第一中学高二数学上学期期末考试试题理(2021年整理)

福建省永春县第一中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理编辑整理：
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永春一中高二年期末考数学(理)科试卷 （2018。

02）
考试时间：120分钟 试卷总分:150分 本试卷分第I 卷和第II 卷两部分
第I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．
. 1．已知在△ABC 中，角A 是三角形一内角，1
sin 2
A =，则角A ＝（ )
A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．30°或150° 2．抛物线
的准线方程是
，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．8
C ．18
D ．1
4
3．已知向量(2,4,5)a =，(3,,)b x y =分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则（ ）
A ．6,15x y ==
B ．153,2x y ==
C ．3,15x y ==
D ． 156,2
x y == 4．数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =,1224n n a a +=⋅,则5S 的值为（ ）
A ．57
B ．58
C ．62
D ．63 5．短轴长为5，离心率2
3
e =的椭圆的两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则2ABF ∆的周长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
6．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD A B C D ''''-，
A C ''的中点E 与A
B 的中点F 的距离为( ）
A ．2a
B ．
2
2
a C ．a D ．12a
7．已知双曲线22
215
x y a -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线
的距离等于
A ． 5
B ．3
C ．5
D ．42
8．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线
OM （ ）
A ．和AC 、MN 都垂直
B ．垂直于A
C ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于AC
D ．与AC 、MN 都不垂直
9．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为22，若直线3(2)
y x =-+与椭圆交于点M ，满足12211
2
MF F MF F ∠=∠，则离心率是（ )
A ．
2
2
B ．31-
C ．312-
D ．32
10．抛物线24x y =的焦点为F ,设A （x 1,y 1）,B （x 2，y 2）是抛物线上的两个动点，如满足
1223
23
y y AB ++=
，则∠AFB 的最大值（ ） A ．
3
π
B ．23π
C ．34π
D ．
56π 11．如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,平面MCD ⊥平面BCD ，
AB ⊥平面BCD ，23AB =，则点A 到平面MBC 的距离为( ）
A ．2155
B ．15
5 C ．35 D ．235
12．已知A 、B 为椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右顶点,点P 在E 上，在△APB 中，
13
tan ,tan 34
A B ==，则E 的离心率为( ）
A ．31-
B ．
312- C ．3
2
D ．12
二、填空题（本大题共4小题，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．。

） 13．如果椭圆
22
114436
x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于10，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是 ．
14．若直线l 的方向向量(1,1,1)a =，平面α的一个法向量(2,1,1)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦值等于 ．
15．如图，60°的二面角的棱上有A ，B 两点,直线AC ，BD 分别 在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，
AC ＝6,BD ＝8,则CD 的长为 ．
16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率3
2
e =，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不
同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β，则
cos()
cos()
αβαβ-+＝ ．
三、解答题（本大题共6小题,共70分. 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．
.) 17．（本题满分为10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2
5n S n n =+．
(1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和n T ．
18．(本题满分为12分）如图：在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点M 是线段A 1D 的中点，点N 在
线段C 1D 1上，且1111
3
D N D C =，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝AA 1＝1．
（1）求满足1MN xAB yAD zAA =++的实数x 、y 、z 的值．
（2）求AC 1的长．
19．(本题满分为12分）在△ABC 中，内角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，
且2
sin 23cos
32
B
b A a a =-． （1)求角B 的大小．
（2）若43b =，sin cos cos sin 2sin A B A B A +=，求△ABC 的面积．
20．(本题满分为12分)已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于A ，B 两点． （1）求证:OA ⊥OB ；
（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．
21．（本题满分为12分）如图，直角梯形ABCD 中,∠DAB ＝90°，AD ∥BC ,AB ＝2,32
AD =
，1
2
BC =
．椭圆F 以A 、B 为焦点且过点D ． （1）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程; （2）若点E 满足1
2
EC AB =
,是否存在斜率k ≠0的直线l 与 椭圆F 交于MN 两点，且ME NE =，若存在，求K 的取值范围；若不存在，说明理由．
22．(本题满分为12分）如图，四棱锥P -ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形,其中DA ⊥AB ，AD ∥BC ，PA ＝2AD ＝BC ＝2，AB ＝22．
（1）求异面直线PC 与AD 所成角的大小；
（2）若平面ABCD 内有一经过点C 的曲线E ,该曲线上的任一动点Q 都满足PQ 与AD 所成角的大小恰等于PC 与AD 所成角试判断曲线E 的形状并说明理由;
(3)在平面ABCD 内，设点Q 是（2）题中的曲线E 在直角梯形ABCD 内部（包括边界）的一段曲线CG 上的动点，其中G 为曲线E 和DC 的交点以B 为圆心，BQ 为半径r 的圆分别与梯形的边
AB 、BC 交于M 、N 两点当Q 点在曲线段CG 上运动时,试求圆半径r 的范围及P BMN V 的范围．
永春一中高二年期末考数学（理)科试卷答案 （2018。

02)
1．D 2．C 3．D 4．A 5．B 6．B 7．A
8．A 9．B 10．B 11．A 12．C
13．14 14．23
15．217 16．35
17．解：(1)当时,—--—--1分
当
时,
--—---—4分
化简，得：检验，时，代入上式符合．
则；—-—--——5分
（2）解:由题意知：
， —---——-—--—7分
,——---——-9分
解得:． ——-——-——10分
18．解：
所以分
分
19．解:化为：，-——--2分
由正弦定理，得：，
又三角形中，，
化简，得：即：，———---—--—5分
又:中，，得：；-—-—-—--6分
把化为:，
由三角形内角和定理，得：，-——7分根据正弦定理,得:,又,—-——--8分
结合余弦定理：，即为，
解得：，-—-—--—10分
由面积公式:，得：．--—-——12分20．解：证明：由方程
消去x后，整理得
．
设、,由韦达定理．-——-2分
、B在抛物线上，
．————-—4分
，
．———--——6分
设直线与x轴交于N，又显然，
令，则，即．-—————7分
，——--—-9分
．
,
解得．---——-12分
21．解:（1）以AB中点为原点所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图
则．设椭圆F 的方程为，由得，
所求椭圆F方程．
（2）由得．
显然时不合条件，设l方程代入，得
．
l与椭圆F有两不同公共点的充要条件是，即．设，中点为等价于，
．
，得，得，得．
代入得得．
又，故k取值范围为．
22．解:（1)如图,以A为原点，直线AB为x轴、直线AD为y轴、直线AP为z轴，建立空间直角坐标系．
于是有．
则有，又．
则异面直线PC与AD所成角满足，
所以异面直线PC与AD所成角的大小为．
（2)设点，点、点、点，
则，
则,
化简整理得到,
则曲线E是平面ABCD内的双曲线．
（3）在如图所示的xOy的坐标系中，因为、、，设则有，故DC的方程为，
代入双曲线E：的方程可得，,其中．因为直线DC与双曲线E交于点C，故进而可得，即．
故双曲线E在直角梯形ABCD内部包括边界的区域满足．
又设为双曲线CG上的动点，．所以，
因为，所以当时，；
当时，．
而要使圆B与AB、BC都有交点，则．
故满足题意的圆的半径取值范围是．
因为，所以体积为故问题可以转化为研究的面积又因为为直角，所以必为等腰直角三角形．
由前述,设,则，
故其面积，所以．
于是，．当Q点运动到与点C重合时，体积取得最大值；当Q点运动到横坐标时，
即长度最小时，体积取得最小值．。