BAC ∠=︒，
1190AC BAC AC B C ∴∠=+=∠∠︒，
在1Rt ABC 中，1BC =
==，
【点睛】
本题考查了旋转的定义和性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 16．①②【分析】利用旋转的思想观察全等三角形寻找条件证明三角形全等根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断【详解】解：∵∠APE ∠CPF 都是∠APF 的余角∴∠APE ＝∠CPF ∵AB ＝AC ∠BAC ＝90°
解析：①②
【分析】
利用旋转的思想观察全等三角形，寻找条件证明三角形全等．根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
【详解】
解：∵∠APE 、∠CPF 都是∠APF 的余角，
∴∠APE ＝∠CPF ，
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，P 是BC 中点，
∴AP ＝CP ，
又∵AP ＝CP ，∠EPA ＝∠FPC ，∠EAP ＝∠FCP ＝45°
∴△APE ≌△CPF （ASA ），同理可证△APF ≌△BPE ，
∴AE ＝CF ，△EPF 是等腰直角三角形，S 四边形AEPF ＝12
S △ABC ，①②正确，④错误，四边形AEPF 的面积是固定的；
∵旋转过程中，EF 的长度的变化的，故EF≠AB ，③错误，
始终正确的是①②，
故答案为：①②．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的判定及性质的运用，三角形的中位线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
17．【分析】根据旋转的性质△ABC ≌△EDBBC=BD 求出∠CBD 的度数再求∠BCD 的度数【详解】解：根据旋转的性质△ABC ≌△EDBBC=BD 则△CBD 是等腰三角形∠BDC=∠BCD ∠CBD=180°
解析：15︒
【分析】
根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BCD的度数．
【详解】
解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，
则△CBD是等腰三角形，∠BDC=∠BCD，∠CBD=180°-∠DBE=180°-30°=150°，
∠BCD=1
（180°-∠CBD）=15°．
2
故答案为15°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，解题时根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转求出即可．
18．∠B=90°【分析】根据旋转的性质得AB=CD∠BAC=∠DCA则AB∥CD得到四边形ABCD为平行四边形根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°【详解】∵△ABC绕AC的中点O顺
解析：∠B=90°．
【分析】
根据旋转的性质得AB=CD，∠BAC=∠DCA，则AB∥CD，得到四边形ABCD为平行四边形，根据有一个直角的平行四边形为矩形可添加的条件为∠B=90°．
【详解】
∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，
∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，
∴添加的条件为∠B=90°．
故答案为∠B=90°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的判定．
19．40【分析】根据旋转的性质得出AD＝AC∠DAE＝∠BAC＝20°求出∠DAE＝∠CAE＝20°再求出∠DAC的度数即可【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED∠BAC＝20°∴AD＝AC∠
解析：40
【分析】
根据旋转的性质得出AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，求出∠DAE＝∠CAE＝20°，再求出
∠DAC的度数即可．
【详解】
解：∵△ABC绕点A逆时针旋转至△AED，∠BAC＝20°，
∴AD＝AC，∠DAE＝∠BAC＝20°，
∵AE垂直平分CD于点F，
∴∠DAE＝∠CAE＝20°，
∴∠DAC＝20°+20°＝40°，
即旋转角度数是40°，
故答案为：40．
【点睛】
本题主要考查了图像旋转的性质以及垂直平分线的性质，从而得到边相等与角相等的条件．
20．42º【分析】根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°则∠A′CA=90°-47°=43°由
∠BCB′=∠A′CA=43°则∠B′CA=∠A′CB-∠A′CA-∠BCB′可求【详解】根据旋转的性质可知
解析：42º
【分析】
