教育最新K122018年高考数学二轮复习14个填空题专项强化练十三双曲线和抛物线

14个填空题专项强化练(十三) 双曲线和抛物线
A 组——题型分类练
题型一 双曲线
1．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2
6＝1的离心率为________．
解析：由已知得，a ＝3，b ＝6，则c ＝a 2
＋b 2
＝3，所以e ＝c a
＝ 3. 答案： 3
2．已知双曲线x 2a －y 2
20
＝1(a >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，则该双曲线的焦距为
________．
解析：由题意得，25
a
＝2，所以a ＝5，所以c ＝5＋20＝5，所以该双曲线的焦距为
10.
答案：10
3．已知双曲线x 2a －y 2
b
＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0,4)两
点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________．
解析：由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线， 则其渐近线方程为y ＝±x ，
故由P (0,4)，知左焦点F 的坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，则a 2
＝b 2
＝c 2
2＝8.
故双曲线的方程为x 28－y 2
8＝1.
答案：x 28－y 2
8
＝1
4．已知F 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F
且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为________．
解析：由题意得E (a,0)，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2
a ，显然△ABE 是等腰三角形，故当△ABE 是锐角三角形时，∠AEB ＜90°，从而
b 2a
＜a ＋c ，化简得c 2－ac －2a 2＜0，即e
2
－e －2＜0，解得－1＜e ＜2，又e ＞1，故1＜e ＜2.
答案：(1,2)
5．若双曲线x 24－y 2
12＝1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1,4)，则PF ＋PA
的最小值是________．
解析：由题意知，双曲线x 24－y 2
12
＝1的左焦点F 的坐标为(－4,0)，设双曲线的右焦点为
B ，则B (4,0)，由双曲线的定义知，PF ＋PA ＝4＋PB ＋PA ≥4＋AB ＝4＋
－
2
＋－
2
＝4＋5＝9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．
答案：9
6．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线
的左、右两支分别交于A ，B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．
解析：如图，由双曲线定义得，BF 1－BF 2＝AF 2－AF 1＝2a ，因为△ABF 2
是正三角形，所以BF 2＝AF 2＝AB ，因此AF 1＝2a ，AF 2＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a ×4a ×12
＝28a 2
，所以e ＝7.
答案：7 题型二 抛物线
1．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2
＝4x 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标是________．
解析：因为抛物线方程为y 2
＝4x ，所以焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，设PA ⊥
l ，A 为垂足，
所以PF ＝PA ＝x P －(－1)＝3， 所以点P 的横坐标是2. 答案：2
2．若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是________．
解析：由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2
＝12y .
答案：x 2
＝12y
3．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2
＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据对称性：A ，B 关于x 轴对称，故∠AOx ＝30°.
直线OA 的方程y ＝
3
3
x ，代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0，解得x ＝0或x
＝6.即得A 的坐标为(6,23)，所以AB ＝4 3.故正三角形OAB 的面积为1
2
×43×6＝12 3.
答案：12 3
4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2
＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，
PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．
解析：∵抛物线方程为y 2
＝6x ，
∴焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线l 的方程为x ＝－32.
∵直线AF 的斜率为－3，
∴直线AF 的方程为y ＝－3⎝
⎛⎭
⎪⎫x －32
， 当x ＝－3
2
时，y ＝33，
由此可得A 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，33. ∵PA ⊥l ，A 为垂足，∴P 点纵坐标为33，代入抛物线方程，得P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，33，
∴PF ＝PA ＝92－⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32＝6.
答案：6
5．已知抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP ―→＝4FQ ―→
，则QF ＝________.
解析：如图，过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP ―→＝4FQ ―→
，所以PQ ∶PF ＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以QF ＝QQ ′＝3.
