江西省八所重点中学九江一中吉安一中等2021届高三数学下学期4月联考试题文

江西省八所重点中学（九江一中、吉安一中等）2021届高三数学下学期4月联
考试题 文
考试时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{12},{2}A x x B x x =-<=>‖∣∣，则A B ⋂=（ ）
A ．(0,3)
B ．(1,4)-
C ．(2,3)
D ．(1,3)-
2．定义：若复数z 与z '满足1zz '=，则称复数z 与z '
互为倒数．已知复数132z i =
+，则复数z 的倒数z '=（ ）
A ．
132i - B ．132i + C ．132i -- D ．13
2i -+
3．若0.21
20212021
2021,sin
,log 0.215
a b c π===，则（ ） A ．c a b << B ．b a c << C ．b c a << D ．c b a << 4．已知向量(3,4),
(,5)a b x ==-，若(2)a a b ⊥+，则x =（ ）
A ．0
B ．2-
C ．10-
D ．6 5．已知角θ终边经过点(2,)P a ，若3
π
θ=-
，则a =（ ）
A ．6
B ．
63 C ．6- D ．63
- 6．执行如下图所示的程序框图，若输入的x 为9-，则输出y 的值为（ ）
A ．4
B ．7
C ．17
D ．27 7．函数1()cos 2
f x x x x π⎛⎫⎛⎫
=-
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的图象可能为（ ） A ． B ． C ． D ．
8．设地球表面某地正午太阳高度角为,θξ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，则有
90||θφξ=︒--．根据地理知识，某地区的纬度值约为北纬27.95︒，当太阳直射南回归线（此时的太阳
直射纬度为23.5-︒）时物体的影子最长，如果在当地某高度为0h 的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少约为0h 的（ ）倍．（注意
tan38.550.80︒≈）
A ．0.5倍
B ．0.8倍
C ．1倍
D ．1.25倍
9．在ABC 中，3,5,AB BC D ==为BC 边上一点，且满足32BD DC =，此时23
ADC π
∠=．则AC 边长等于（ ） A 7 B ．
7
2
C ．4
D 1910．已知正项数列{}n a 满足，n S 是{}n a 的前n 项和，且2
1
142
n n n S a a =+
-，则n S =（ ） A ．21544n n + B ．21533n n + C ．23522
n n + D ．2
3n n + 11．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，2F 关于其渐近线的对称点为P ，并使得
114POF F PO ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的离心率e =（ ）
A ．2
B ．3
C ．
2 D ．
23
3
12．已知函数2
ln 1()x mx f x x
+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则实数m 的取值范
围是（ ） A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭ C ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．ln 2e 0,4⎛⎫
⎪⎝
⎭
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知实数,x y 满足不等式组3,
20,4,x y x y x +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤⎩
则2z x y =+的最小值是_________．
14．如右图，根据已知的散点图得到y 关于x 的线性回归方程为0.2y bx =+，则b =_______．
15．函数7()cos sin 24
f x x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
的最大值为_________． 16．在三棱锥P ABC -中，4,8PA PB BC AC ====，AB BC ⊥．平面PAB ⊥平面ABC ，若球Q
是三棱锥P ABC -的外接球，则球O 的表面积为_____________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演箅步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）
已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为324,7,16n S S a a ==．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11b =，当2n ≥时，221
1
log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18．（本小题满分12分）
江西全面推进城市生活垃圾分类，在2021年底实现“零”填埋．据统计，截止2020年4月，全省11个设区市有1596个党政机关、2008个事业单位、369个公共场所、373个相关企业、51个示范片区1752个居民小区开展了垃圾分类工作，覆盖人口248.1万人．某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到100人的得分情况，将样本数据分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，并整理得到如下频率分布直方图：
已知测试成绩的中位数为75．
（1）求,x y 的值，并求出测试成绩的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）； （2）现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竟答活动，再从中选出人进行一对一PK ，求抽出的两人恰好来自同一组的概率． 19．（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形且60ABC ∠=︒，平面ABCD ⊥平面
,,,2,1BDE AF BE AB BE AB BE AF ⊥===∥．
（1）求证：BE ⊥平面ABCD ； （2）求三棱锥A DEF -的体积． 20．（本小题满分12分）
已知函数2
()(2)ln f x x a x a x =-++． （1）当2a >时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在[1,)x ∈+∞，使()f x a <成立，求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，其上顶点与左右焦点12F F 、3的正三角形．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线l （l 的斜率存在）交椭圆C 于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 抽于点P ，问：
2
||
MN PF 是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
24442x t t
y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数，且0t >），以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛
⎫
+= ⎪⎝
⎭
． （1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）若极坐标方程为()3
R π
