九年级数学上册第2章一元二次方程2.5一元二次方程的应用第2课时图形面积和动点几何问题作业湘教版(

2018年秋九年级数学上册第2章一元二次方程2.5 一元二次方程的应用第2课时图形面积和动点几何问题作业（新版）湘教版
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第2课时图形面积和动点几何问题
一、选择题
1．2017·兰州王叔叔从市场上买了一块长80 cm、宽70 cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图K－16－1，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000 cm2的无盖长方体工具箱，根据题意列方程为( ）
图K－16－1
A．(80－x）（70－x)＝3000
B．80×70－4x2＝3000
C．(80－2x)(70－2x)＝3000
D．80×70－4x2－(70＋80）x＝3000
2．已知边长为10米的正方形，要使它的面积扩大到原来的4倍，则它的边长应增加( ）
A．4米 B．8米
C．10米 D．12米
3．如图K－16－2，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD 方向平移，得到△A′B′C′。

若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
图K－16－2
A．0.5 cm B．1 cm
C．1。

5 cm D．2 cm
4．如图K－16－3，在△ABC中，AC＝50 cm，BC＝40 cm，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以2 cm/s的速度匀速移动，同时另一点Q由点C开始以3 cm/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300 cm2时,运动时间为( ）
图K－16－3
A．5 s B．20 s
C．5 s或20 s D．不确定
二、填空题
5．如图K－16－4,用长度为32米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为16米),围成一个面积为120平方米的长方形花圃．若设BC的长为x米，则根据条件能得到一个关于x的一元二次方程,该方程的一般形式为______________．
图K－16－4
6．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题（如图K －16－5),题目是：“今有池方一丈，葭生其中央,出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”
题意是：有一正方形池塘,边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少．（小知识:1丈＝10尺）,如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为(x＋1)尺，根据题意列方程为____________．
图K－16－5
7．如图K－16－6，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm,AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以错误! cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形
PDFE的面积为S
，运动时间为t s，则t＝________时，S1＝2S2。

2
图K－16－6
三、解答题
8．如图K－16－7（a），要设计一幅宽20 cm、长30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3.如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3,可设每个横彩条的宽为2x cm，则每个竖彩条的宽为3x cm。

为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图(b）的情况,得到矩形ABCD。

（1）如图（b),用含x的代数式表示：
AB＝________cm，AD＝________cm,矩形ABCD的面积为__________________cm2;
(2）列出方程并完成本题解答．
图K－16－7
9.一幅长20 cm、宽12 cm的图案,如图K－16－8，其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3∶2。

设竖彩条的宽度为x cm，图案中三条彩条所占面积为y cm2。

（1)试用含有x的代数式表示y，并确定x的取值范围；
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的错误!，求横、竖彩条的宽度．
图K－16－8
10．如图K－16－9，在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）,C(6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒错误!个单位的速度沿射线OD 方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t 秒，当t为何值时，△PQB为直角三角形？
图K－16－9
11.李明准备进行如下操作试验：把一根长40 cm的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形．
（1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你觉得他的想法正确吗？请说明理由．
12方案设计某小区计划在一块长100 m、宽60 m的矩形荒地上修建一个配绿化带的活动区，要求整体布局既是轴对称图形,又是中心对称图形，且绿化率不低于35％（绿化率＝错误!×100％）．
（1）甲方案：如图K－16－10①所示（单位:m），设计两条互相垂直，且宽度都为a m的十字活动区域，周边四块为绿化带(图中阴影部分)，若绿化面积为2100 m2，求a的值；
(2)乙方案：如图K－16－10②所示（单位：m)，场地正中央设计菱形绿化带(图中阴影部分），周边为活动区域，请通过计算说明该方案是否符合要求．
图K－16－10
1．［解析] C由题意可得(80－2x）（70－2x)＝3000。

故选C.
2．［解析］C由题意,可设边长增加x米，则增加后的面积为（10＋x)(10＋x）平方米,利用增加后的面积＝原来面积的4倍,列方程得(10＋x)2＝4×102，∴x1＝10，x2＝－30.∵x2＝－30不符合题意，舍去,∴x＝10。

