江西省万年中学2013届高三数学第七次模拟考试试题 理 新人教A版

2013年高考模拟考试理科数学试题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．i 是虚数单位，
1i
i
=+（ ） A ．1122i + B ．1122i -+ C ．1122i + D ．1122
i --
2．集合{}
2,x
A y y x R ==∈，{}2,1,0,1,2
B =--，则下列结论正确的是 （ ）
A ．(0,)A
B =+∞
B ．(
)(,0]R
A B =-∞
C ．
(){}2,1,0R
A B =--
D ．
(
){}1,2R
A B =
3．下列各选项中，与sin 2014︒
最接近的数是（ ） A ．
12 B ．22 C ．1
2
- D ．22-
4． 给出下列四个命题：
①命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”；
②命题“存在2
,10x R x x ∈+-<”的否定是“对任意,x R ∈210x x +->”； ③命题"若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题； ④“1x =-”是“2560x x --=的必要不充分条件. 其中真命题的个数是（ ）
A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5． 已知函数21(10)
()1(01)
x x f x x x +-≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩, 则11
()f x dx -⎰的值为（ ）
A ．21π+ B.421π+ C.41π+ D.2
21π
+
6．如图阅读下面程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）
A.－1
B.1
2
C.2
D.0
7． 已知椭圆2
214
x y +=的焦点为1F ，2F ，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为（ ）
A 2
B ．1
2
C ．26
D 6
112
正视图
俯视图
左视图
1 2 3 4 5 6
7 8
9
8．已知数列{}n a ，{}n b 满足111==b a ，+++∈==
-N n b b a a n
n n n ,21
1, 则数列{}
n a b 的前10项的和为 （ ）
A ．)14(349- B.)14(3410-． C ．)14(319- D ．)14(3
110
-
9．已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，1)4(-=-f ,)(x f 的导函数
)('x f 的图象如图所示。

若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则2
2++b a 的取值范围是( )
A. )
2,3
1
(
B. )
3,21
( C . )0,1(- D. )1,(--∞
10．如图，在直角梯形ABCD 中，,AB AD ⊥
AD =1,DC =3,AB =动点P 在以点C 为圆心且与直线BD 相切
的圆内运动．．．．，设(,)AP AD AB R αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围是（ ）
A ．4(0,)3
B ．5(0,)3
C ．4(1,)3
D ．5
(1,)3
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11.若,αβ是函数2
2
()lg lg 2f x x x =--的两个零点， 则log log αββα+的值为_________.
12.一几何体的三视图如图，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是______________。

13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,,9的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有___________种。

14．如图，一个树形图依据下列规律不断生长：
1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点， 1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和 1个空心圆点．
则第11行的实心圆点的个数是 ．
三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。

（1）（坐标系与参数方程选做题）已知在极坐标系下，点
π2π1,,3,,33A B O ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是极点，则AOB ∆的面积等于_______；
(2)(不等式选做题）关于x 的不等式1
1
11-+>-+x x x x 的解集是____ ____。

O
x
y
y=............第1行 ............第2行 ............第3行 ............第4行 ............第5行 (6)
j
C B A 60︒
四、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分） 已知向量(sin m
x ，1)，向量(3cos n x ，
1
)2
，函数.()()f x m n m .
(1)求()f x 的最小正周期T ； (2)已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，23a
，4c
，
且()f A 恰是()f x 在[0，
]2
上的最大值，求A ，b 和ABC 的面积S .
17．（本小题满分12分）
某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动，活动规则如下：消费 额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券， 假定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在A 区域返券60元；停在
B 区域返券30元；停在
C 区域不返券. 例如：消费218元，可转动转
盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和. （1）若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率；
（2）若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的
金额记为X （元），求随机变量X 的分布列和数学期望. 18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥p ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，Q 为AD 的中点. （1）点M 在线段满足PM tPC =，试确定t 的值，使PA ∥平面MQB ；
（2）在（1）的条件下，若平面PAD 平面ABCD ，且2PA PD AD ===，求平面MQB 与平面CQB 所成角的大小。

19．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的通项公式为2n n a =，数列{}n b 满足2
3
2()02
n n n t b n b -++
=，*(,)t R n N ∈∈。

（1）试确定实数t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；
（2）当数列{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 和1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c 。

