2.3 线性方程组性态
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2 x 2
（精确解为
）
解.1、
A
1
0 .8 6 4 8 10 1 .2 9 6 9
8
0 .1 4 4 0 , cond 0 .2 1 6 1
A
3 .2 7 1 0 ,
8
0 .2 1 6 1 2、 A , b 1 .2 9 6 9
A A ,
1
而
A
1
. A 1
由定理1.5知
A E A A
1
E A A
1
非奇异,且由 A 非奇异知
非奇异。
A x A x A x A x b b
2、 A A x x
A x A x A x b A x A x A x b
x A A x A A x A b
1
1
1
取与 R n n 中范数相容的
x A x A
1
R
n
中向量范数，有
x A x A
1
A A
x A
1
A A
b b
1
x A
1
1
1 A
1
A 0, b A x A
x x
1 2
5 0 %。
定义2 设 A R n n , A 0 ，若 A 的条件数越大，则称 线性方程组 A x b 病态越严重；若 A 的条件数越小，则 称线性方程组 A x b 越良态。
第二章 线性方程组数值解法
§3
线性方程组的性态与矩阵的条件数
b，其中，A R n n , A 0, b 0 ，
一、线性方程组的性态 设有 阶线性方程组 A x
由于观测误差等原因，A 和 b 得到的数据都带有误差， 称
A
和 b 有扰动。若它们的扰动对方程组的解影响不
大，则该方程组稳定性好，否则要考虑重新建模。
1 .1 4 4 1 0 .8 6 4 8
0 .1 4 4 0 1 .2 9 6 9 0 .8 6 4 2 0
0 .8 6 4 8 10
8
0 .8 6 4 2 8 10
1 .3 3 3 3 1 7 9 1 0 .6 6 6 8 2 0 9 x x , x , 1 1
1、仅考虑
设
x R
n
b
有扰动
b
n
b
x x
是 Ax
的唯一解，则
是A x x b b 的
A b。取 R
1
解，其中， x R 。易见， x b , x A
n n
中与
R 中某向量范数相容的范数，有
n
x A x
1
b ,
1
的解， x R 。若存在
R
n n
中某算子范数使
A
，则
1、 A x x b b 有唯一解； A 2、
Δx x A 1- A
-1
A
-1
ΔA Δb + A b ΔA
。
证明.1、 A A A E
1
b A
x ,
b A
b
A
x
Δx x
≤ A
A
-1
Δb b
。
2、仅考虑
A
有扰动 A
设 x x 是 A A x x b 的解。
易见， A x
Ax A x x b
， x
A A x x
1
。
解.1、 A
1
1 10 1
4
1 .0 0 0 1 , cond 1
T
A
2 .0 0 0 1 2 .0 0 0 1 1 0 4 1 0 ,
4 4
A x b 的解为 x 2 , 0 。
2、 A x x b b 的解为 x x 1,1
b b x x
T。ຫໍສະໝຸດ 0 .0 0 0 1 2
0 .0 0 5 % ,
1 2
5 0 %。
例5、设有线性方程组 A x b , 1、求 co n d A ； 2、八位十进制用列主元消元法求其解。
0 .2 1 6 1 A 1 .2 9 6 9 0 .1 4 4 1 0 .1 4 4 0 ,b , 0 .8 6 4 8 0 .8 6 4 2
取 R n n 中与 R n 中某向量范数相容的范数，有
x A
1
A
x x
-1
Δx x + Δx
A
ΔA A
A
。
3、一般情况 定理5 设 A , A R
n
n n
, b , b R , A 0 , b 0 ，x R
n
n
是A x b
1 A
例如
设有n阶线性方程组A x
1 .0 0 0 1 A 2 .0 0 0 1
b
，其中，
1 .9 9 9 9 2 .0 0 0 0 1 . ,b 2 .9 9 9 9 1 .0 0 0 0 1
由于观测误差等原因，A 和
1 A A 2
b
得到的数据都带有误差，
则扰动为
2 2 ,b b , 3 1
0 .0 0 0 1 A 0 .0 0 0 1
0 .0 0 0 1 0 .0 0 0 1 , , b 0 .0 0 0 1 0 .0 0 0 1
x ,1
1
A b
x ,
1 A
1
A
x A
1
A
x A
b A b x
Δx x
A 1- A
-1
A
-1
ΔA Δb + A b ΔA
。
二、矩阵的条件数
定义1 若 A R n n , A 0 ，则称
A A
1
为A 的条件
数，记为 c o n d A 。
例4、设有线性方程组 A x b ,
1、求 co n d A 和 A x b 的解；
2、若 b 0 .0 0 0 1, 0
1 A 1
T