根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°，则∠A′CA=90°-47°=43°，由∠BCB′=∠A′CA=43°，则
∠B′CA=∠A′CB-∠A′CA-∠BCB′可求．
【详解】
根据旋转的性质可知∠A′=∠A=47°，
∴∠A′CA=90°-47°=43°．
根据旋转的性质可知旋转角相等，即∠BCB′=∠A′CA=43°，
∴∠B′CA=∠A′CB-∠A′CA-∠BCB′=128°-43°-43°=42°．
故答案为：42°．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理的应用，解决这类问题要找准旋转角、以及旋转后对应的线段和角．
三、解答题
21．（1）90°；（2）
【分析】
（1）根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质即可得∠DCE的度数；
（2）根据勾股定理求出AC的长，根据CD＝3AD，可得CD和AD的长，根据旋转的性质可得AD＝EC，再根据勾股定理即可得DE的长．
【详解】
解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCA＝45°＋45°＝90°；
（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴2242AC AB BC =+=， ∵CD ＝3AD ， ∴2AD =，32DC =，
由旋转的性质可知：
AD ＝EC ＝2，
∴2225DE CE DC =+=．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 22．（1）60；（2）3
【分析】
（1）【操作发现】：如图1中，只要证明△DAB 是等边三角形即可；
（2）【类比探究】：如图2中，将△CBP 绕点C 逆时针旋转60°得△CAP ＇，连接PP ＇，证明∠APP ＇=30°，∠PAP ＇=90°，设AP ＇=t ，表示出AP 和PC ，利用勾股定理求出t ，进而可求出△APC 的面积．
【详解】
解：（1）解：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转60°，得到△ADE ，
∴AD=AB ，∠DAB=60°，
∴△DAB 是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
故答案为60．
（2）将△CBP 绕点C 逆时针旋转60°得△CAP ＇，连接PP ＇，
则△PCP ＇为等边三角形，
∴∠CPP ＇=∠CP ＇P=60°．
∵∠BPC=120°，∠CPP ＇=60°，
又∵∠APC=90°，
∴∠APP ＇=30°，
由旋转得∠AP ＇C=∠BPC=120°，
∴∠APP ＇=120°-60°=60°，
∴∠PAP ＇=90°，
可设AP ＇=t ，则PC=PP ＇=2t ，()222t t -3t ， 在Rt △APC 中，)()222327t t +=，
∴t=1，
∴AP=3，PC=2，
∴S △APC =12332
⨯⨯=． 【点睛】 本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考常考题．
23．（1）见解析；（2）3；（3）5
【分析】
（1）根据旋转的定义和性质解答；
（2）由题意可以得到PBC MBA ∆≅∆，
由此可得 90AMP ∠=和PC=AM ，最后由△PAC 的面积等于4.5可以求得PC 的值；
（3）根据三角形的性质解答．
【详解】
（1）如图，作60PAP AP AP ∠=︒'='，，连结P C '，则P AC '△即为所求作的图形：
（2）作线段BM 垂直于BP 交PC 延长线于点.M
连接,AM
45,90BPM PBM ∠=︒∠=
BPM △为等腰直角三角形，
,BP BM ∴=
90ABM MBC ABC PBM PBC MBC ∠+∠=∠==∠=∠+∠
,PBC ABM ∴∠=∠
在PBC ∆与MBA ∆中：
PB BM PBC ABM BC BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()PBC MBA SAS ∴∆≅∆
90AMP =∴∠
21
122
PAC S PC AM PC ∆∴=⋅= 3PC ∴=
（3）5．证明如下：
如图，将AED 顺时针旋转90︒至FEC ，则ADE FCE ∠=∠，AD FC =， //,90AD BC DEC ∠=︒，
90ADE BCE ∴∠+∠=︒，即90FCE BCE FCB ∠+∠=∠=︒
FCB ∴△为直角三角形，其中3FC AD ==，4BC =，由勾股定理得5BF =， 又旋转角为90︒，即90AEF ∠=︒，
则360135BEF AEB AEF ∠=︒-∠-∠=︒，即AEB FEB ∠=∠，
在AEB △与FEB 中，
AE AF AEB FEB BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()AEB FEB SAS △△≌
5AB BF ∴==
【点睛】
