中考数学 与圆有关的计算

中考数学 与圆有关的计算
(时间：45分钟 分值：69分)
课时26 与圆有关的计算
评分标准：选择填空每题3分．
基础过关
1．(2021 衢州)已知扇形的半径为 6，圆心角为 150°，则它的面积是
(D)
A．32 π
B．3 π
C．5 π
D．15 π
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2．一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是
(1)求证：BC∥OP； 证明：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB． ∵OA＝OB，∴OP⊥AB． ∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°． ∴BC⊥AB．∴BC∥OP．
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(2)若 E 恰好是 OD 的中点，且四边形 OAPB 的面积是 16 3，求阴 影部分的面积；
解：∵OE＝DE，AB⊥OD，∴AO＝AD． ∵OA＝OD，∴AD＝OA＝OD． ∴△AOD 是等边三角形．∴∠AOD＝60°． 设 OE＝m，则 AE＝BE＝ 3m，OA＝2m，OP＝4m．
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17．(2021 通辽)如图，AB 是⊙O 的弦，AB＝2 3，点 C 是⊙O 上的 一个动点，且∠ACB＝60°，若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，则图中 阴影部分面积的最大值是__4_3π_－___43___．
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18．(8分)(2021 黄石)如图，PA，PB是 ⊙ O 的 切 线 ， A ， B 是 切 点 ， AC 是 ⊙ O 的 直 径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
(2)若 CD＝6，BE＝ 3，求A︵D 的长．
解：如答图 1，连接 OD． 设⊙O 的半径为 r． ∵⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，CD＝6， ∴DE＝21CD＝3，AB⊥CD． 在 Rt△OED 中，OD2＝OE2＋DE2，
答图 1
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即 r2＝(r－ 3)2＋32．解得 r＝2 3．
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10．如图，半径为3的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧上一点， CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．若∠CDE为40°，则图中阴影 部分的面积为__π___．
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11．(2021宜昌)“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用 的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆 心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该 “莱洛三角形”的面积为___(2_π_－__2___3_) __平方厘米．(圆周率用π表示)
∵sin∠DOE＝ODDE＝2 3
＝ 3
23，
∴∠DOE＝60°．∴∠AOD＝120°．
∴A︵D
的长为
120π×2 180
3＝4 3 3π．
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15．(8分)如图，AB是⊙O的直径，延长弦BC到点 D，使得CD＝BC，AD交⊙O于点E，连接BE．
(1)求证：AB＝AD；
证明：如答图2，连接AC．
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拓展提升
16．如图，在⊙O 中，若直径 AB＝4，C，D 为
⊙O 上两点，且分别位于直径 AB 的两侧，C 为A︵B 的
中 点 ， ∠ BCD ＝ 15°， 则 图 中 阴 影 部 分 的 周 长 为 __π3_＋__2___3_＋__2__2___．(结果保留根号和 π)
图的面积为
( C)
A．12π cm2
B．24π cm2
C．15π cm2
D．30π cm2
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5．如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝2，点 D 在 OA 上，
连接 BD，点 C 在A︵B 上，且点 C，O 关于直线 BD 对称，连接 CD，则
图中阴影部分的面积是
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC．
又BC＝CD，∴AC垂直平分BD．
∴AB＝AD．
答图2
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(2)若AB＝8，∠DBE＝22.5°，求阴影部分的面积．
解：如答图2，连接OE． ∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠D． ∵AB为⊙O的直径，∴∠BED＝90°． ∵∠DBE＝22.5°，∴∠ABD＝∠D＝67.5°．
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14 ． (8 分 ) 如 图 ， ⊙ O 的 直 径 AB 垂 直 于 弦 CD ， 垂 足 为 点 E ， 连 接 OC，AC，BD．
(1)求证：∠ACO＝∠CDB； 证明：∵OC＝OA，∴∠A＝∠ACO． ∵∠A＝∠CDB， ∴∠ACO＝∠CDB．
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∵四边形OAPB的面积是16 3，∴12·OP·AB＝16 3． ∴12×4m×2 3m＝16 3．∴m＝2或－2(舍)． ∴OE＝2，AB＝4 3，OA＝2m＝4．
∵OD⊥AB，∴A︵D ＝B︵D ．∴∠AOD＝∠BOD＝60°．
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°． ∴S阴＝S扇形OAB－S△AOB＝12306π0·42－12×4 3×2＝163π－4 3．
24 cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是
( B)
A．8π cm
B．16π cm
C．32π cm
D．192π cm
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3．已知⊙O 的半径是 2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的
边长是
( A)
A．2 2
B．2
C． 2
D．4
4．已知圆锥的高是 4 cm，其底面圆半径为 3 cm，则它的侧面展开
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8．(2021 广东)如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝ 4．分别以点B、点C为圆心，线段BC长的一半为半径作圆弧，交AB， BC，AC于点D，E，F，则图中阴影部分的面积为___4_－__π_外角为40°的正多边形的顶点，若 O为正多边形的中心，则∠AOD的度数为___1_2_0_°___．
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(3)若 sin∠BAC＝13，且 AD＝2 3，求切线 PA 的长． 解：在 Rt△AOE 中，sin∠CAB＝OOEA＝13， 设 OE＝x，则 OA＝OD＝3x． ∴DE＝2x，AE＝ OA2－OE2＝ 3x2－x2＝2 2x． 在 Rt△ADE 中，AD2＝AE2＋DE2，
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12．(2021黔东南州)如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆 锥(接缝处忽略不计)，若该圆锥的底面圆周长为20π cm，侧面积为240π cm2，则这个扇形的圆心角的度数是__1_5_0___度．
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13．如图，在△OAC 中，OA＝4，AC＝2，把△OAC 绕点 A 按顺时 针方向转到△O′AC′，已知点 O′的坐标是(2,2 3)，则在旋转过程中 线段 OC 扫过的阴影部分面积为__2_π___．
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即(2 3)2＝(2 2x)2＋(2x)2．∴x＝1 或－1(舍)． ∴OE＝1，OA＝3，AE＝2 2． ∵PA 是切线，∴PA⊥OA．∴∠OAP＝90°． ∴∠BAC＋∠BAP＝90°，∠APO＋∠PAE＝90°． ∴∠BAC＝∠APO．∴sin∠APE＝sin∠BAC＝13＝APAE． ∴PA＝3AE＝6 2．
( B)
A．23π－
3 3
B．π－4 3 3
C．π3－2 3 3
D．23π－2 3 3
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6．如图，在4×4的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形， O，A，B分别是小正方形的格点，则扇形OAB的弧长为____2_π__．
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7．如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有 观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB)．已知A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB ＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走_(_1_2__π_－__1_8___3_)_ 米．
答图2
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∴∠ABE＝∠ABD－∠DBE＝67.5°－22.5°＝45°． ∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠ABE＝45°． ∴∠AOE＝∠OEB＋∠ABE＝45°＋45°＝90°． ∵AB＝8，∴BO＝EO＝4． ∴S 阴＝S△BOE＋S 扇形 AOE＝21×4×4＋903π6×0 42＝8＋4π．