设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m 。

20．（本小题满分13分）
已知点P 是圆O ：2
2
3x y +=上的动点，以点P 为切点的切线与x 轴相交于点Q ，直线OP 与直线1x =相交于点N ，若动点M 满足：//,0NM OQ QM OQ ⋅=，记动点M 的轨迹为曲线C 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）若过点()2,0F 的动直线与曲线C 相交于不在坐标轴上的两点,A B ，设AF FB λ=，问在x 轴上是否存在定点E ，使得()
OF EA EB λ⊥-？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，说明理由。

21．（本小题满分14分） 已知函数f (x )=lnx +k
x
，k ∈R
（1）若k =1，求函数f (x )的单调区间；
（2）若f (x )≥2+1 - e x
恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）设g (x )=xf (x ) – k ，若对任意两个实数x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2，总存在g ′(x 0)=g (x 1) - g (x 2)
x 1 - x 2
成立，证明x 0＞x 1
1. 参考答案（数学理科）
一、选择题
ACCAB CDDBD 二、填空题
11．4-；12313．108；14． 55 三、选做题 15（1）
43
3（2）)1,1(-
四、解答题
16.解：(1)2
1
()()sin 13cos 2
f x m n m x x x =+⋅=++
1cos 2311sin 2222x x -=
+++312cos 2222x x =-+sin(2)26
x π
=-+………3分 因为2ω=，所以22
T π
π==………………4分
(2) 由(1)知：()sin(2)26f A A π=-+[0,]2x π∈时,52666x πππ
-≤-≤
由正弦函数图象可知,当26
2
x π
π
-=
时()f x 取得最大值3，
所以26
2
A π
π
-
=
,3
A π
=
………………7分
由余弦定理，2
2
2
2cos a b c bc A =+-
∴2
11216242
b b =+-⨯⨯∴2b =
从而11
sin 24sin 602322
S bc A ==⨯⨯=12分
17.解：设指针落在A,B,C 区域分别记为事件A,B,C.
则111
(),(),()632
P A P B P C =
==………………3分 （Ⅰ）若返券金额不低于30元，则指针落在A 或B 区域.[
所以 111
()()632
p p A p B =+=
+=………………4分 即消费128元的顾客，返券金额不低于30元的概率是1
2
.
（Ⅱ）由题意得，该顾客可转动转盘2次.
随机变量X 的可能值为0，30，60，90，120.………5分
111(0)224P X ==⨯=； 111
(30)2233P X ==⨯⨯=；
11115(60)2263318P X ==⨯⨯+⨯=； 111
(90)2369P X ==⨯⨯=；
111
(120)6636
P X ==⨯=…………10分
所以，随机变量X 的分布列为：
其数学期望40EX =…………12分
18.解：（1）当1
3
t =
时，PA ∥平面MQB 下面证明，若PA ∥平面MQB ，连AC 交BQ 于N
由AQ ∥BC 可得，ANQ ∆∽BNC ∆，所以1
2
AQ AN BC NC ==
PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC 平面MQB MN =，//PA MN ∴ 13PM AN PC AC == 即：13
PM PC =， 所以1
3
t = ………………5分
（2）由PA=PD=AD=2， Q 为AD 的中点，则PQ⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD ，所以PQ⊥平面ABCD ，
以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A （1，0，0），B （0,3,0），Q （0，0，0），P （0，03）……7分 设平面MQB 的法向量为(,,1)n x y =n ，可得
00
,//,00n QB n QB PA MN n MN n PA ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪∴⎨⎨
⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩，
解得(3,0,1)n =………………9分
取平面ABCD 的法向量(0,0,1)m = cos ,2
m n 1
<>=
故平面MQB 与平面CQB 所成角的大小为60°. ……………12分
19.解：（1）当1n =时，113
2()0,2
t b b -++
=得124b t =-，同理：2n =时，
得2164b t =-；3n =时，得3122b t =-，则由1322b b b +=，得3t =。

………………2分
而当3t =时，2
32(3)02
n n n b n b -++=，得2n b n =由12n n b b +-=，知此时数列{}n b 为
等差数列。

