希罗喷泉动力学分析

其中ｙ１、ｙ２ 为 、ａ ｃ 瓶水位的高度，为时间 ｔ 的函数，
·ｙ １、·ｙ ２ 为对应水位下降的速度，ｐ０ 与 ｐ 分别表示 外界大气压与瓶内气体压强，Ａ１、Ａ２ 分别表示 ａ 瓶 与 ｃ 瓶的横截面积，ｇ 为重力加速度．
方程（１）由经典伯努利方程修正而来，伯努利
方程的本质为能量守恒，方程左边三项分别表征动
其中 λ 为阻力系数，ｌ 为流道长度，ｄ 为流管直 径，Ｕ 为管内流速，在层流时，仅与雷诺数有关 ： ［５］
６４ λ＝
（４）
Ｒｅ
由方程（３）与方程（４）可计算管道内沿程能量 损失系数． 对于局部能量损失系数，主要包括流道 突然扩大与流道突然缩小． 设当流道横截面积由Ａ１ 突变成Ａ２，流速由Ｕ１ 变成Ｕ２，阻力损失系数可由经 验公式 ： ［４］
未明确，直至 １８ 世纪中期才形成了初步的定性分
析 世纪末， 利用定常流伯努 ［２］．１９
Ｒ．Ｙ Ｋｅｚｅｒａｓｈｖｉｌｉ［３］
利方程，得出喷口流速、压力差和液体密度的简单关
系，缺少非定常性和能量耗散的分析，其结果无法表
征实际喷泉高度变化．本文在前人基础上，对伯努利
方程进行非定常修正和能量耗散修正，利用数值求
损失与流道形状改变所引起的局部能量损失．对于
沿程能量损失，由达西公式［４］：
ｌ Ｕ２ ｈｌ ＝ λ ｄ ２ｇ
（３）
ｈｍ
＝
ξ
Ｕ
２ ２
２ｇ
（５）
计 流Ａ１
算时．，当计Ａ算２ ＞流Ａ１道时突，计然算缩流小道时突ξ 线能量损失系数写为
能、压力势能与重力势能． 其中 α 为动能修正系
数［４］，此系数来源于利用断面平均流速计算液流动
量时所取的误差修正，是截面上的实际动能与以平
均流速计算的动能的比值，它的值与过流截面上的
流速分布有关，流速分布越不均匀，α 越大． 若流道
中流型为层流，α 的值为 ２．
ｈｆ１为能量损失系数，量纲为 Ｍ，其大小表征能 量损失的多少，主要包括摩擦阻力引起的沿程能量
； 收稿日期： 修回日期：
２０１９ － ０３ － ２５
２０１９ － ０５ － ２０
基金项目：福建省本科高校教育教学改革研究项目（ ）；厦 ＦＢＪＧ２０１８０１３８ 门大学创新创业课程（ ）资 ＫＣ２０１７０２００９ 助
作者简介：彭亮滔（１９９９—），男，福建宁德人，厦门大学物理学系 ２０１７ 级本科生．
图5不同b瓶横截面积的喷泉高度图42喷口相对喷射瓶底部的高度当喷口相对于喷泉底部的高度变高时从方程8等式右侧可以看出喷泉达到喷口需要克服的重力势能变大喷射管道长度减小沿程能量损失变小但由于所需克服的重力势能大于减小的沿程能量损失因此理论上推测当喷口高度变高时喷泉高度将降低
２第０２３０９年卷２第月２ 期
图 ２ 希罗喷泉动力学分析示意图
对于 ａ 瓶与 ｃ 瓶中的流体，建立黏性不可压缩
流体的非定常伯努利方程 ： ［４］
· · ∫
α
ｙ ２
２ １
＋
ｐ０ ρ
＋ｇｙ１
＝
α
ｙ
２
２＋
２
ｐ ρ
＋ｇｙ２ ＋ｇｈｆ１ ＋
２ Ｖ ｄｌ
１ ｔ
（１）
以及连续性方程： · · － ｙ １Ａ１ ＝ ｙ ２Ａ２
（２）
： ： （ ） 中图分类号： 文献标识码 文章编号 Ｏ ３６８
Ａ
１０００ ０７１２ ２０２０ ０２ ００５６ ０６
【 】 ＤＯＩ １０．１６８５４ ／ ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．１９０１２３
