高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战49271

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合}03|{2
<-=x x x A ，},1{a B =，且B A 有4个子集，则实数a 的取值范围是（ ）
A.)3,0(
B.)3,1()1,0(
C.)1,0(
D.),3()1,(+∞-∞
2．复数
i
i i 1
313+-+等于（ ） A.i -3 B.i 2- C.i 2 D.0
3. 函数)4sin 2cos 4cos 2(sin log 2
1π
πx x y -=的单调递减区间是（ ）
A.Z k k k ∈+
+
),85,8(πππ
π B.Z k k k ∈++),83,8(π
πππ
C.Z k k k ∈+-),8
3,8(ππππ D.Z k k k ∈++),85,83(π
πππ
4．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3
2
303S x dx =⎰，则公比q 的值是（ ）
A. 1
B.－12
C. 1或－12
D. 1或－1
2
5. 已知关于x 的二项式n
x
a x )(3+展开式的二项式系数之和 为32，常数项为80，则a 的值为（ ） A ．1B ．1±C ．2D ．2±
6.若两个正实数y x ,满足14
1=+y
x ，且不等式
m m y
x 34
2-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ）
A.)4,1(-
B.),4()1,(+∞--∞
C.)1,4(-
D.),3()0,(+∞-∞
7. 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的
值为（ ）
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
8．若A 为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线
x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为( )
A ．1
B ．
32C ．34D ．74
9. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为
3
，一个内角为60︒
的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ）
A.
8 D.4
10. 已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足)1(=+++λλ，若OAB ∆的面积
与OAC ∆的面积比值为3，则λ的值为（ ）
A.
2
1
B. 1
C. 2
D. 3 11.过双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为
E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ,O 为原点，若()
+=2
1
，则双曲线的
离心率为（ ）
A.
251+ B.23
1+ C.7224- D.7
224+ 12．定义在()0+∞，上的单调函数()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ∀∈+∞-=，则方程
2)()(='-x f x f 的解所在区间是（ ）
A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0
B.⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21 C.()2,1 D.()3,2 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知等差数列}{n a 中，4
5831π
=++a a a ,那么=+)cos(53a a . 14.5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排
头，则排法种数为.
15.已知球O
的直径
4=PQ ，C B A ,,是球O 球面上的三
点, 30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ，ABC ∆是正三角形，则三棱锥ABC P -的体积为. 16. 给出下列四个结论：
（1）如图Rt ABC ∆中，2,90,30.AC B C =∠=︒∠=︒ D 是斜边AC 上的点，CB CD =. 以B 为起点任
作一条射线BE 交AC 于E 点，则E 点落在线段
CD
； （2）设某大学的女生体重()kg y 与身高()cm x 具有线性相关关系，根据一组样本数据
A
B
C
D E
()()n i y x i
i ,,2,1,
=，用最小二乘法建立的线性回归方程为71,8585.0ˆ-=x y
，则若该大学某女生身高增加cm 1，则其体重约增加kg 85.0；
（3）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()x f x f -=+2,则函数()f x 的图像关于
1=x 对称;
（4）已知随机变量ξ服从正态分布()
()21,,40.79,N P σξ≤=则()21.02=-≤ξP .
其中正确结论的序号为
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为D C B ,,）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为 60，B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30方向，仰角为 30．D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向． （1）求C B ,两救援中心间的距离；
（2）D 救援中心与着陆点A 间的距离．
18．(本小题满分12分)
我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050-为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为
(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得
到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求a 的值；
(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；
(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测
数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，CD AB //，在锐角
PAD ∆中PD PA =，并且82==AD BD ，542==DC AB .
