重庆市八中2021届九年级数学上学期半期考试试题

重庆市八中2021届九年级数学上学期半期考试试题
（时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．
上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．1
5-的相反数是（ ）
A ．15
B ．1
5
-
C ．5
D ．5-
2．若分式
1
2
x +有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x <- C ．2x ≠- D ．2x ≥-
3．已知ABC DEF △∽△，其相似比为4:9，则ABC △与DEF △的面积比是（ ） A ． 2:3 B ． 3:2 C ．16:81 D ．81:16 4
=（ ） A ．3±
B ．3-
C ．3
D
．
5．下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（ ） A ．了解重庆市市民家庭月平均支出情况 B ．了解一批导弹的杀伤半径
C ．了解某校九年级（1）班学生中考体育成绩
D ．了解重庆市民生活垃圾分类情况
6．九年级（1）班姜玲同学某周7天进行自主复习时间（单位：分钟）如下： 50， 60， 80，90， 60，70，60．这组数据的众数是（ ）
A ．90
B ．80
C ．70
D ． 60 7．如图，已知ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，8AD BD ==，12AC =，则ADO ∆的周长是（ ） A ．20 B ．8 C ．16 D ．12 8．如果2x =-是关于x 的方程327a x -=的解，那么a 的值是（ ） A ．11
3
a = B ．1a = C ．1
2a =- D ．132
a =-
9
点A 为切点，连接OB 交O 于点C ，38B ο∠=，点D 是O 上一点，
连接 ）
A ．76ο
B ．38ο
C ．30ο D
．26ο
10．甲、乙两人进行慢跑练习，慢跑路程()y 米与所用时间()t 分钟之间的关系如图所示． 下列说法错误．．
的是（ ） A ．甲乙两人8分钟各跑了800米 B ．前2分钟，乙的平均速度比甲快 C ．5分钟时两人都跑了500米
D ．甲跑完800米的平均速度为100米∕分
B C
D
O
9题图
C A
乙
甲
11．如图，下列图形是一组按照某种规律摆放而成的图案，则图⑧中圆点的个数是（ ）
A ．64
12
A ．2-
B ．4-
C ．4
-
D ．
4
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的横线上．
13．第十八届中国（重庆）国际投资暨全球采购会上，重庆共签约528个项目，签约金额602 000 000 000元．把数字602 000 000 000用科学记数法表示为 ． 14．计算：()2
020153-2=--+ ．
15．如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，若a b ∥，130ο∠=，则2∠= 度．
90C ο=，4AC BC ==，点D 是线段AB 的中点，分别以点A ，B 为圆心，AD BC 于点E ，F ．则阴影部分面积为 （结果保留π）．
17．从3-，2-，1-，0，1，2，3这七个数中随机抽取一个数记为a ， 则a 的值是不等式组352
132x x x x ⎧
+>⎪⎪⎨
⎪<+⎪⎩的解，但不是方程2320x x -+=的实数解的概率为 ．
18．如图，在矩形ABCD 中，AC 是对角线，点E 是BC 的中点，连接AE ，4,3AB BC ==，将BAE ∠绕点A 逆时针旋转，使BAE ∠的两边分别与线段CD 的延长线相交于点G ，H ．当AH AC =时，
CG = ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡．．．
中对应的位置上． 19．解方程组31121x y x y +=;⎧⎨-=.⎩
①②
20．如图，BDC ∆与CEB ∆在线段BC 的同侧，CD 与BE 相交
于点A ，ABC ACB ∠=∠，AD AE =，
求证：BD CE =．
四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．
中对应的位置上. E
D A C
B 20题图 x
16题图
F E D C B
A H G F E
D
C
B A 18题图
21.化简下列各式（1）2()(2)(2)a b a b a b -+-- （2）
235
(2)362
x x x x x -÷+---
22．感恩节即将来临，小王调查了初三年级部分同学在感恩节当天将以何种方式对帮助过自己的人表达感谢，他将调查结果分为如下四类：A 类——当面表示感谢、B 类——打电话表示感谢、C 类——发短信表示感谢、D 类——写书信表示感谢．他将调查结果绘制成了如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据图中提供的信息完成下列各题：
D
C
B
A
10%
108°
（1）补全条形统计图；
（2）在A 类的同学中，有4人来自同一班级，其中有2人主持过班会．现准备从他们4人中随机抽出两位同学主持感恩节主题班会课，请用树状图或列表法求抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会的概率．
23．某工程队修建一条总长为1860米的公路，在使用旧设备施工17天后，为尽快完成任务，工程队引进了新设备，从而将工作效率提高了50%，结果比原计划提前15天完成任务．