Ｈｅｒｏｎｓ ，译 Ｆｏｕｎｔａｉｎ 为希罗喷泉，也被译为海伦
喷泉、英 雄 喷 泉，最 早 由 Ｈｅｒｏｎ ｏｆ Ａｌｅｘａｎｄｒｉａ 提 出．
解的方法解出希罗喷泉高度随时间的变化关系，并
搭建喷泉系统，进行实验验证．
１ 希罗喷泉
希罗喷泉结构很多，有单体、多体之分，但主要 由贮水瓶、连通瓶，喷射瓶以及相连的管道（包括喷 射管道）等部分构成． 结构虽有不同，原理却一脉 相承．
图 １ 希罗喷泉结构示意图
图 １ 为典型的希罗喷泉的简化模型，连通瓶 ｃ 通过进水管道与贮水瓶 ａ 相连，通过连通管道与喷 射瓶 ｂ 相连． 喷射瓶中有一开口导管，作为喷泉喷 射管道． 初始状态时，ａ 瓶与 ｂ 瓶中充满水，ｃ 瓶为 空，且 ｂ 瓶喷口导管被堵住；当松开喷口导管后，ａ 瓶中的水注入 ｃ 瓶，对 ｃ 瓶中的空气造成挤压，ｃ 瓶 上方空气压强增加；ｂ 瓶上方空气压强随之增加（ｂ、 ｃ 瓶以管道相通），挤压瓶中的水，形成喷泉喷出，过 程会持续至 ｃ 瓶中充满水或 ｂ 瓶清空．
２０１８ 年第九届中国大学生物理学术竞赛（ＣＵＰＴ）以
希罗喷泉的探究作为选题 ４，要求构建喷泉系统并
分析其工作原理． 本文作者承担了该选题的研究工
作，并与团队成员一起获得第九届 ＣＵＰＴ 全国赛团
体一等奖．
该题与 ２０１６ 年 ＣＵＰＴ 的题目之一热水喷泉（莫
尔吸管吸入部分热水倒置后产生喷泉现象）都是在
通信作者：姚真瑜， ：
Ｅｍａｉｌ ｚｙｙａｏ＠ ｘｎ源自．ｅｄｕ．ｃｎ第２期彭亮滔，等：希罗喷泉动力学分析
５７
２ 动力学分析
以 ｃ 瓶底部为高度零点，竖直方向为正方向建 立坐标系，如图 ２． 喷泉高度定义为喷射水柱最高点 离喷口的距离． 在 、ａ ｃ 瓶高度差不太大（避免出现 湍流），导管直径远小于容器直径，且毛细效应可忽 略的情况下，作如下的基本假定：水的流型为层流； 水为不可压缩流体；瓶中空气为理想气体；忽略管中 的气体与液体体积．
大 学 物 理
ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖｏｌ．３９ Ｎｏ．２ Ｆｅｂ． ２０２０
櫍殻
櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻
櫍大櫍学櫍生櫍园櫍地櫍 殻
櫍殻
希罗喷泉动力学分析
彭亮滔，陈 婷，姚真瑜
（厦门大学 物理学系，福建 厦门 ） ３６１００５
摘要：本文构建了一个希罗喷泉系统，利用修正后的非定常伯努利方程及连续性方程，在层流与非定常的基本假设下，解
出其动力学方程；使用 Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ 软件并结合实验参数进行数值求解，推导了喷射高度随时间的理论变化关系，并探讨了喷
射瓶的相对放置高度、横截面积、喷射管道直径以及喷口高度等参量对喷泉高度的影响．同时运用 Ｔｒａｃｋｅｒ 软件追踪喷泉高度，
建立了空气弹簧的模型，完成了理论与实验的相互验证．
关键词：希罗喷泉；非定常流动；连续性方程
研究相关参量对喷泉高度的影响，然而两者的工作
原理有本质的不同． 热水喷泉的运作机理是空气传
热 ，管 中 气 体 受 热 膨 胀 对 外 做 功 产 生 喷 泉 ［１］；希 罗
喷泉的产生则是源于密闭于两端液体之间的空气柱
受到上方液体的挤压，压强增大致使下方液体在压
力差的作用下喷涌而出．
希罗喷泉自提出后，其确切的动力学原理一直