3．[解析] B设AC交A′B′于点H，∵∠A＝45°，∠AA′H＝90°，∴△A′HA是等腰直角三角形．设AA′＝x cm,则阴影部分的底A′H的长为x cm，高A′D＝（2－x）cm,∴x·(2－x)＝1，∴x1＝x2＝1，即AA′＝1 cm.
4．［解析] C设运动时间为t s,则AP＝2t，CQ＝3t,∴PC＝50－2t.∵错误!·PC·CQ＝300，
∴1
2
·(50－2t)·3t＝300,解得t＝20或t＝5，∴运动时间为20 s或5 s时，△PCQ的面积等
于300 cm2.故选C.
5．［答案］ x2－32x＋240＝0
［解析] 依题意得:错误!（32－x）x＝120，整理，得x2－32x＋240＝0.
6．[答案］ x2＋52＝(x＋1）2
［解析] 设水深为x尺，则芦苇长可用含x的代数式表示为(x＋1)尺,根据题意列方程为x2＋52＝(x＋1)2。

7．［答案］ 6
[解析] ∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，∴AD＝BD＝CD
＝8 2 cm。

又∵AP＝2t cm，则S1＝错误!AP·BD＝错误!×8 错误!×错误!t＝8t，PD＝（8 错误!－错误!t)cm。

∵PE∥BC,∴∠AEP＝∠C＝45°，∠APE＝∠ADC＝90°，∴∠PAE＝∠AEP＝45°，∴PE＝AP＝错误!t cm，∴S2＝PD·PE＝(8 错误!－错误!t）·错误!t.∵S1＝2S2，∴8t＝2（8 错误!－错误!t)·错误!t，解得t＝6或t＝0(舍去）．故答案是6。

8．［解析］读懂题中分析，利用已有的数量关系与面积公式列方程．
解:（1)（20－6x）(30－4x）(20－6x）（30－4x）
（2）根据题意，得
（20－6x）（30－4x)＝（1－错误!）×20×30.
整理，得6x2－65x＋50＝0，
解方程，得x1＝错误!，x2＝10(不合题意，舍去），
则2x＝错误!，3x＝错误!.
答：每个横、竖彩条的宽度分别为5
3
cm,错误!cm.
9．解：(1)根据题意可知，横彩条的宽度为错误!x cm，∴错误!解得0＜x＜8，
y＝20×3
2
x＋2×12·x－2×错误!x·x＝－3x2＋54x，即y＝－3x2＋54x（0＜x＜8)．
（2）根据题意，得－3x2＋54x＝错误!×20×12，整理，得x2－18x＋32＝0,
解得x1＝2，x2＝16(舍去），∴3
2
x＝3.
答：横彩条的宽度为3 cm，竖彩条的宽度为2 cm.
10．解:过点P作PG⊥OC于点G.在Rt△POG中，
∵∠POQ＝45°，∴∠OPG＝45°。

∵OP＝2t，∴OG＝PG＝t，∴点P的坐标为（t,t）．
又∵Q（2t，0)，B(6,2)，
根据勾股定理可得PB2＝（6－t）2＋(2－t)2,BQ2＝(6－2t）2＋22，PQ2＝（2t－t)2＋t2＝2t2。

①若∠PQB＝90°，则PQ2＋BQ2＝PB2，即2t2＋[（6－2t)2＋22]＝(6－t）2＋（2－t）2，整理得4t2－8t＝0,解得t1＝0(舍去），t2＝2。

②若∠PBQ＝90°，则PB2＋BQ2＝PQ2，
即[(6－t)2＋（2－t)2］＋［（6－2t)2＋22]＝2t2,
整理得t2－10t＋20＝0,解得t＝5±错误!.
③若∠BPQ＝90°,则PB2＋PQ2＝BQ2，即（6－t）2＋（2－t）2＋2t2＝（6－2t）2＋22,
整理得8t＝0,解得t＝0(舍去）．
∴当t＝2或t＝5＋错误!或t＝5－错误!时，△PQB为直角三角形．
11．解：(1）设剪成的较短的铁丝长为x cm，则较长的铁丝长为(40－x）cm，
由题意，得错误!错误!＋错误!错误!＝58,
解得x1＝12，x2＝28，
当x＝12时,40－12＝28（cm）,
当x＝28时,40－28＝12(cm）＜28 cm(舍去）．
答：李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段．
(2)正确．理由：设剪成的较短的铁丝长为m cm,较长的铁丝长为(40－m)cm，由题意，得错误!错误!＋错误!错误!＝48，变形为m2－40m＋416＝0.∵Δ＝（－40)2－4×416＝－64＜0，∴原方程无实数根，∴这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，即李明的想法正确．
12 解：(1)依题意有错误!（100－a)×错误!（60－a)×4＝2100,
解得a1＝30,a2＝130(不合题意，舍去）．
答：a的值是30.
(2）100－5×2＝100－10＝90（m)，
60－5×2＝60－10＝50(m)，
90×50÷2＝2250（m2)，
100×60＝6000(m2），
错误!×100%＝37。

5%.
∵37。

5％＞35%，
∴该方案符合要求．。