（2）在使用旧设备和新设备工作效率不变的情况下，工程队计划使用旧设备m 天，使用新设备n （1626n ≤≤）天修建一条总长为1500米的公路，使用旧设备一天需花费16000元，使用新设备一天需花费25000元，当m 、n 分别为何值时，修建这条公路的总费用最少，并求出最少费用．
24．若整数a 能被整数b 整除，则一定存在整数n ，使得a
n b
=，即a bn =．例如：若整数a 能被7整除，则一定存在整数n ，使得
7
a
n =，即7a n =． （1）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除．例如：将数字1078分解为8和107，1078291-⨯=，因为91能被7整除，所以1078能被7整除．请你证明任意一个三位数都满足上述规律．
（2）若将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数加上个位数的K （K 为正整数，15K ≤≤）倍，所得之和能被13整除，求当K 为何值时使得原多位自然数一定能被13整除．
F
E
D C B A A F
E D C
B 五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上. 25．如图1所示，在Rt AB
C ∆中，90C ∠=，点
D 是线段CA 延长线上一点，且AD AB =．点F 是线段AB 上一点，连接DF ，以DF 为斜边作等腰Rt DF
E ∆，连接EA ，EA 满足条件EA AB ⊥． （1）若20AE
F ∠=，50ADE ∠=，2AC =，求AB 的长度；
（2）求证：AE AF BC =+；
（3）如图2，点F 是线段BA 延长线上一点，探究AE 、AF 、BC 之间的数量关系，并证明．
25题图1 25题图2
26．如图，抛物线248
433
y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）
，与y 交于点C ，BAC ∠的平分线与y 轴交于点D ，与抛物线相交于点Q ，P 是线段AB 上一点，过点P 作x 轴的垂线，分别交AD ，AC 于点E ，F ，连接BE ，BF ．
（1）如图1，求线段AC 所在直线的解析式；
（2）如图1，求△BEF 面积的最大值和此时点P 的坐标；
（3）如图2，以EF 为边，在它的右侧作正方形EFGH ，点P 在线段AB 上运动时正方形EFGH 也随之运动和变化，当正方形EFGH 的顶点G 或顶点H 在线段BC 上时，求正方形EFGH 的边长．
26题图1
26题图2
初三半期考试数学答案 一、选择题：
二、填空题：
13．116.0210⨯； 14．2； 15．30︒； 16．82π-； 17．27； 18．7112
．
三、解答题：
19．解：由①-②，得 3211 1.y y +=- （2分）
解这个方程，得 2.y = （4分） 把2y =代入①，得 3211.x +⨯= 解得 5.x = （6分）
所以这个方程组的解为5,
2.x y =⎧⎨
=⎩
（7分） 20．证明：∵ABC ACB ∠=∠，
∴AB AC =，……………………………（3分）
又∵BAD CAE ∠=∠，AD AE =，
∴ABD ACE ∆∆≌． ……………………（6分）
∴BD CE =．……………………………（7分）
21．（1）解：原式22222242a ab b a ab ab b =-++--+…………………………………（3分）
22373a ab b =-+………………………………………………………（5分）
（2）解：原式()()()2253322
x x x x x x +---=
÷--……………………………………………（2分）
()239322
x x x x x --=÷--…………………………………………………………（3分） ()()()32
3233x x x x x x --=
⋅-+-…………………………………………………（4分）
()
1
33x x =
+
21
39x x
=
+…………………………………………………………………（5分）
E D C
B A
20题答图
22．（1）
……………………………（4分）
（2）解：设主持过班会的两人分别为A A 、，另两人分别为B B 、 结果
第二人 第一人
1A
2A
1B
2B
1A
()12,A A
()11,A B ()12,A B 2A ()21,A A
()21,A B
()22,A B
1B
()11,B A ()12,B A
()12,B B
2B
()21,B A
()22,B A
()21,B B
………………………………………………………………………………………………（6分） 由列表可知，一共有12种等可能情况
其中有8种符合题意………………………………………………………………………（8分） P ∴（抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会）82
123
=
=…………………………（10分）
23．解：（1）设工程队使用旧设备时每天能修路x 米，根据题意，得
()1860171715150%1860x x x ⎛⎫+--⨯+= ⎪⎝⎭
……………………………………………………（2分）
解得30x =……………………………………………………………………………………（3分） 经检验，30x =是原方程的解………………………………………………………………（4分）
()30150%45⨯+=（米）
∴工程队在使用新设备后每天能修路45米………………………………………………（5分）
（2）由题意得30451500m n +=……………………………………………………………（6分） 23100m n ∴+=
设修建这条公路总费用为S 元，则 1600025000S m n =+