θρ=
∈的直线与曲线C 交于异于原点的点A ，与直线l 交于点B ，且直线l 交
x 轴于点M ，求ABM 的面积．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|22||1|f x x x =-++ （1）解不等式()5
f x ≤；
（2）若a b 、为正实数，函数()f x 的最小值为t ，已知22a b t +=，求
1
b a b
+的最小值． 江西省重点中学协作体2021届高三第二次联考
数学（文）试卷参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
A
D
C
C
B
A
D
D
A
D
B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．5 14．1.6 15．2 16．80π
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．【解析】 （1）∵数列n a 正项等比数列，设公比为q ，且2
2430,16q a a a >∴==， 即2
314a a q ==， 2分 又()()3212
312
117
1714
a q q q S a q q q
q -++=
=++=∴=-，，解得2q =或23-（舍） 5分 又1
11,2n n a a -=∴=． 6分
（2）2211111
2,log log (1)1n n n n b a a n n n n
+≥=
==---， 8分
12111
1111223
1n n T b b b n n
=++
+=+-+-+
+
--
1
2n
=-
． 11分 当1n =时也适合此式，所以1
2n T n
=-
12分 18．【解析】 （1）∵中位数为750.00510100.04(7570)0.5y ∴<++-=，
0.025y ∴= 2分
又0.050.250.4100.11,0.02x x ∴++++=∴= 4分
平均数550.05650.25750.4850.2950.175.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 6分
（2）第四与第五组比例为2:1，∴第四组抽选4人，记为1、2、3、4，第五组抽选2人，记为a b 、，所
有基本事件为(12)(13)(14)(1)(1)(23)(24),(2)(2),(34),(3),(3),(4),(4),()a b a b a b a b ab 、、、、、、、共15种， 8
分
来自同一组的有：(12)(13)(14)(23),(24)(34)()ab 、
、、、、共7种情况 10分 故恰好来自同一组的概率7
15
P =
． 12分 19．（1）∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ∴⊥，
又平面ABCD ⊥平面BDE 且平面ABCD ⋂平面,BDE BD AC =∴⊥平面BDE ，
AC BE ∴⊥，又AB BE ∴⊥，
,AC AB A BE ⋂=∴⊥平面ABCD 6分
（2）
//AF BE ，
AF ∴⊥平面,A DEF E ADF B ADF ABCD V V V ---==（//BE 面ADF ），
又1
1143
3B ADF F ABD ABD
A DEF V V AF S V ---==
⋅=⨯=∴= 12分 20．【解析】 （1）22(2)0,()2(2)a x a x a
x f x x a x x
'
-++>=-++=
(2)(1)
x a x x
--=
2分
又
1,()02a f x '>∴>时，01x <<或,()0,12
2
a a
x f x x '><<<
， 4分 ()f x ∴在(0,1),,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减． 5分
（2）∵存在[1,)x ∈+∞使()f x a <成立，min ()a f x ⇔>由（1）可得， ①当2a >时，2min
()ln 242a a a f x f a a a ⎛⎫
==--+< ⎪⎝⎭
即ln
224a a -<，令112,()ln (1),()(1)2222a t t
t t t t t t t t
ϕϕ'-==->=-=>， ()t ϕ∴在(1,2)单调递增，在(2,)+∞单调递减，max ()(2)ln 212t ϕϕ∴==-<恒成立，
即当2a >时，不等式恒成立； 8分 （另解：当2a >时，()f x 在1,
2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
单调递增，
min ()(1)12a f x f f a a ⎛⎫
∴=<=--< ⎪⎝⎭
． 8分）
②当2a ≤时，()f x 在[1,)x ∈+∞单调递增，min 1()(1)1,2
f x f a a a ==--<>-
， 1
22
a ∴-<≤， 10分
综合①②得1
2
a >-
． 12分
21．【解析】 （1）
12PF F 为正三角形，12
2)1PF F S
c c ∴=
== 且1,22
c a a =∴=，∴椭圆C 的方程为22
143x y +=． 4分 （2）依题意分析得
①当直线l 斜率不为0时，设其方程为1x my =+，且()()1122,,,M x y N x y ，
联立221143
x my x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩，消去x 得()
22
34690m y my ++-=，则
7221220634934m y y m y y m ⎧⎪>⎪
-⎪
+=⎨+⎪
-⎪
-=⎪+⎩
，且()12122
8234x x m y y m +=++=+， 6分 ∴弦MN 的中点Q 的坐标为22
4
3,3434m m m -⎛⎫
⎪++⎝⎭
，则弦MN 的垂直平分线为22433434m y m x m m ⎛
⎫=--- ⎪++⎝⎭，令0y =得2
134p x m =+， ()22
2
311||134
34
m PF m m ++∴=-
=
+， 8分
又
12||MN y =-=
()
22
12134
m m +==+， ||12
4||3
MN PF ∴
==； 10分 ②当直线l 斜率为0时，易得||
||4,||14||
MN MN PF PF ==∴
=； 11分 综合①②得
||
MN PF ∣∣
是定值且为4． 12分 22．【解析】 （1）曲线C 的参数方程为2
24442x t t
y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数，且0t >），
22222164416444y t t x t t ⎛⎫=+
-==+-= ⎪⎝⎭
，故其直角坐标方程为2
4y x =； 3分 直线l 的极坐标方程为cos 1,cos cos sin sin 1333πππρθρθθ⎛
⎫
⎛
⎫+
=-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭故其直角坐标方程为
320x y --=． 5分
（2）
对于曲线C 的极坐标为2
4cos sin θ
ρθ
=
， 6分 A ∴的极径24cos
833sin 3A π
ρπ=
=，即8||3OA =， 7分 B 的极径1
22cos
3
B ρπ=
=-，即||2OB =， 8分 1834313
2,223232322
AOM
BOM
S
S ∴=⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=分 故
4373
333
ABM
S
=
=． 10分 23．【解析】 （1）13(1)
|22||1|3(11)31(1)x x x x x x x x -<-⎧⎪
-++=--≤≤⎨⎪->⎩
3分
|22||1|5x x ∴-++≤的解集为4,23⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
． 5分
（2）由（1）可知()f x 的最小值为(1)2f =， 7分
则1a b +=，又
113b b a b b a a b a b a b ++=+=++≥， 9分 当且仅当1
2
a b ==时取等，所以最小值为3． 10分。