答案：3
6.如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点(0,3)的直线与抛物线
交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若AF ＋BF ＝6，则点D 的横坐标为________．
解析：由题意知，抛物线y 2
＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，如图，设AB 的中点为H ，A ，B ，H 在准线上的射影分别为A ′，B ′，H ′，连结AA ′，BB ′，HH ′，
则HH ′＝1
2(AA ′＋BB ′)．由抛物线的定义可得，AF ＝AA ′，BF
＝BB ′，又AF ＋BF ＝6，所以AA ′＋BB ′＝6，HH ′＝1
2
×6＝3，故点
H 的横坐标为2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋3(k ≠0)，代入抛物线的
方程，可得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0，Δ＝(6k －4)2－36k 2
＞0，解得k ＜13且k ≠0，又x 1＋x 2
＝4－6k k 2＝4，所以k ＝－2或k ＝12(舍去)，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋3，AB 的中点为H (2，
－1)，AB 的垂直平分线的方程为y ＋1＝1
2
(x －2)，令y ＝0，得x ＝4，故点D 的横坐标为4.
答案：4
B 组——高考提速练
1．若抛物线y 2
＝8x 的焦点恰好是双曲线x 2a 2－y 2
3
＝1(a >0)的右焦点，则实数a 的值为
________．
解析：抛物线y 2
＝8x 的焦点为(2,0)，双曲线x 2a 2－y 23
＝1(a >0)的右焦点为(a 2
＋3，0)，
由题意得，a 2
＋3＝2，解得a ＝1.
答案：1
2．若双曲线x 2
－y 2
m
＝1的离心率为3，则实数m ＝________.
解析：由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2
＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以e ＝1＋m 1
＝3，解得m ＝2.
答案：2
3．已知直线2x －3y ＝0为双曲线x 2a －y 2
b
＝1(a >0，b >0)的一条渐近线，则该双曲线的
离心率为________．
解析：由题意得，b a
＝
23
，可设a ＝3k ，b ＝2k ，则c ＝a 2＋b 2
＝7k ，所以离心率e
＝c a ＝
213
. 答案：
213
4．抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线截圆x 2
＋y 2
－2y －1＝0所得的弦长为2，则p ＝________. 解析：抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p
2
，而圆化成标准方程为x 2＋(y －1)
2
＝2，圆心坐标为(0,1)，半径为2，圆心到准线的距离为p
2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22
＋1＝(2)2
，解得p
＝2.
答案：2
5．已知F 是抛物线C ：y 2
＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN ＝________.
解析：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.
答案：6
6．已知双曲线C ：x 2
3－y 2
＝1与直线l ：x ＋ky ＋4＝0，若直线l 与双曲线C 的一条渐近
线平行，则双曲线C 的右焦点到直线l 的距离是________．
解析：由题意得，双曲线C ：x 2
3－y 2
＝1的右焦点F (2,0)，其渐近线方程为y ＝±33x ，
又直线l ：x ＋ky ＋4＝0与双曲线C 的一条渐近线平行，所以k ＝±3，所以直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0，所以双曲线C 的右焦点到直线l 的距离d ＝|2＋4|
2
＝3.
答案：3
7.如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以
坐标原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为A ，
B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．
解析：连结AF 1，依题意得AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝30°，AF 1＝c ，AF 2
＝3c ，因此该双曲线的离心率e ＝
F 1F 2AF 2－AF 1＝2c
3c －c
＝3＋1.
答案：3＋1
8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋
y 2
3
＝1有公共焦点，则C 的方程为______________．
解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝5
2
x ， 可知b a ＝
5
2
.① 又椭圆x 212＋y 2
3＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，
所以a 2
＋b 2
＝9.②
根据①②可知a 2
＝4，b 2
＝5，
所以C 的方程为x 24－y 2
5＝1.
答案：x 24－y 2
5
＝1
9．对于给定的双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，称圆心是双曲线的焦点且与双曲线
只有一个公共点的圆是双曲线C 的“焦点圆”．若双曲线C 的一个焦点为F 1(5,0)，且经过点⎝
⎛⎭⎪⎫13，83，则圆心为F 1的“焦点圆”的方程是________． 解析：由条件得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＋
b 2
＝25，13a 2－64
9b
2＝1，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝4，
故双曲线的方程为x 29－y 2
16
＝1，右顶
点为(3,0)，根据新定义可知，所求圆的半径r ＝2，从而所求“焦点圆”的方程为(x －5)2
＋y 2
＝4.