（1）点M 是PC 上的一点，证明：平面⊥MBD 平面PAD ；
空气质量指数
频率 组距
0.020 O 5 15 25 35 45 北 A
P
东
B
C
D
（2）若PA 与平面PBD 成角︒60，当面⊥MBD 平面ABCD 时，
求点M 到平面ABCD 的距离．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆14
:22
=+y x E 的左，右顶点分别为B A ,，圆422=+y x 上有一动点P ,点P 在x 轴
的上方，()0,1C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连接PB DC ,. (1)若︒
=∠90ADC ,求△ADC 的面积S ;
(2)设直线DC PB ,的斜率存在且分别为21,k k ,若21k k λ=,求λ的取值范围. 21.(本小题满分12分)
设函数()ln(1),()ln(1)1x
f x a x
g x x bx x
=
-+=+-+. （1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；
（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，
求出b 的取值范围；若不存在，说明理由； ②证明：不等式()2
11
1ln 1,2,1
2n
k k n n k =-<-≤=⋅⋅⋅+∑
考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC
是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点． （Ⅰ）求ADF ∠的度数； （Ⅱ）若AC AB =，求BC AC :．
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=t y t
x 322（t 为参数），直线l 与曲线
1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点.
（1）求||AB 的长；
（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为
)4
3,
22(π
，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知实数c b a ,,满足0,0,0>>>c b a ，且1=abc . （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：c
b a
c b a 111++≤
++. 哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试
数学试卷（理工类）答案
一．选择题
1.B
2.D
3.B
4.C
5.C
6.B
7.B
8.D
9.D 10.A 11.A 12.C 二．填空题 13.
2
1
14.439 15.40 16.②③④
三．解答题
17. 解：（1）由题意知AB PA AC PA ⊥⊥,，则PAB PAC ∆∆,均为直角三角形………………1分
在PAC Rt ∆中，︒=∠=60,1PCA PA ，解得3
3
=
AC …………………………2分 在PAB Rt ∆中，︒=∠=30,1PBA PA ，解得3=AB …………………………3分
又︒=∠90CAB ，3
30
22=
+=
BC AC BC 万米.…………………………5分 （2）10
3sin sin =∠=∠ACB ACD ，101
cos -=∠ACD ，…………………………7分
又︒=∠30CAD ，所以10
2133)30sin(sin -=∠+︒=∠ACD ADC .…………………………9分
在ADC ∆中，由正弦定理，
ACD
AD
ADC AC ∠=
∠sin sin …………………………10分 13
3
9sin sin +=
∠∠⋅=ADC ACD AC AD 万米…………………………12分 18.(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分
解得0.03a =. ……………2分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为
0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分
由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. …………4分
（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，
且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则13,5B ξ
⎛⎫
⎪⎝⎭
. ………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ………6分
()3
0346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2
131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ()2
231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3
331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
. ……………10分 ∴ξ的分布列为：
……11分
∴6448121301231251251251255
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者13
355
E ξ=⨯
=） 19.解法一（1）因为82==AD BD ，54=AB ，由勾股定理得
AD BD ⊥，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，平面⋂PAD 平面 ABCD =AD ，⊆BD 面ABCD ，所以⊥BD 平面PAD ⊆BD 面MBD ，所以平面⊥MBD 平面PAD ………6分
（2）如图，因为⊥BD 平面PAD ，所以平面⊥PBD 平面PAD ， 所以︒=∠60APD ，做AD PF ⊥于F ，所以⊥PF 面ABCD ，
32=PF ，设面⋂PFC 面MBD =MN ，面⊥MBD 平面ABCD
所
以面//PF 面MBD ，所以MN PF //，取DB 中点Q ，得CDFQ 为平行四边形，由平面
ABCD
边长得N 为FC 中点，所以32
1
==
PF MN ………12分 解法二（1）同一
（2）在平面PAD 过D 做AD 垂线为z 轴，由（1），以D 为原点，
DB DA ,为y x ,轴建立空间直角坐标系,设平面PBD 法向量为
),,(z y x u =，设),0,2(a P ，锐角PAD ∆所以2>a ，由
0,0=⋅=⋅DB u DP u ，解得)2,0,(a u -=，),0,2(a PA -=，
ξ 0
1 2
3
64125 48125 12125 1
125
x
y
z
M
234
4|,cos |2=+=
><a a ，解得32=a 或233
2<=a （舍）
设λ=，解得)3232,4,42(λλλ--M
因为面⊥MBD 平面ABCD ，BD AD ⊥，所以面MBD 法向量为)4,0,0(=，所以
0=⋅DM DA ，解得2
1
=
λ，所以M 到平面ABD 的距离为竖坐标3．………12分 20.（1）依题意，)0,2(-A .设),(11y x D ，则14
212
1=+y x . 由︒
=∠90ADC 得1-=⋅CD AD k k , 11
21111-=-⋅+∴
x y
x y , ()()124112*********-=-+-
=-⋅+∴x x x x x y , 解得舍去）(2,3211-==x x 3221=
∴y , 233
2
221=⨯⨯
=S .…………5分 (2)设()22,y x D , 动点P 在圆42
2
=+y x 上, ∴1-=⋅PA PB k k . 又21k k λ=, ∴
1
21
2222-⋅=+-x y x y λ, 即()()2222
12y x x -+-=λ=()()4
1122
222x x x -
-+- =()()
()
2
22244
112x x x --+-
=21422--⋅
x x =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+21142x .
