2022届高考数学(文)大一轮复习热点探究课2 三角函数与解三角形中的高考热点问题 Word版含答案

热点探究训练(二)
三角函数与解三角形中的高考热点问题
1．(2022·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π
4.
(1)求AB 的长；
(2)求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6的值．
(1)由于cos B ＝4
5，0<B <π，
所以sin B ＝1－cos 2
B ＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝3
5
.2分 由正弦定理知AC sin B ＝AB
sin C
，
所以AB ＝AC ·sin C
sin B ＝6×
223
5
＝5 2.5分
(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，
于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π4
＝－cos B cos π4＋sin B sin π
4.7分
又cos B ＝45，sin B ＝3
5
，
故cos A ＝－45×22＋35×22＝－2
10.9分
由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2
A ＝7210.
因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6
＝－
210×32＋7210×12＝72－6
20
.12分 2．(2022·山东高考)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2
. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)把y ＝f (x )的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π
3
个
单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6的值． (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2
＝23sin 2
x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，3分
由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z)，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z)，
所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12k ∈Z .6分
(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，8分 把y ＝f (x )的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的
图象，
再把得到的图象向左平移π
3个单位，
得到y ＝2sin x ＋3－1的图象， 即g (x )＝2sin x ＋3－1，
所以g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.12分 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝6
9
，ac ＝23，求sin A 和c 的值．
在△ABC 中， 由cos B ＝
33，得sin B ＝6
3
，2分 由于A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝6
9
，4分 又sin C <sin B ， 所以C <B ，可知C 为锐角， 所以cos C ＝53
9
，
所以sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223.8分 由
a sin A ＝c
sin C
， 得a ＝c sin A
sin C ＝22
3c 6
9＝23c ，
又ac ＝23，所以c ＝1.12分
4．(2021·郑州二次质量猜测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－C .
(1)求角A 的值；
(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．
(1)由已知得2sin 2A －2sin 2
C ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫34cos 2C －14sin 2C ，3分
化简得sin A ＝
32，故A ＝π3或A ＝2π
3
.5分 (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝a
sin A ＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，7分 故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3－B
＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6.9分
由于b ≥a ，所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π
2
，
所以2b －c ＝23sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23).12分。