本题考查三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、旋转的意义和性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键．
24．（1）见解析；（2）AD BE DE =+；（3）16
【分析】
（1）延长DA 到F ，连接CF ，使DF ＝DE ，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得证；
（2）在AD 上截取DF ＝DE ，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE ＝CF ，再求出∠ACF ＝∠BCE ，然后利用“边角边”证明△ACF 和△BCE 全等，根据全等三角形的即可证明AF ＝BE ，从而得到AD ＝BE ＋DE ；
（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD ＝DF ＝DE ，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF ＝2AD ，然后求出AD 的长，再根据AE ＝AD ＋DE 代入数据进行计算即可得解．
【详解】
证明：如图，延长DA 到F ，使DF DE =，
∵CD AE ⊥，
∴CE CF =，
∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，
∴45ACD ACF DCF ︒∠+∠=∠=，
又∵90,45ACB PCQ ︒︒∠=∠=，
∴904545ACD BCE ︒︒︒∠+∠=-=，
∴ACF BCE ∠=∠，
在ACF 和BCE 中，
CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ACF BCE SAS ≅，
∴AF BE =，
∴AD BE AD AF DF DE +=+==
即AD BE DE +=；
（2）解：如图，在AD 上截取DF DE =，
∵CD AE ⊥，
∴CE CF =，
∴45DCE DCF PCQ ︒∠=∠=∠=，
∴90ECF DCE DCF ︒∠=∠+∠=，
∴90BCE BCF ECF ︒∠+∠=∠=，
又∵90ACB ︒∠=，
∴90ACF BCF ︒∠+∠=，
∴ACF BCE ∠=∠，
在ACF 和BCE 中，
CE CF ACF BCE AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ACF BCE SAS ≅，
∴AF BE =，
∴AD AF DF BE DE =+=+，
即AD BE DE =+；
故答案为：AD BE DE =+．
(3)如图，由（1）可得AFC BEC BE AF ≅=，
∵2BCE ACD S S =△△
∴2AF AD =且12AF AD DE CD +===，
∴4AD =，
∴16AE AD DE =+=．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及中垂线的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）6．
（1）根据菱形性质，证明△GAD≌△EAB，然后得到边相等；
（2）延长FE交AB于点H，根据题意可分析得到△AEH和△AFH均为含30°的直角三角形，然后计算EH即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG为菱形
∴GA=EA，OA=BA
∵∠DAB=∠GAE=60°
∴∠GAD+∠DAE=60°
∠DAE+∠EAB=60°
∴∠GAD=∠EAB
∴△GAD≌△EAB（SAS）
∴DG=BE
（2）延长FE，AB交于点H
∵AC是菱形ABCD对角线
∠DAB=30°
∴∠CAB=1
2
∵∠GAE=60°且四边形AEGF是菱形
∴GA∥FE
∴∠FEA=180°-60°=120°
∴∠AEH=180°-120°=60°
∵∠EAB=30°
∴∠H=90°
∵AE=4，在Rt△EAH=30°
∴EH=2
∴F到AB的距离为4+2=6
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，结合旋转和三角形相关性质是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）A′坐标为（-4，-4）；B′坐标为（2，-2）；C′坐标为（-3，0）；（3）2101729
（1）找到各点关于原点对称的点，顺次连接可得到△A′B′C′；
（2）结合直角坐标系可得出出A′，B′，C′三点的坐标；
（3）根据勾股定理得到AB，AC，BC的长，相加即可求得△ABC的周长．
【详解】
解：（1）所画图形如下：
（2）结合图形可得A′坐标为（-4，-4）；B′坐标为（2，-2）；C′坐标为（-3，0）；（3）22
AB=+=
62210
22
AC=+
1417
22
BC+=．
2529.
则△ABC的周长为2101729
【点睛】
此题考查了旋转作图及中心对称、勾股定理的知识，解答本题的关键是根据旋转的三要素，中心对称的性质，得到各点的对应点，难度一般．。