人教A版选修2-1第三章3.2.4空间向量与空间距离达标过关训练

3.2.4 空间向量与空间距离
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，已知点A (2,3,4)，B (－2,1,0)，C (1,1,1)，那么点C 到AB 中点M 的距离为( )
A ．1
B ． 3
C ．2
D ． 5
解析：∵M (0,2,2)，C (1,1,1)， ∴|CM |＝(0－1)2＋(2－1)2＋(2－1)2＝ 3.
答案：B
2．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离是( )
A ．10
3 B ．8
3 C ．3
D ．10
解析：∵P A →
＝(－1,3,0)－(－2,1,4)＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，∴P 到α的距离是d ＝|P A →
·n ||n |＝|－2－4－4|4＋4＋1
＝10
3.
答案：A
3．如图所示，在几何体A －BCD 中，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD ，且AB ＝BC ＝1，CD ＝2，点E 为CD 中点，则AE 的长为( )
A ． 2
B ． 3
C ．2
D ． 5
解析：∵AE →＝AB →＋BC →＋CE →，|AB →|＝|BC →|＝1，|CE →|＝1，且AB →·BC →＝AB →·CE →＝
BC →·CE
→＝0， ∴AE →2＝(AB →＋BC →＋C E →)2＝AB →2＋BC →2＋CE →2＝3， ∴|AE →|＝ 3.
答案：B
4．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )
A ．33
B ．1
C ． 2
D ． 3
解析：如图，∵A 1C 1∥平面ABCD ，∴A 1C 1到平面ABCD 的距离等于点A 1到平面ABCD 的距离，即正四棱柱的高，由已知∠B 1AB ＝60°，AB ＝1，∴BB 1＝AB tan 60°＝ 3.
答案：D
5．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离是( )
A ．233
B ．223
C ．23
D ．43
解析：建立空间直角坐标系如图．B 1(2,2,2)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，C 1(0,2,2)．
∴B 1F →＝(－1,0，－2)，B 1E →＝(0，－1，－2)． 设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则由⎩⎨⎧
n ·
B 1E →
＝0，n ·
B 1F →
＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
－y －2z ＝0，
－x －2z ＝0.
令z ＝－1，得n ＝(2,2，－1)．
又∵C 1B 1→
＝(2,0,0)，∴点C 1到平面B 1EF 的距离为d ＝|n ·C 1B 1→
||n |＝43. 答案：D 二、填空题
6．设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,0)，B (2,2,0)， ∴D 1A 1→＝(2,0,0)，DA 1→＝(2,0,2)，DB →＝(2,2,0)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎨⎧
n ·DA 1→
＝2x ＋2z ＝0，n ·
DB →＝2x ＋2y ＝0.
令x ＝1，得n ＝(1，－1，－1)． ∴点D 1到平面A 1BD 的距离为 d ＝|D 1A 1→·
n ||n |＝23＝233.
答案：23
3
7．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，将菱形沿BD 折成一个120°的二面角A －BD －C ，则A 与C 两点间的距离为________．
解析：设AC ∩BD ＝O ，则∠AOC ＝120°，在△AOC 中，AO ＝CO ＝3，由余弦定理，得AC 2＝AO 2＋CO 2－2AO ×CO cos 120°＝3＋3－2×3×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝9，
∴AC ＝3.
答案：3
8．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，CC 1＝2，则平面A 1BC 1与平面ACD 1的距离是________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .
则A (3,0,0)，A 1(3,0,2)，B (3,4,0)，C 1(0,4,2)， ∴A 1C 1→＝(－3,4,0)，A 1B →
＝(0,4，－2)．
设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧
n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B →
＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
－3x ＋4y ＝0，4y －2z ＝0.
令z ＝2，得n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
43，1，2.
又AA 1→＝(0,0,2)，∴点A 到平面A 1BC 1
的距离为d ＝|AA 1→·
n ||n |＝461
9＝126161.
易知平面A 1BC 1∥平面ACD 1，∴两平面之间的距离为1261
61. 答案：1261
61 三、解答题
9．已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别是AB ，BC 的中点．
(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离．
解：(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．
则P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1，0.
∴EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，－1.
设平面PEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·EF →＝0，且n ·PE →＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－12x ＋1
2y ＝0，
x ＋12y －z ＝0.
令y ＝2，得x ＝2，z ＝3. ∴n ＝(2,2,3)．又DP
→＝(0,0,1)， ∴点D 到平面PEF 的距离为 d ＝|DP →·n ||n |＝317
＝31717.
因此，点D 到平面PEF 的距离为317
17.
(2)∵EF ∥AC ，AC ⊄平面PEF ，∴AC ∥平面PEF . ∴AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离．
∵AE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴点A 到平面PEF 的距离为d ＝|AE →·n ||n |＝117
＝1717.
∴直线AC到平面PEF的距离为
17 17.
10．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝AE＝2.
(1)求证：BD⊥平面ACFE；
(2)当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求CF的长度．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC.
∵AE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥AE.
∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACFE.
(2)如图，以O为原点，OA，OB为x轴，y轴的正方向，z轴过点O且平行于CF，建立空间直角坐标系，
则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，E (1,0,2)， 设F (－1,0，a )(a >0)， 则OF
→＝(－1,0，a )， 设平面EDB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·OB →＝0，n ·
OE →＝0，得⎩⎨⎧
3y ＝0，x ＋2z ＝0.
令z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．
由题意得sin 45°＝|cos 〈OF →，n 〉|＝|OF →·n ||OF →||n |＝|2＋a |a 2＋1·5＝22，
解得a ＝3或a ＝－1
3， ∵a >0，∴a ＝3， ∴CF 的长度为3.。