数学物理方法习题1及答案

例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表式。

1）z
=2i ； 2）sin
cos 55z i ππ=+； 例2。

例3 设函数2222()().f z x axy by i cx dxy y =+++++问常数a ,b ,c , d 取何值时，()f z 在复平面内处处解析？
例4 如果()f z '在区域D 处处为零，那么()f z 在D 内为一常数。

例5 求2,(1)Ln Ln -以及与它们相应的主值。

例6
求和i i •的值。

解：1
1）
显然，r || 4.z ===由于z 在第三象限，所以
5arc arc tg 36tg θπππ=-=--=.因此，z 的指数表示式为z=456i e π- 2)显然，r=|z|=1，又 3cos
sin()sin ,52510
π
πππ=-= 3sin cos()cos ,52510ππππ=-= 故z 的三角表示式为： 3sin cos 1010
z i π
π=+. Z 的指数表示式为： 310i z e
π=。

2．
解:因为
1sin ),44i i ππ
+=+
2244sin ),44k k i π
ππ
π
+++ （k=0,1,2,3）
0123sin ),1616
99sin ),16161717sin ),1616
2525sin ),1616
w i w i w i w i ππ
ππππππ=+=+=+=+ 3．
解：由于 2,22,2,u u x ay ax by x y v v cx dy dx y x y
∂∂=+=+∂∂∂∂=+=+∂∂ 从而要使u v x y ∂∂=∂∂，u v y
x ∂∂=-∂∂， 只需22,22.x ay dx y cx dy ax by +=++=--
因此，当a=2,b=-1,c=-1,d=2时。

此函数在复平面内处处解析。

4． 证：因为'()0u v v u f z i i x x y y
∂∂∂∂=+=-=∂∂∂∂ 故 u v v u x x y y
∂∂∂∂===∂∂∂∂=0。

所以u=常数，v=常数，因而f(z)在D 内是常数。

5．
解： 因为ln 22,Ln k i π=+所以它的主值就是ln2。

而Ln(-1)=ln1+(1)iArg -=(2k+1)πi (k 为整数)。

所以它的主值是ln(-1)=i π
6.
解：
12cos(2sin(2k e k i k π===+。

(0,1,2,....)k =±± (2)(2)22,(0,1,2,....)i k i k i iLni i e e e k ππππ+-+•====±±
π
-
e。

由此可见，i i•的值都是正实数，它的主值是2。