又由题意可知()2,22-∈x ,且12≠x , 则问题可转化为求函数()()()1,2,22114≠-∈⎪⎭
⎫
⎝⎛
-+
=x x x x f 且的值域. 由导数可知函数()x f 在其定义域内为减函数,
∴函数()x f 的值域为()()3,00,⋃∞- 从而λ的取值范围为()()3,00,⋃∞-……12分
21.（1）由已知得：()
2
1
()11a
f x x
x '=
-
++，且函数()f x 在0x =处有极值 ∴()
2
1
(0)010
10a
f '=
-
=++，即1a = ∴()ln(1),1x f x x x =
-++ ∴()
()
2
2
1
1()111x
f x x x x -'=
-
=+++
当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减； ∴函数()f x 的最大值为(0)0f = （2）①由已知得：1
()1g x b x
'=
-+ (i)若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1
()01g x b x
'=
-≤+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数， ∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在()0,+∞上恒成立； (ii)若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，1
()01g x b x
'=
->+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数，
∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立； (iii)若01b <<，则1()01g x b x '=-=+时，1
1x b
=-， 当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0g x '≥，∴()ln(1)g x x bx =+-在10,1b ⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
上为增函数，
此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，∴不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立；
综上所述，b 的取值范围是[)1,x ∈+∞…………8分 ②由以上得：
ln(1)(0)1x
x x x x
<+<>+ 取1x n =得：111ln(1)1n n n <+<+令21
ln 1n
n k k x n k ==-+∑，
则112x =
，()
1222
111ln 101111n n n n x x n n n n n n -⎛
⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭
. 因此1112
n n x x x -<<⋅⋅⋅<=
. 又()1
21
1ln ln ln 1ln1ln 1n
n k k n k k k -==⎛⎫
=
--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦
⎝⎭∑∑ 故1
122211
111ln 1ln 1111n
n n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑
()()1
11
22111111111111n n n k k k k
k k k k
n k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑……12分
22．（1）因为AC 为⊙O 的切线，所以EAC B ∠=∠…………1分
因为DC 是ACB ∠的平分线，所以DCB ACD ∠=∠…………2分
所以ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠，…………3分 又因为BE 为⊙O 的直径，所以︒=∠90DAE …………4分.
所以︒=∠-︒=
∠45)180(2
1
DAE ADF .…………5分 （2）因为EAC B ∠=∠，所以ACB ACB ∠=∠，所以ACE ∆∽BCA ∆，
所以AB
AE BC AC =
，………7分 在ABC ∆中，又因为AC AB =，所以︒=∠∠=∠30ACB B ，………8分
ABE Rt ∆中，
3
3
30tan tan =
︒===B AB AE BC AC ………10分 23.解:（1）直线l 的参数方程化为标准型⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
+=+-=t y t x 232212（t 为参数）…… 2分
代入曲线C 方程得01042
=-+t t
设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ， 所以142||||21=-=t t AB …… 5分
（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-， …… 6分
所以点P 在直线l ， 中点M 对应参数为
22
2
1-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……10分 24.(1)c c b b a a 21,21,21≥+≥+≥+，相乘得证——————5分 （2）
ac bc ab c
b a ++=++1
11 b c ab bc ab 222=≥+，a
c b a ac ab 222=≥+，c
c ab ac bc 222=≥+相
加
得
证
——————10
分
一、填空题（共14题，满分56分）
1.（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=.
