广东省惠州市仲恺中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省惠州市仲恺中学2020年高三数学理上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 命题“对任意都有”的否定是（）
A．对任意，都有B．不存在，使得
C．存在，使得D．存在，使得
参考答案：
D
略
2. 已知两条直线和互相平行，则等于( )
A．1或-3 B．-1或3 C．1或3 D． -1或-3
参考答案：
A
略
3. 设函数，其中，则导数的取值范围
是
（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
4. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，
，则的最小值为( )
A．4 B．5 C.7 D．参考答案：
D
5. “”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的( )
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件；
参考答案：
B
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑；坐标系和参数方程．
分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解答：解：若实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根，则判别式△=1﹣4a＜0，解得a＞，
则“”是“实系数一元二次方程x2+x+a=0有虚数根”的必要不充分条件，
故选：B．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系是解决本题的关键．
6. 设函数，是公差为的等差数列，，则
（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
略
7. 若复数满足（为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
由已知得，所以，选A.
8. 若，且，则（）
A．B． C. D．
参考答案：
A
9. 若，则的值为（）
A、B、C、D、参考答案：
A
略
10. 已知满足约束条件，则的最小值为( )
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数________.参考答案：
1
12. 命题“若实数满足，则”
的逆否命题是命题（填“真”或者“假”）；否命题是命题（填“真”或者“假”）．
参考答案：
假，真；
13. 一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为.
参考答案：
12
由三视图可知，这是一个底面为矩形，两侧面和底面垂直的四棱锥，底面矩形长4宽为3，四棱锥的
高为3，所以四棱锥的体积为，答案为12.
14. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_______m3.
参考答案：
15. 若两个非零向量
满足
，则向量
与
的夹角是 ．
参考答案：
120°
【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【分析】将已知等式平方得到
的模的关系及
，然后利用向量的数量
积公式求出的夹角．
【解答】解：
∵=
=
∴
，
∴（+）?（﹣）=﹣2||
2， 设
的夹角为θ
cos θ=
∵θ∈[0°，180°] ∴θ=120° 故答案为120°
【点评】求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为[0°，180°]
16. 已知G 点为△ABC 的重心，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足⊥，若
则实数λ= ．
参考答案：
【考点】正弦定理．
【分析】如图，连接AG ，延长交AG 交BC 于D ，由于G 为重心，故D 为中点，CG⊥BG，可得DG=BC ，由重心的性质得，AD=3DG ，即DG=AB ，利用余弦定理可得：AC 2
+AB 2
=2BD 2
+2CD 2
，即
b 2+
c 2=5a 2，由，可得λ=．
【解答】解：如图，连接AG ，延长交AG 交BC 于D ， 由于G 为重心，故D 为中点， ∵CG⊥BG，∴DG=BC ，
由重心的性质得，AD=3DG ，即DG=AB ，
由余弦定理得，AC 2=AD 2+CD 2
﹣2AD?CD?cos∠ADC， AB 2
=AD 2
+BD 2
﹣2AD?BDcos∠ADB， ∵∠ADC+∠BDC=π，AD=BD ， ∴AC 2+AB 2=2BD 2+2CD 2，
∴AC 2
+AB 2
=BC 2
+BC 2
=5BC 2
，
∴b 2+c 2=5a 2，
∵
，∴λ=
=
=．
故答案为：．
17. （1+x ）（1+
）5的展开式中x 2项的系数是 ．
参考答案：
15
【考点】二项式系数的性质．
【分析】把（1+）5按照二项式定理展开，即可求得（1+x）（1+）5的展开式中x2项的系数．【解答】解：（1+x）（1+）5
=（1+x）（1+5+10x+10x+5x2+），
∴展开式中x2项的系数是：
5+10=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数，其中，函数有两个极值点，且
．
（1）求实数的取值范围；
（2）设函数，当时，求证：．
参考答案：
（1）;（2）见解析.
试题解析：（1），
由题可知：为的两个根，且，得或.
而
由（1）（2）得：，设，有
而在上为减函数，
则，即，即，
综上，.
（2）证明：由，，知，
，
由（1）可知，所以，
所以.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
19. 如图,在三棱柱中,四边形是矩形, ,平面平面.
(1)证明: ；
(2)若, ，求二面角的余弦值. 参考答案：
(1)证明: 在三棱柱中,，
.
又.
平面.
设与相交于点,与相交于点,连接，四边形与均是平行四边形，
,平面，
，，
是平面与平面所成其中一个二面角的平面角.
又平面平面,
四边形是菱形,从而.
(2)解:由(1)及题设可知四边形是菱形, ，
.
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
,,，
，. 设平面的法向量，
即
令,可得.
又由(1)可知平面,
可取平面的法向量为，。

由图可知二面角的平面角为锐角,所以它的余弦值为.
20. ）如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
(2)在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？
若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．
参考答案：
由平面，得即
故，此时.………………10分
经检验，当时，平面.
故线段上存在点，使得平面，此时…………13分
略
21. 如图1，矩形ABCD中，，M是AB边上异于端点的动点，于点N，将矩形AMND沿MN折叠至处，使面面MBCN（如图2）．点E，F满足
．（1）证明：EF∥面A1BC；
（2）设，当x为何值时，四面体CMEF的体积最大，并求出最大值．
参考答案：
（1）见证明；（2）当时，取得最大值.
【分析】
（1）在面内，过点F作FG交于点G，连接GE.根据线线平行得面及面，从而得到面面，可证得结论；（2），则BM=2-x，ME=GM=，可证面MEC，得
，，由二次函数求得最值即可. 【详解】（1）在面内，过点F作FG交于点G，连接GE.
，，又面，FG面
面.
由得，同理可证得面.
又，面，
∴面面
，
又
面， 面
（2），则BM=2-x ，ME=GM=，
面
面MBCN ，面
面MBCN=NM ，
面
， 则
面MBCN,即
面MEC ，
又GF 面MEC ，
，
当时，取得最大值.
【点睛】本题考查了立体几何中的折叠问题及三棱锥的体积最值问题，其中（1）的关键是作出平面与已知面平行，（2）的关键是构造出三棱锥的体积V 的表达式，属于中档题.
22. 如图所示，扇形AOB,圆心角AOB 的大小等于，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作
平行于OB 的直线交弧AB 于点P.
（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长； （2）设
,求
面积的最大值及此时的值。

参考答案：。