2020-2021学年辽宁省锦州市第二十中学高一数学文上学期期末试题含解析

2020-2021学年辽宁省锦州市第二十中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
2. 已知7a=11b=A，且，则A=（）
A．18 B．77 C．D．
参考答案：
D
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】由7a=11b=A，可得=log A7， =log A11，再结合可求得A．
【解答】解：∵7a=11b=A，
∴=log A7， =log A11，又，
∴log A77=3，
∴A3=77．
∴A=．
故选D．【点评】本题考查对数的运算性质，关键在于把握=log A7， =log A11，属于中档题．
3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
D
略
4. 下列对应是从集合到集合映射的是
A．的平方根 B．
C． D．
参考答案：
C
5. 在区间[0，2]和[1，2]上分别取一个数x，y，则对应的数对(x，y)是不等式x -y≤0的解的概率为
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
C
6. （）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
7.
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公
式为：弧田面积=×（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围城，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（≈1.73）（）
A．16平方米B．18平方米C．20平方米D．25平方米
参考答案：
C
【分析】在Rt△AOD中，由题意OA=4，∠DAO=，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．
【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB=，OA=6，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=×6=3，
可得：矢=6﹣3=3，
由AD=AO?sin=6×=3，
可得：弦=2AD=2×3=6，
所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（6×3+32）=9+4.5≈20平方米．
故选：C．
8. 若函数f（x）=，则f（﹣3）的值为（）
A．5 B．﹣1 C．﹣7 D．2
参考答案：
D 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．
【分析】根据分段函数的意义，经过反复代入函数解析式即可最后求得函数值f（﹣3）【解答】解：依题意，f（﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=1+1=2
故选 D
9. 函数的图象大致是
参考答案：
D
10. 当，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．
D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 幂函数的图像过点，则f
(16) = ．
参考答案：
4
12. 已知锐角满足，则等于__________．参考答案：
【分析】
已知，计算，继而计算
，利用和差公式得到得到答案.
【详解】∵锐角满足，
∴，
∴，
∴，
故，
故答案为:．
【点睛】本题考查了三角恒等变换，整体代换：是解题的关键.
13. 设A是整数集的一个非空子集，对于,若 ,，那么是A的一个孤立元，给定.那么S含有3个元素的所有子集中，不含孤立元的集合个数为____________.
参考答案：
2
略
14. 计算：lg4+lg5?lg20+（lg5）2= ．
参考答案：
2
【考点】对数的运算性质．
【分析】根据对数的运算性质化简计算即可．
【解答】解：lg4+lg5?lg20+（lg5）2=2lg2+lg5?（lg4+lg5）+（lg5）2=2lg2+lg5（2lg2+2lg5）
=2lg2+2lg5=2，
故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质，关键是掌握lg2+lg5=1，属于基础题．
15. 在△ABC中，∠C = 90°，两条中线AD，CE互相垂直，则∠B = 。

参考答案：
arccos
16. 集合A={a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，则a= ．
参考答案：
【考点】元素与集合关系的判断．
【分析】利用﹣3∈A，求出a的值，推出结果即可．
【解答】解：集合A={a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，
所以a﹣2=﹣3，或2a2+5a=﹣3，
解得a=﹣1或a=，
当a=﹣1时a﹣2=2a2+5a=﹣3，
所以a=．
故答案为：．
17. 科学家发现，两颗恒星Ａ与Ｂ分别与地球相距５亿光年与２亿光年，且从地球上观测，它们的张角为６０o，则这两颗恒星之间的距离为亿光年。

参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （10分）某汽车厂生产的A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适性和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）
（Ⅱ）在C类轿车中，用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少1辆舒适性轿车的概率；
（Ⅲ）用随机抽样的方法从A类舒适性轿车中抽取10辆，经检测它们的得分如下：，8.7，9.3，8.2，9.4，8.6，9.2，9.6，9.0，8.4，8.6，把这10辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率．
参考答案：
（Ⅰ）由题意得，轿车的总数为800+100+450+150+200+300=2000，，解得n=100，
（Ⅱ）设听取的样本中有m辆舒适型轿车，则，解得m=2，也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S1，S2；B1，B2，B3，
则从中任取2辆的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）（S2，B1），（S2，B2），
（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个，
其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3）（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），
所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为P=，
（Ⅲ）总体平均数为=（8.7+9.3+8.2+9.4+8.6+9.2+9.6+9.0+8.4+8.6）=8.9，
那么与，
故该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率
19. （本小题满分12分）
设数列{a n}的前n项和为S n，已知，.
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若，求数列{b n}的前2n项和。

参考答案：
解：（1）∵当时，，∴. ∴. ......2分∵，，∴. (3)
分
∴数列是以为首项，公比为的等比数列. ……………………………………………………4分
∴. ………………………………………………………………………………………6分
（2）由（1）得，………………………8分当时，……………………………………………………10分
∴。

……………………………12分20. （本小题满分12分）
记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
（1）若，求；
（2）若，求正数的取值范围．
参考答案：
解：（1）若，得. ………1分，解得………3分于是集合．……………………4分
（2）解不等式得．…………6分
∵ 方程的两根为，由，得，…10分
又∵, ∴ ，所以，即的取值范围是．………12分
21. 已知函数
（Ⅰ）是否存在实数a,b(a＜b），使得函数的定义域和值域都是。

若存在，请求出a,b的值，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若存在实数a,b(a＜b），使得函数的定义域是，值域是，求实数m 的取值范围。

参考答案：
解析：（Ⅰ）不存在实数满足条件。

事实上，若存在实数，使得函数f(x)的定义域和值域都是[a,b]，则有
①当在（0，1）上为减函数，所以
②当a,b时，上为增函数，所以
而此方程无实根，故此时不存在实数a,b满足条件。

③当
故此时不存在a,b满足条件。

综上可知，不存在实数满足条件。

………………………………….10分（Ⅱ）若存在实数，使得
函数f(x)的定义域是值域是
仿照（Ⅰ）的解答可知，
当时，满足条件的a,b不存在。

故只有当a,b上为增函数，于是a,b是方程的两个大于1的实数根，
所以
故m的取值范围是…………………………20分
22. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n=1，2，3…），数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n和b n；
（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n，并求满足T n＜167的最大正整数n．
参考答案：
【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．
【分析】（1）两式作差即可求数列{a n}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；对于数列{b n}，直接利用点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上，代入得数列{b n}是等差数列即可求通项；
（2）先把所求结论代入求出数列{c n}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和，然后解不等式即可．
【解答】解：S n=2a n﹣2，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，又S n﹣S n﹣1=a n，（n≥2，n∈N*）
．
∴．
，∴
∴a n=2n
∵点P（b n，b n+1）在直线y=x+2上，∴b n+1=b n+2∴b n+1﹣b n=2，即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n ﹣1
（2）∵c n=（2n﹣1）2n，∴T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，
∴2T n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1因此：﹣T n=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）﹣（2n ﹣1）2n+1
即：﹣T n=1×2+（23+24+…+2n+1）﹣（2n﹣1）2n+1∴T n=（2n﹣3）2n+1+6
【点评】本题考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．属于中档题．。