2.（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是.
3.（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程.
4.（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为.
5.（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为.
6.（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.
7.（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是.
8.（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=.
9.（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是.
10.（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）.
11.（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=.
12.（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=.
13.（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为.
14.（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为.
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15.（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
16.（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
17.（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
A.无论k，P1，P2如何，总是无解
B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C.存在k，P1，P2，使之恰有两解
D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解
18.（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围
为（）
A.[﹣1，2]
B.[﹣1，0]
C.[1，2]
D.[0，2]
三、解答题（共5题，满分72分）
19.（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.
20.（14分）设常数a≥0，函数f（x）=.
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由.
21.（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）.
22.（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
23.（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1.
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围.
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷（理科）（附详细答案）(9)
参考答案与试题解析
一、填空题（共14题，满分56分）
1.（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 .
【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可.
【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，
则（z+）•=
=（1+2i）（1﹣2i）+1
=1﹣4i2+1
=2+4
=6.
故答案为：6
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查.
2.（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是.
【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期.
【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）
=﹣[2cos2（2x）﹣1]
=﹣cos4x，
∴函数的最小正周期为T==
故答案为：
【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题.
3.（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 x=﹣2 .
【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程
【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），
又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，
故=2得p=4，
∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2.
故答案为：x=﹣2
【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题.
4.（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为（﹣∞，2]. 【分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围.
【解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；
当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；
当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；
∴a≤2，
故答案为：（﹣∞，2].
【点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题.
5.（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2.
【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得.
【解答】解：∵xy=1，
∴y=
∴x2+2y2=x2+≥2=2，
当且仅当x2=，即x=±时取等号，
故答案为：2
【点评】本题考查基本不等式，属基础题.
6.（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）.
【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3
倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角.
【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，
∴==3，
即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，
故圆锥的轴截面如下图所示：
则cosθ==，
∴θ=arccos，
故答案为：arccos
【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键.
7.（4分）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是.
【分析】由题意，θ=0，可得C与极轴的交点到极点的距离.
【解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，
∴C与极轴的交点到极点的距离是ρ=.
故答案为：.
【点评】正确理解C与极轴的交点到极点的距离是解题的关键.
8.（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=. 【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值.
【解答】解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，
a1=（a3+a4+…an）
=（﹣a1﹣a1q）
=，
∴q2+q﹣1=0，
解得q=或q=（舍）.
故答案为：.
【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用.
9.（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是（0，1） .
【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可.
【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，
即＜，
∴，
∵y=是增函数，
∴的解集为：（0，1）.
故答案为：（0，1）.
【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力.
10.（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）.
【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，
再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案.
【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），
（3，4，5），（4，5，6），
（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，
故答案为：.
【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题.
11.（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 .
【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论.
【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，
则①或②，
由①得，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件.
若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，
∵互异的复数a，b，
∴b﹣a≠0，即a+b=﹣1，
故答案为：﹣1.
【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论.
12.（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=.
【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，画出函数y=2sin（x+）的图象，方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，进而求得此时x1，x2，x3最后相加即可.
【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=a，
如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点，在[0，2π]上，当a=时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
令sin（x+）=，x+=2kπ+，即x=2kπ，或x+=2kπ+，即x=2kπ+，
∴此时x1=0，x2=，x3=2π，
∴x1+x2+x3=0++2π=.
故答案为：
【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质.运用了数形结合的思想，较为直观的解决问题.
13.（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E （ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 0.2 .
【分析】设小白得5分的概率至少为x，则由题意知小白得4分的概率为1﹣x，由此能求出结果.
【解答】解：设小白得5分的概率至少为x，
则由题意知小白得1，2，3，4分的概率为1﹣x，
∵某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，
E（ξ）=4.2，
∴4（1﹣x）+5x=4.2，
解得x=0.2.
故答案为：0.2.
【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望的合理运用.
14.（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点
P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为[2，3].
【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可.
【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，
对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，
说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，
∴m=∈[2，3].
