2019_2020学年高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用2.1实际问题中导数的意义北师大版选修2_2

2.1 实际问题中导数的意义
[A 组 基础巩固]
1．空间中的某质点M 按规律s ＝2t 2
＋3运动，则质点在t ＝2时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．8 C ．11
D ．16
解析：s ′＝4t ，则质点在t ＝2时的速度为：4×2＝8. 答案：B
2．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2
，则物体的初速度是( ) A ．0 B ．3 C ．－2
D ．3－2t
解析：v (t )＝s ′(t )＝3－2t ，初速度即为v (0)＝3. 答案：B
3．若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3t 2
＋2，0≤t <3，
29＋3(t －3)3
，t ≥3，
则此物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速
度之和为( ) A ．6 B ．4 C ．2
D ．10
解析：由题意得s ′(1)＝6，s ′(3)＝0，
∴t ＝1时的瞬时速度为6，t ＝3时的瞬时速度为0， ∴t ＝1和t ＝3时的瞬时速度之和为6. 答案：A
4．圆的面积S 关于半径r 的函数是S ＝πr 2
，那么在r ＝3时面积的变化率是( ) A ．6 B ．9 C ．9π
D ．6π
解析：∵S ′＝2πr ，∴S ′(3)＝2π×3＝6π. 答案：D
5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s 内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s (t )＝－13t 3－4t 2
＋20t ＋15，则s ′(1)的实际意义为( )
A ．汽车刹车后1 s 内的位移
B ．汽车刹车后1 s 内的平均速度
C ．汽车刹车后1 s 时的瞬时速度
D ．汽车刹车后1 s 时的位移
解析：由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度． 答案：C
6．正方形的周长y 关于边长x 的函数是y ＝4x ，则y ′＝________，其实际意义是__________． 答案：4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度．
7．一个电路中，流过的电荷量Q (单位：C)关于时间t (单位：s)的函数为f (t )＝5t 2
－2t ，则求当t 由2变到3时，电荷量Q 关于t 的平均变化率为________． 解析：Δy Δt ＝f (3)－f (2)3－2＝5×9－2×3－(5×4－2×2)1＝23(C/s)．
答案：23 C/s
8．已知子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105
m/s 2
，子弹从枪口中射出时所用的时间为1.6×10－3
s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为________． 解析：s ＝12at 2，v ＝s ′＝at .由t ＝1.6×10－3
s ，
可得v ＝5×105
×1.6×10－3
m/s ＝800 m/s. 故子弹射出枪口的瞬时速度为800 m/s. 答案：800 m/s
9．已知车轮旋转的角度与时间的平方成正比，如果车轮启动后转动第一圈需要0.8 s ，求转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度．
解析：设时间为t 时，车轮旋转的角度为f (t )，f (t )＝kt 2
，由题意知：2π＝k ·0.82
，则k ＝25π
8
. 所以f (t )＝258πt 2
，则f ′(t )＝254πt ，f ′(3.2)＝20π rad/s ，
即转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π rad/s.
10．当销售量为x ，总利润为L ＝L (x )时，称L ′(x )为销售量为x 时的边际利润，它近似等于销售量为x 时，再多销售一个单位产品所增加或减少的利润．
某糕点加工厂生产A 类糕点的总成本函数和总收入函数分别是C (x )＝100＋2x ＋0.02x 2
，R (x )＝7x ＋0.01x 2
.
求边际利润函数和当日产量分别是200 kg,250 kg 和300 kg 时的边际利润． 解析：(1)总利润函数为L (x )＝R (x )－C (x ) ＝5x －100－0.01x 2
，
边际利润函数为L ′(x )＝5－0.02x .
(2)当日产量分别是200 kg 、250 kg 和300 kg 时的边际利润分别是
L ′(200)＝1(元)，L ′(250)＝0(元)，L ′(300)＝－1(元)．
[B 组 能力提升]
1．水以20 m 3
/min 的速度流入一圆锥形容器，设容器深30 m ，上底直径12 m ，当水深10 m 时，水面上升的速度为(单位：m/min)( ) A.π
5 B.5π C.π
10
D.10π
答案：B
2．如图，设有定圆C 和定点O ，当l 从l 0开始在平面上绕O 匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，则它的图像大致是( )
解析：由于l 匀速旋转，S 开始和最后时段缓慢增加，中间时段S 增速快，故只有D 项正确． 答案：D
3．一个质量为m ＝3 kg 的物体做直线运动，设运动距离s (单位：cm)与时间t (单位：s)的关系可以用函数s (t )＝1＋t 2
表示，并且物体的动能U ＝12mv 2，则物体开始运动后第5 s 时的动
能为________． 解析：∵s ′(t )＝2t ，
∴s ′(5)＝10，即5 s 时的瞬时速度为10 cm/s ，即0.1 m/s. 此时，U ＝12×3×0.12
＝0.015 J.
答案：0.015 J
4．一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是s ＝t 2
(s 的单位为m ，t 的单位为s)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________ m/s. 解析：v ＝s ′＝2t ，
在t ＝5时小球的瞬时速度为2×5＝10 m/s. 答案：10
5．一企业的每日成本C (千元)是日产量q (台)的函数C (q )＝400＋2q ＋5q . 求：(1)日产量为400台时的成本； (2)日产量为400台时的平均成本；
(3)日产量由400台增加到484台时的平均成本； (4)日产量为400台时的边际成本．
解析：(1)日产量为400台时的成本：C (400)＝400＋2×400＋5400＝1 300(千元)． (2)日产量为400台时的平均成本为
C (400)400
＝1 300
4 00
＝3.25(千元/台)．
(3)日产量由400台增加到484台时的平均成本：C (484)－C (400)484－400
＝
1 478－1 300
484－400
≈2.119(千
元/台)．
(4)在区间[400,400＋Δq ]内，产品的平均成本为
\s\up6(－(－)C －＝400＋2×(400＋Δq )＋5×400＋Δq －1 300
Δq
＝
2Δq ＋5400＋Δq －100
Δq
＝2＋5
400＋Δq －20
Δq
＝2＋5(400＋Δq －20)(400＋Δq ＋20)Δq (400＋Δq ＋20)
＝2＋
5400＋Δq ＋20
.
当Δq →0时，\s\up6(－(－)C －
→2.125，所以当日产量为400台时的边际成本为2.125千元． 6．水经过虹吸管从容器甲流向容器乙(如图)，t 秒钟后容器甲中水的体积V (t )＝5e －0.1t
(单位：
cm 3
)，计算第一个10秒内V 的平均变化率(其中V (10)≈1.839)．
解析：在区间[0,10]上，体积V 的平均变化率为
V (10)－V (0)10－0
≈
1.839－5
10
≈－0.316(cm 3
/s)，
即第一个10秒内容器甲中水的体积的平均变化率为－0.316 cm 3
/s(负号表示容器甲中水在减少)．。