，求 A x x b b 的解，其中
1 .0 0 0 1 2 , b 。 1 2
（精确解为
）
解.1、
A
1
0 .8 6 4 8 10 1 .2 9 6 9
8
0 .1 4 4 0 , cond 0 .2 1 6 1
A
3 .2 7 1 0 ,
8
0 .2 1 6 1 2、 A , b 1 .2 9 6 9
A A ,
1
而
A
1
. A 1
由定理1.5知
A E A A
1
E A A
1
非奇异,且由 A 非奇异知
非奇异。
A x A x A x A x b b
2、 A A x x
A x A x A x b A x A x A x b
x A A x A A x A b
1
1
1
取与 R n n 中范数相容的
x A x A
1
R
n
中向量范数，有
x A x A
1
A A
x A
1
A A
b b
1
x A
1
1
1 A
1
A 0, b A x A
x x
1 2
5 0 %。
定义2 设 A R n n , A 0 ，若 A 的条件数越大，则称 线性方程组 A x b 病态越严重；若 A 的条件数越小，则 称线性方程组 A x b 越良态。
第二章 线性方程组数值解法
§3
线性方程组的性态与矩阵的条件数
b，其中，A R n n , A 0, b 0 ，
一、线性方程组的性态 设有 阶线性方程组 A x
由于观测误差等原因，A 和 b 得到的数据都带有误差， 称
A
和 b 有扰动。若它们的扰动对方程组的解影响不
大，则该方程组稳定性好，否则要考虑重新建模。
1 .1 4 4 1 0 .8 6 4 8
0 .1 4 4 0 1 .2 9 6 9 0 .8 6 4 2 0
0 .8 6 4 8 10
8
0 .8 6 4 2 8 10
1 .3 3 3 3 1 7 9 1 0 .6 6 6 8 2 0 9 x x , x , 1 1
1、仅考虑
设
x R
n
b
有扰动
b
n
b
x x
是 Ax
的唯一解，则
是A x x b b 的
A b。取 R
1
解，其中， x R 。易见， x b , x A
n n
中与
R 中某向量范数相容的范数，有
n
x A x
1
b ,
1
的解， x R 。若存在
R
n n
中某算子范数使
A
，则
1、 A x x b b 有唯一解； A 2、
Δx x A 1- A
-1
A
-1
ΔA Δb + A b ΔA
。
证明.1、 A A A E
1
b A
x ,
b A
b
A
x
Δx x
≤ A
A
-1
Δb b
。
2、仅考虑
A
有扰动 A
设 x x 是 A A x x b 的解。
易见， A x
Ax A x x b
， x
A A x x
1
。
解.1、 A
1
1 10 1
4
1 .0 0 0 1 , cond 1
T
A
2 .0 0 0 1 2 .0 0 0 1 1 0 4 1 0 ,
4 4
A x b 的解为 x 2 , 0 。
2、 A x x b b 的解为 x x 1,1
b b x x
T。ຫໍສະໝຸດ 0 .0 0 0 1 2
0 .0 0 5 % ,
1 2
5 0 %。
例5、设有线性方程组 A x b , 1、求 co n d A ； 2、八位十进制用列主元消元法求其解。
0 .2 1 6 1 A 1 .2 9 6 9 0 .1 4 4 1 0 .1 4 4 0 ,b , 0 .8 6 4 8 0 .8 6 4 2
取 R n n 中与 R n 中某向量范数相容的范数，有
x A
1
A
x x
-1
Δx x + Δx
A
ΔA A
A
。
3、一般情况 定理5 设 A , A R
n
n n
, b , b R , A 0 , b 0 ，x R
n
n
是A x b
1 A
例如
设有n阶线性方程组A x
1 .0 0 0 1 A 2 .0 0 0 1
b
，其中，
1 .9 9 9 9 2 .0 0 0 0 1 . ,b 2 .9 9 9 9 1 .0 0 0 0 1
由于观测误差等原因，A 和
1 A A 2
b
得到的数据都带有误差，
则扰动为
2 2 ,b b , 3 1
0 .0 0 0 1 A 0 .0 0 0 1
0 .0 0 0 1 0 .0 0 0 1 , , b 0 .0 0 0 1 0 .0 0 0 1
x ,1
1
A b
x ,
1 A
1
A
x A
1
A
x A
b A b x
Δx x
A 1- A
-1
A
-1
ΔA Δb + A b ΔA
。
二、矩阵的条件数
定义1 若 A R n n , A 0 ，则称
A A
1
为A 的条件
数，记为 c o n d A 。
例4、设有线性方程组 A x b ,
1、求 co n d A 和 A x b 的解；
2、若 b 0 .0 0 0 1, 0
1 A 1
T
，求 A x x b b 的解，其中
1 .0 0 0 1 2 , b 。 1 2