故答案为：[2，3].
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想. 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15.（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分又非必要条件
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定.
【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，
故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，
故选：B.
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础.
16.（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【分析】建立空适当的间直角坐标系，利用坐标计算可得答案.
【解答】解：=，
则•=（）=||2+，
∵，
∴•=||2=1，
∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，
故选：A.
【点评】本题考查向量的数量积运算，建立恰当的坐标系，运用坐标进行向量数量积运算是解题的常用手段.
17.（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）
A.无论k，P1，P2如何，总是无解
B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C.存在k，P1，P2，使之恰有两解
D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解
【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可.
【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，
∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
，
①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，
即（a1﹣a2）x=b2﹣b1.
∴方程组有唯一解.
故选：B.
【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用.
18.（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围
为（）
A.[﹣1，2]
B.[﹣1，0]
C.[1，2]
D.[0，2]
【分析】当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，当a≥0时，解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，问题解决.
【解答】解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）=a2，
由题意得：a2≤x++a，
解不等式：a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
故选：D.
【点评】本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题.
三、解答题（共5题，满分72分）
19.（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.
【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积.
【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，
∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，
∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，
∴△P1P2P3的边长为4，
VP﹣ABC==
【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法. 20.（14分）设常数a≥0，函数f（x）=.
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由.
【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，
（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决.
【解答】解：（1）∵a=4，
∴
∴，
∴，
∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）.
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，
∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0.
∵2x﹣2﹣x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，
∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）=，满足条件；
当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数.当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数
【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题.
21.（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β.
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）.
【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论. （2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论.
【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，
∵0，
∴tanα≥tan2β＞0，
∴tan，
即=，
解得0≈28.28，
即CD的长至多为28.28米.
（2）设DB=a，DA=b，CD=m，
则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，
由正弦定理得，
即a=，
∴m=≈26.93，
答：CD的长为26.93米.
【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键.
23.（16分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1.
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围.
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差.
【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；
（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围. （3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差.
【解答】解：（1）依题意：，
∴；又
∴3≤x≤27，
综上可得：3≤x≤6
（2）由已知得，，，
∴，
当q=1时，Sn=n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立.
当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴
不等式
∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n=1，
得q2﹣3q+2≤0，
解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，
∴qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，
∴1＜q≤2，
当时，
，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，
∴此不等式即，
3q﹣1＞0，q﹣3＜0，
3qn+1﹣qn﹣2=qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，
qn+1﹣3qn+2=qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2=（q﹣1）（q﹣2）＞0
∴时，不等式恒成立，
上，q的取值范围为：.
（3）设a1，a2，…ak的公差为d.由，且a1=1，
得
即
当n=1时，﹣≤d≤2；
当n=2，3，…，k﹣1时，由，得d≥，
所以d≥，
所以1000=k，即k2﹣2000k+1000≤0，
得k≤1999
所以k的最大值为1999，k=1999时，a1，a2，…ak的公差为﹣.
【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题.
22.（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.
（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论.
（2）联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围.
（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①.由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解.把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线.
【解答】（1）证明：把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1 可得（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，
∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔.
（2）解：联立直线y=kx与曲线x2﹣4y2=1可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有 1﹣4k2≤0，
∴k≤﹣，或k≥.
曲线上有两个点（﹣1，0）和（1，0）被直线y=kx分隔.
（3）证明：设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①.
y轴为x=0，显然与方程①联立无解.
又P1（1，2）、P2（﹣1，2）为E上的两个点，且代入x=0，有η=1×（﹣1）=﹣1＜0，
故x=0是一条分隔线.
若过原点的直线不是y轴，设为y=kx，代入[x2+（y﹣2）2]x2=1，可得[x2+（kx﹣2）2]x2=1，
令f（x）=[x2+（kx﹣2）2]x2﹣1，
∵k≠2，f（0）f（1）=﹣（k﹣2）2＜0，∴f（x）=0没有实数解，
k=2，f（x）=[x2+（2x﹣2）2]x2﹣1=0没有实数解，
即y=kx与E有公共点，
∴y=kx不是E的分隔线.
∴通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题.。