2310021003m n m n +=∴=-
()160008000280001003m m n ∴=⨯=-
1000800000S n ∴=+…………………………………………………………………………（8分） 10000S >∴随n 的增大而增大 1626n ≤≤
∴当=16n 最小时，=100016800000=816000S ⨯+最小…………………………………………（9分）
此时1003262
n
m -=
= ∴当2616m n ==，时，修建这条公路总费用最少，最少费用为816000元…………（10分）
24．（1）证明：设某三位数百位、十位、个位上的数字分别是x y z 、、 ∴原三位数为：10010x y z ++
根据题意，存在整数n ，使得1027x y z n +-=…………………………………………（2分） 1027x y z n ∴+=+
()()10010101010272170x y z x y z z n z z n ∴++=++=++=+
10010217031077
x y z z n
z n +++∴
==+………………………………………………………（4分）
z n 、都为整数
()310z n ∴+为整数
∴原数能被7整除……………………………………………………………………………（5分）
（2）解：设将一个多位数按题意分解后得到的个位数是B ，个位之前的数是A
∴原数为()10A B +
根据题意，存在整数m ，使得13A kB m +=………………………………………………（6分）
13A m kB ∴=-
()()()1010131301101301313A B m kB B m k B m kB k B ∴+=-+=+-=-++
()1301313101310+131313
m kB k B A B k
m kB B -++++∴
==-…………………………………（8分） k 为正整数，15k ≤≤ 1k ∴=或2或3或4或5
131413271331013413516
1131313131313131313
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=====，，，， 又m B ，为整数
∴当4
k =时，1310+
13
k
m kB B +-为整数，此时原多位自然数能被13整
除……………………………………………………………………………………………（10分）
25．（1）解：在等腰Rt DEF ∆中，90DEF ∠= 1202170DEF ∠=∴∠=∠-∠=
在ADE ∆中，23180EDA ∠+∠+∠= 360∴∠= 90EA AB
EAB ⊥∴∠=
34180EAB ∠+∠+∠=
430∴∠=…………………………………………………………………………………（2分）
在Rt ABC ∆中，90C ∠= cos 4AC
AB
∠=
4
3cos 43
3AC AB ∴=
==∠4分） （2）过点D 作DM AE ⊥于点D ……………………………………………………………（5分） 在Rt DEM ∆中，2590∠+∠= 2190∠+∠= 15∴∠=∠
在等腰Rt DEF ∆中，DE FE = 在DEM ∆和EFA ∆中 51
DME EAF DE EF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()DEM EFA AAS ∴∆≅∆………………………………………………………………………（6分）
AF EM ∴=
在Rt ABC ∆中，490B ∠+∠= 又34180EAB ∠+∠+∠= 3490∴∠+∠= 3B ∴∠=∠
在DAM ABC ∆∆和中
3B DMA C AD AB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()DAM ABC AAS ∴∆≅∆……………………………………………………………………（7分）
BC AM ∴=
AE EM AM AF BC ∴=+=+
即AE AF BC ∴=+…………………………………………………………………………（8分） (3)过点D 作DM ⊥直线AE 于点M ……………………………………………………（9分）
在90Rt ABC C ∆∠=中,
190B ∴∠+∠=
21180,90MAB MAB ∠+∠+∠=∠=
2190∴∠+∠=
2=B ∴∠∠
在ADM BAC ∆∆和中
2M C B AD AB ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()ADM BAC AAS ∴∆≅∆……………………………………………………………………（10分）
BC AM ∴=
在等腰,,90Rt DEF DE FE DEF ∆=∠=中
34180DEF ∠+∠+∠= 3490∴∠+∠=
在,3590Rt MED ∆∠+∠=中 4=5∴∠∠
在MED AFE ∆∆和中
54
M EAF DE EF ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
()MED AFE AAS ∴∆≅∆……………………………………………………………………（11分）
ME AF ∴=
AE AF AE M E AM BC ∴+=+==
即AE AF BC += ………………………………………………………………………（12分）
26．解：（1）抛物线的解析式为： 248
433
y x x =+- 令0x =，则4y =-，
∴()0,4C -．………………………………………………………………………（1分）
令0y =，则
248
4033
x x +-=， 解得，123,1x x =-=．
∴()3,0A -，()1,0B ．……………………………………………………………（2分）