………………4分
（2）由题意知，1
123425678932,2,4,2,8,c a c c c a c c c c c a ============
则当1m =时，12224T c =≠=，不合题意，舍去；
当2m =时，212342T c c c =+==，所以2m =成立； ………………6分
当3m ≥时，若12m c +=，则12m m T c +≠，不合题意，舍去；从而1m c +必是数列{}n a 中的某一项1k a +，则
123123422222222k m k b b b b T a a a a a =++
++++
++++
++++++
+个
个
个
个
23123(2222)2()
k k b b b b =+++
+++++
+
12(22)2(21)222222k k k k
k k ++=-+⨯
=++-，………………9分 又1
112222k m k c a +++==⨯， 所以1
22
222k k k +++-=122k +⨯，即2210k k k --+=， 所以221(1)k k k k k +=+=+因为*
21()k k N +∈为奇数，
而2
(1)k k k k +=+为偶数，所以上式无解。

即当3m ≥时，12m m T c +≠综上所述，满足题意的正整数仅有2m =.……………12分
20．解：（1）设点M 的坐标为(),x y ，相应的点P 的坐标为()00,x y ，则22
003x y +=，
直线PQ 的方程为：003x x y y +=，所以点Q 的坐标为03,0x ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 直线OP 的方程为：0
y y x x =，所以点N 的坐标为001,y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 因此：00
03x x y y x ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩，即：0033x x y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，………………………………………………4分
所以曲线C 的方程为：2
2
333y x x ⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即22131x y -=；…………………6分
（2）设存在定点(),0E t 使得()
OF EA EB λ⊥-，
设直线AB 的方程为：2x my =+()0m ≠，点()()1122,,,A x y B x y 由AF FB λ=得到12y y λ-=，即1
2
y y λ=-
，…………………………………7分 ()1212,EA EB x t x t y y λλλλ-=--+-，
()
OF EA EB λ⊥-得到：()()1
12122
y x t x t x t x t y λ-=-⇒-=-
-， 即：()()1212220my t y y my t +-++-=，即()()1212220my y t y y +-+=（1） …………………………………………………………………………………9分
由方程组：22
2
13
x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得到：()22233my y +-=，即()22
3410m y my -++=， 所以：2
30,m -≠且121222
41
,33
m y y y y m m -+=
=--，代入（1）式得到：
()22242033
t m m m m -+=--， 要对满足0m ≠且2
30m -≠的实数m 恒成立， 只需要()2240t +-⨯=，即3
2
t =， 所以存在定点3,02E ⎛⎫
⎪⎝⎭
使得()
OF EA EB λ⊥-。

……………………………13分 21．解：（ 1）当k =1时，函数f (x )=lnx +1x ，则f ′(x )= 1x - 1x 2 = x -1
x
2 ，当f ′(x )<0时，
0<x <1，当f ′(x )>0时，x >1，则函数f (x )的单调递减区间为（0,1），单调递增区间为
（1，+∞）
（2）f (x )≥2+1-e x 恒成立，即lnx +k x ≥2+1-e
x
恒成立，整理得k ≥2x -xlnx +1-e 恒成立
设h (x )= 2x -xlnx +1-e ，则h ′(x )=1-lnx ，令h ′(x )=0，的x =e
当x ∈（0，e ）时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增，当x ∈（e ，+∞）时，h ′(x )<0，函数
h (x )单调递减
因此当x =e 时，h (x )取得最大值1，因而k ≥1
（3）g (x )=xf (x )-k =xlnx ，g ′(x )=lnx +1，因为对任意的x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＝总存在x 0＞0，
使得g ′(x 0)=g (x 1)-g (x 2)x 1-x 2成立，所以lnx 0+1=g (x 1)-g (x 2)
x 1-x 2
即lnx 0+1=
x 1lnx 1-x 2lnx 2
x 1-x 2
，
即lnx 0-lnx 1=x 1lnx 1-x 2lnx 2x 1-x 2 -1-lnx 1= x 2lnx 1-x 2lnx 2+x 2-x 1
x 1-x 2 = ln x 1x 2+1-x 1x 2x 1
x 2
- 1
设φ（t ）=lnt +1-t ，其中0＜t ＜1，则φ′(t )=1
t
-1＞0，因而φ(t )在区间（0,1）上单调
递增，φ（t ）＜φ（1）=0，又x 1x 2
-1＜0，所以lnx 0-lnx 1＞0，即x 0＞x 1。