答案：(x －5)2
＋y 2
＝4
10．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2
－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2
＝8ax 与双曲线的一个交点，若PF 1＋PF 2＝12，则抛物线的准线方程为________．
解析：将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 2
3a
2＝1，
∴其焦点坐标为(±2a,0)，(2a,0)与抛物线的焦点重合，
联立抛物线与双曲线方程得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2a 2－y 2
3a
2＝1，
y 2＝8ax
⇒x ＝3a ，
而由⎩
⎪⎨
⎪⎧
PF 1＋PF 2＝12，
PF 1－PF 2＝2a ⇒PF 2＝6－a ，
∴PF 2＝3a ＋2a ＝6－a ，得a ＝1，
∴抛物线的方程为y 2
＝8x ，其准线方程为x ＝－2. 答案：x ＝－2
11．已知F 为抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与
C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于
D ，
E 两点，则AB ＋DE 的最小值为________．
解析：抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F (1,0)， 由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0. 不妨设直线l 1的斜率为k ，
则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1
k
(x －1)，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x ，y ＝k x －消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2
＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝2k 2
＋4k 2＝2＋4k
2，
由抛物线的定义可知，
|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4
k
2.
同理得|DE |＝4＋4k 2
， ∴|AB |＋|DE |＝4＋4k
2＋4＋4k 2
＝8＋4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1k
2＋k 2≥8＋8＝16，
当且仅当1k
2＝k 2
，即k ＝±1时取等号，
故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案：16
12．已知F 为抛物线y 2
＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA ―→·OB ―→＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________．
解析：设直线AB 的方程为x ＝ny ＋m ，且与x 轴的交点为M (如图)，
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)，
∵OA ―→·OB ―→
＝2，∴x 1x 2＋y 1y 2＝2. 又y 2
1＝x 1，y 2
2＝x 2，∴y 1y 2＝－2.
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2＝x ，x ＝ny ＋m ，得y 2
－ny －m ＝0，
∴y 1y 2＝－m ＝－2，∴m ＝2，即点M (2,0)． 又S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO
＝12·OM ·|y 1|＋1
2
·OM ·|y 2|＝y 1－y 2， S △AFO ＝1
2OF ·|y 1|＝18
y 1，
∴S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋18y 1
＝98y 1＋2y 1
≥298y 1·2
y 1
＝3，
当且仅当y 1＝4
3时，等号成立．
答案：3
13.如图，已知点P 在以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b
＞0)上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知四边形F 1F 2PQ 的边长为2c ，连结QF 2，由对称性可知，QF 2＝QF 1＝2c ，则三角形QPF 2为等边三角形．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则∠PF 2H ＝60°，因为PF 2＝2c ，所以在直角三角形PF 2H 中，PH ＝3c ，HF 2＝c ，则P (2c ，3c )，连结PF 1，则PF 1＝23c .由双曲线的定义知，2a ＝PF 1－PF 2＝23c －2c ＝2(3－1)c ，所以双曲线的离心率为c a
＝
1
3－1
＝3＋1
2
. 答案：
3＋1
2
14．已知直线l ：y ＝2x ＋3a 与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左支交于A ，B 两点，则
双曲线的离心率e 的取值范围是________．
解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋3a ，x 2a 2－y
2
b
2＝1消去y ，得(b 2－4a 2)x
2
－12a 3
x －9a 4
－a 2b 2
＝0，
∴x 1＋x 2＝12a 3
b 2－4a 2，x 1x 2＝－
9a 4
＋a 2b
2
b 2－4a 2
， ∵直线AB 与双曲线的左支交于A ，B 两点，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＞0，
x 1
＋x 2
＝12a 3
b 2
－4a 2
＜0，x 1x 2
＝－9a 4
＋a 2b
2b 2
－4a
2
＞0，得b 2＜4a 2，即c 2－a 2＜4a 2，∴c 2＜5a 2，∴e 2
＜5，
故1＜e ＜ 5.
法二：由题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，直线l ：y ＝2x ＋3a 过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32a ，0，
且与双曲线的左支交于A ，B 两点，则直线l 要比渐近线更陡，即2＞b
a
，b ＜2a ，即
b
2＜4a 2
，
c2－a2＜4a2，∴c2＜5a2，∴e2＜5，故1＜e＜ 5.
答案：(1，5)。