设直线AC 所在直线解析式为：()0y kx b k =+≠， 将()3,0A -，()0,4C -代入可得，
304k b b -+=⎧⎨
=-⎩ 解得434
k b ⎧=-⎪
⎨⎪=-⎩， 直线AC 所在直线解析式为：443
y x =--．……………………………………（4分）
（2）过点D 作DI AC ⊥于点I ，如图1．
()3,0A -()0,4C -，∴3OA =．∴4OC =．
在Rt AOC 中，2222345AC OA OC =++=． 在ADI ∆与ADO ∆中
90DIA DOA ∠=∠=，DAI DAO ∠=∠，DA DA =， ∴ADI ∆≌ADO ∆，
∴3AI AO ==，DI DO =．
设DI DO m ==，则4DC OC OD m =-=-． IC AC AI =-， ∴532IC =-=． 在Rt CDI 中，
222ID IC DC +=，
∴()2
2224m m +=-，
解得，32
m =
． ∴32
OD =
． ∴30,2D ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭．
设直线AD 所在直线解析式为：()0y kx b k =+≠，
将()3,0A -，30,2D ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭代入可得，
30;3
.2k b b -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得1;2
3.2k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
直线AD 所在直线解析式为：1
3
22
y x =--
．…………………………………（5分）
又直线AC 的解析式为：443
y x =--．
∴设(),0P n ，则13,22E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，4,43F n n ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，
∴1BP n =-，
1345
542236
2EF n n n ⎛⎫⎛⎫=-----=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
∴()115512262BEF
S
EF BP n n ⎛⎫
=
=+- ⎪⎝⎭
()2555
311264
n n n =-
-+-≤≤．……………………………（6分） ∴该函数的对称轴是直线1x =-．
∴当1x =-时， BEF S 的最大值＝5
3．…………………………………………（7分）
此时，()1,0P -．………………………………………………………………（8分）
（3）由()1,0B ，()0,4C -可得直线BC 的解析式为：44y x =-．
①当顶点G 在线段BC 上时，如图3．
设(),0P t ，则13,22E t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 4,43F t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，14,433G t t ⎛⎫
--- ⎪⎝⎭．
∴1345
542236
2EF t t t ⎛⎫⎛⎫=-----=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
14
33
FG t t t =--=-．
EF FG =，∴554
623t t +=-，
解得，15
13
t =-．
∴41520
31313
FG ⎛⎫=-⨯-=
⎪⎝⎭． ∴顶点G 在线段BC 上时，15,013P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，正方形的边长为
2013．………………（10分） ②当顶点H 在线段BC 上时，如图4．
设(),0P t ，则13,22E t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 4,43F t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，1
513,8
822H t t ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭．
∴1345
5422362EF t t t ⎛⎫⎛⎫=-----=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
1
5958
888EH t t t ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭．
EF EH =，
26题答图2
∴55956288
t t +=-+， 解得，45
47t =-．
∴545580
647247
EF ⎛⎫=⨯-+=
⎪⎝⎭． ∴顶点H 在线段BC 上时，45,047P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，正方形的边长为8047．……………… （12分） 综上所述，顶点G 在线段BC 上时，15,013P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，正方形的边长为2013；顶点H 在线段BC 上时，
45,047P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，正方形的边长为
8047．。